в центральном гравитационном поле орбита пробного тела задается в полярных координатах выражением

. Надо выразить параметр орбиты

и эксцентриситет

через сохраняющиеся величины - полную энергию и момент импульса (деленные на массу пробного тела, разумеется).
Запишем систему выражений для энергии и момента импульса в двух точках орбиты - в перицентре и в точке орбиты, которая отстоит от перицентра на


Где,

и

- расстояния от центра гравитационного поля (от одного из фокусов), до соответствующей точки орбиты,

- масса пробного тела,

и

- скорости в соответствующей точке орбиты,

- масса тела, создающего поле.
Из первых двух уравнений выразим скорости

и

.
Предварительно учтём, что

, а для эллипса

, где

- расстояние от центра до фокуса,

- малая полуось. Но

, где

- эксцентриситет,

- большая полуось.
Тогда, учитывая

, имеем

Значит,


Теперь подставим значения скоростей в соответствующие выражения для энергий (так как энергия и момент импульса сохраняются в любой точке орбиты, то можно избавиться от индексов у этих величин).


Теперь можно, решив квадратные уравнения, найти

и

. Эти эр даже получаются не особо громоздкими. Но потом придётся переходить от

и

к

и

. И этот переход меня пугает. Поэтому я здесь останавливаюсь, чтобы спросить: той ли дорогой я иду?