Использование кривизны для поиска асимптот

[Otta]

Что такое искривленная вправо - не знает никто. Я тоже. Слышала ровно один раз от студента 15 лет назад на экзамене, долго смеялась (с ним вместе).
Поворот - куда? Вы в жизни никогда не ходите ни налево, ни направо, эм?

Shtorm в сообщении #1038624 писал(а):

касательная поворачивается так, что её угол относительно дороги уменьшается.

Можно спросить, что это за зверь - угол касательной относительно дороги? Вы его как определяете?

[Shtorm]

К счастью на экзамене по математическим дисциплинам никто и не пользуется терминами "дороги" и "тропинки". Мало того, при вычислении кривизны на экзамене, все берут кривизну по модулю. Или я не прав? Но раз мои собеседники используют термины "дороги" и "тропинки", "налево" и "направо", то что непонятного в терминах "тропинка искривлённая вправо" и "тропинка искривлённая влево"?

Otta в сообщении #1038636 писал(а):

Что такое искривленная вправо - не знает никто.

Представьте себе, что мы двигаемся по дороге вдоль положительного направления оси OX, тогда искривлённая вправо - это кривая выпуклая вниз, а искривлённая влево - кривая выпуклая вверх.

Otta в сообщении #1038636 писал(а):

Поворот - куда?

На Вашей картинке, сначала поворот направо, а затем поворот налево

Otta в сообщении #1038636 писал(а):

Можно спросить, что это за зверь - угол касательной относительно дороги? Вы его как определяете?

Это угол между касательной и положительным направлением оси $OX$.

[Otta]

Shtorm в сообщении #1038644 писал(а):

На Вашей картинке, сначала поворот направо, а затем поворот налево

Машина есть?

[Shtorm]

Otta, машины у меня никогда не было и нет Но по Вашему вопросу я догадался - там же знак на дороге стоит - "поворот налево"

[Otta]

(Оффтоп)

Это очень хорошо, что у Вас нет машины.

Так, поворот налево, мы выяснили. Мы в лесу тоже так выясняем, по указателям - если налево - то налево. Ага. Вот нарисуйте себе такой на бумажке, чтобы сверху на него смотреть, двигайтесь вперед и откладывайте угол. И смотрите, что будет с ним происходить.

[arseniiv]

Ага. Тема, я вижу, развивается!

Shtorm в сообщении #1038434 писал(а):

И сами значения угла при этом всегда положительны? Или всё же как в полярной системе координат, если откладываем вниз от горизонтальной оси по часовой стрелке, то углы отрицательны?

О, углы это ещё одна милая деталь. Угол определён с точностью до $2\pi$, потому что, как и с кривизной, опять же, «однозначное представление» здесь снова не действительное число, а элемент группы $SO(2)$ (или $U(1)$ — что ближе будет по смыслу, т. к. группы изоморфны). Это оператор поворота плоскости, и ему взаимно однозначно соответствует пара чисел $(c,s) : c^2 + s^2 = 1$ или одно комплексное число $z : |z| = 1$ (это снова про $U(1)$).

Из группы $(\mathbb R,+)$ в $SO(2)$ в имеется гомоморфизм под интересным названием «поворот на угол», а вот обратно уже никаких гомоморфизмов нет, и только с $\mathbb R/2\pi\equiv\{\{x + 2\pi n : n\in\mathbb Z\} : x\in\mathbb R\}$ с индуцированным сложением есть изоморфизм.

Это я всё о том, что положительность или отрицательность угла — вещь неестественная без каких-то естественных аналогов. Можно, конечно, поделить окружность $SO(2)$ на две части и как-то извернуться с опратором $v\mapsto -v$, но в случае групп $SO(n), n>2$ уже всё равно ерунда получится, если только знаком не назвать элемент $SO(n-1)$, насчёт чего многие против.

[Shtorm]

Otta в сообщении #1038649 писал(а):

ак, поворот налево, мы выяснили. Мы в лесу тоже так выясняем, по указателям - если налево - то налево. Ага. Вот нарисуйте себе такой на бумажке, чтобы сверху на него смотреть, двигайтесь вперед и откладывайте угол. И смотрите, что будет с ним происходить.

Итак, поворот налево, угол увеличивается, оба приращения положительны, кривизна положительна. Так?

[Shtorm]

Мда.....Тяжеловато там оказалось с вычислением интегралов:

Алексей К. в сообщении #583768 писал(а):

Чердак Б.М. Ограниченность кривых, заданных своими кривизнами. Уч. зап. Ленинград. пед. ин-та им. А.И. Герцена, т. 274(1965), 202–212.
Саму статью не нашёл, пересказываю по памяти: кривая имеет асимптоту, если интеграл

$$\int\limits_0^\infty s\,k(s)\,ds$$

сходится (там кривизна и длина дуги). Нормальный признак, которому наплевать на наклонность, горизонтальность и прочую чушь. Инвариантный то есть. Вторую асимптоту получим при интегрировании от нуля до $-\infty$.

Видимо, для нормального использования нужны численные методы интегрирования. Но как тогда находить зависимость $s(t)$ и $t(s)$ ? Интеграл-то неопределённый...

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038644 писал(а):

К счастью на экзамене по математическим дисциплинам никто и не пользуется терминами "дороги" и "тропинки".

К несчастью.
К сожалению.
Посдают эти козлятки экзамен этому козлу-экзаменатору, а дорогу потом построить или стержень в механизме рассчитать --- ни один не сможет.
Некоторые сюда прибегут, на форум. "Пожалуйста, помогите решить-разобраться. А то у меня такой преподаватель был... А я тут на работу устроился на завод..." Ну, тексты до боли знакомые.

-- 20 июл 2015, 00:52:17 --

arseniiv в сообщении #1038660 писал(а):

Угол определён с точностью до $2\pi$, потому что, как и с кривизной, опять же, «однозначное представление» здесь снова не действительное число, а элемент группы $SO(2)$ (или $U(1)$ — что ближе будет по смыслу, т. к. группы изоморфны).

Вспомнилось каноническое: "Папа, а ты с кем [сейчас] разговариваешь?"

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038760 писал(а):

а дорогу потом построить или стержень в механизме рассчитать --- ни один не сможет.

Приведите подробнее примеры, как при проектировании механизмов и дорог используется знак кривизны.

[Алексей К.]

Легко.
Валы и отверстия на чертеже в 2D-модели этой детали будут иметь противоположную кривизну.

При создании DXF, EPS или JPEG-чертежа программисты специально позаботятся, чтобы минус-радиус конструктору не рисовать (я на рисунке убрал все размеры-допуски и проч.). А внутри модели, скажем, при подсчёте точек пересечения двух кривых, будут фигурировать реальные кривизны, с реальным знаком. ИНАЧЕ ХРЕНЬ КАКАЯ-ТО СОСЧИТАЕТСЯ!!! Иначе МЧС не найдёт Вас, затерявшегося в лесу!

Но Вы, судя по последним дискуссиям, этих примеров не поймёте.
Могу рассказать страшное: нельзя расположить на столе 3 монетки (монетка есть, очевидно, вал), чтобы они попарно касались друг друга.
В ответ Вы, возможно,
1) напишете, что, к счастью, на экзаменах не пользуются терминами "стол", "вал", "монета";
2) или радостно пришлёте рисуночек, доказывающий, что я сказал чушь, и три монетки на столе вполне касаются (это не случится --- рисунки Вы присылать не умеете).

Если случится 2), то в ответ я Вам напишу, что под касанием я подразумеваю не просто единственность общей точки, а ещё и совпадение в ней направлений касательных. И потому --- касание трёх монеток (монеток, не дырочек, в монетках просверленных) можно обеспечить лишь положив их друг на друга (а не на стол).

В ответ Вы приведёте кучу других определений "касания", ссылок на книжки, что-то ещё, и непременно в стометровом сообщении. Не трудитесь.

Я попытаюсь прояснить ситуацию со знаками кривизны и ответить на Ваш вопрос на более простом примере.
Блин, да, после бани буду заниматься ерундой, в которую ввязался, или, подумавши, снова отложу на завтра.

(Оффтоп)

Завтра понедельник, но начальник-то в отпуске. Можно дальше дурью помаяться...

[Shtorm]

Алексей К., спасибо за подробную информацию!
Действительно, я некоторые моменты не понял. Возможно из-за того, что в универе у нас не преподавали "Начертательную геометрию". Надо походу заняться ликбезом.

Алексей К. в сообщении #1038775 писал(а):

Валы и отверстия на чертеже в 2D-модели этой детали будут иметь противоположную кривизну.

Отверстия, это вот эти два маленькие? А вал - он вставляется вот в эту большую деталь в которой эти отверстия? Ну то есть на рисунке справа изображена верхняя часть вала, а есть ещё и нижняя и вал вставляется, заходя своими пазами в эти неровности - чтобы потом обеспечить совместное вращательное движение. Так?

Алексей К. в сообщении #1038775 писал(а):

А внутри модели, скажем, при подсчёте точек пересечения двух кривых, будут фигурировать реальные кривизны, с реальным знаком. ИНАЧЕ ХРЕНЬ КАКАЯ-ТО СОСЧИТАЕТСЯ!!!

Вот тут не понял: для нахождения точек пересечения двух кривых, их кривизны вовсе не нужны. Так что же тут?

Алексей К. в сообщении #1038775 писал(а):

... под касанием я подразумеваю не просто единственность общей точки, а ещё и совпадение в ней направлений касательных.....

Ну здесь понятно, что в точках касания трёх монет касательные будут разные. Не понятно следующее: вот есть например две монеты на столе. Они касаются друг друга в одной точке. Мы можем сказать, что в точке касания, кривизна одной монеты имеет один знак, а кривизна другой монеты - другой знак. Так? Теперь добавляем к ним третью монету, которая касается этих двух монет и тоже лежит на столе, какой знак кривизны будет у неё?

Алексей К. в сообщении #1038775 писал(а):

Я попытаюсь прояснить ситуацию со знаками кривизны и ответить на Ваш вопрос на более простом примере.

Спасибо, буду ждать.

[Алексей К.]

Задачка:
На моём счету в Сбербанке в начале недели было 20000 рублей. В течении недели были совершены операции на суммы 1000 р., 1500 р., 700р.
Сколько денег стало на моём счету к концу недели?

Ответ:
или 20000+1000+1500+700=(сумму считайте сами, если интересно);
или 20000+1000+1500-700=(считайте сами, если интересно, но результат явно другой);
или 20000+1000-1500+700=(считайте сами);
или 20000+1000-1500-700=(считайте сами);
или 20000-1000+1500+700=(считайте сами);
или 20000-1000+1500-700=(считайте сами);
или 20000-1000-1500+700=(считайте сами);
или 20000-1000-1500-700=(считайте сами);
Вся эта хрень идёт от того, что в нижеследующей формуле (2) мы Shtormo-модуль поставили.
Было на счету $t_i$ рублей, стало после совершения $i$-той операции, $t_{i+1}$. На какую сумму была совершена операция?
Одни ребята ответят: на сумму

$$s(i)=t_{i+1}-t_i.\eqno(1)$$

Другие ребята ответят: на сумму

$$s(i)=|t_{i+1}-t_i|.\eqno(2)$$

Вот и думай --- вправо в лесу поворачивать, или влево.

Согласно учебнику Нордена, основная теорема дифференциальной геометрии заключаетя в том, что значение банковского счёта полностью определяется
1) начальными условиями;
2) списком операций $s(i)$.
Возможно, я не точно цитирую; возможно, там говорилось о плоской кривой, и о возможности её однозначного восстановления по начальным условиям и функции $k(s)$.
Очевидно, что, что если принять формулу (2), то ни о каком восстановлении движения банковского счёта говорить не приходится: на каждом шаге мы не будем знать, складывать надо или вычитать.
Аналогично, если принять аналог формулы (2), $k(s)={\color{magenta}\left|{\color{black}\dfrac{d\tau}{ds}}\right|$, то мы вынуждены забыть про спираль Корню ($k(s)=s/a^2$, $-\infty<s<\infty$) и игнорировать кривые типа не дай бог $k(s)\simeq\sin s$. И Вы теряете возможность рассказать другу, что к белыми грибам вела тропинка $k(s)$ от такого-то места под таким-то начальным углом. Если эта тропинка позволяла себе вилять влево-вправо.

А домохозяйка отрицательных чисел не боится. Её в школе пичкали всякими синусами, логарифмами, а она всю эту ерунду похерила, и вынесла из школы, в качестве чего-то нового, только отрицательные числа. И Сбербанк это понимает. Он не боится ей сообщить, что $i$-я операция была совершена на сумму минус 700 рублей. И нет проблем с кучей перечисленных в начале сообщения вариантов --- где плюс выбрать, а где минус. Всё однозначно.

А [некоторые] дифференциально-геометрические математики --- оказывается --- боятся отрицательных чисел. И модуль свой дурацкий ставят.
Пытаясь же посмотреть (из ихнего естественного любопытства), как выглядит кривая с натуральным уравнением $k(s)=a_0+a_1\sin(\omega s)$, они, суки, минусы приемлют и модулей не ставят. Для себя, типа. Ну или на ю-тюбах похвастаться --- какая, мол, кривулька красивая получилась. А потом эти козлы пишут справочник для инженеров --- и модуль туда впаривают. А вполне могли бы договориться с инженером. Типа: Вася, увидишь отрицательный диаметр --- оформляй его как дырку отверстие. И не впаривать дурацкий модуль.

-- 20 июл 2015, 04:54:22 --

Shtorm в сообщении #1038782 писал(а):

Возможно из-за того, что в универе у нас не преподавали "Начертательную геометрию"

На всякий случай уточню, что я не знаю, что такое "Начертательная геометрия". Язык PostScript --- вот это для меня рисовательная геометрия. Других не пользовал.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #88610 писал(а):

Музыкальная пиеса, построенная в форме ABCBA, где A,B,C --- разные темы, называется рондо. А как бы вы, уважаемые сотемники, назвали пиесу, которую мы здесь так самозабвенно исполняем? Графически придумал --- её натуральное уравнение $k(s)=A+B\sin(C s)$ ---



--- а вот словами не получается.

Кстати, словосочетание "натуральное уравнение" означает "в натуре уравнение", т.е. "уравнение в природе", т.е среди деревьев и грибов, и лягушки прыгают, т.е. речь изначально шла о тропинке в лесу. Но вот ---

Shtorm в сообщении #1038644 писал(а):

:lol: К счастью на экзамене по математическим дисциплинам никто и не пользуется терминами "дороги" и "тропинки".

[INGELRII]

Граждане! Люди! Человеки! Объясните мне, дураку, о чем вообще идет речь. Вот есть у нас некая величина, принимающая положительные и отрицательные значения. Естественно, мы можем рассматривать и связанную с ней другую величину: а именно, ее модуль. Очевидно, что даже если эти две величины называются одним и тем же словом "кривизна", это все равно две разных величины. По той простой причине, что первая может принимать отрицательные значения, а вторая никогда.

Теперь скажите, в чем тут тема для обсуждения на 12 страниц, да еще и с такими бурными эмоциями? Я правда не понимаю.