Использование кривизны для поиска асимптот

[Алексей К.]

INGELRII в сообщении #1038886 писал(а):

Теперь скажите, в чем тут тема для обсуждения на 12 страниц,

Лично мною движет желание победить собеседника: заставить его (преподавателя высшей математики в ВУЗе, если мне не изменяет память) самостоятельно разобраться в примитивных вещах. На трёх из двенадцати страниц я добивался от него слов типа "кривая с отрицательной кривизной --- это та, идя по которой, я сворачиваю вправо". Не добился. Я хочу, чтоб он САМ пришёл к пониманию ориентированной кривой. Я вижу, что он, пися слова вроде "Я же конечно беру положительную ориентацию и тогда по формуле..." не понимает смысла используемых словоформул. Я хочу, чтобы из нарисованного им графика кривизны полуокружности как-то было видно, что |площадь| под графиком равна $\pi$.
Я его тащу на лесную тропу, а он упорно хочет бегать по Википедиям, прочим интернетам, сравнивать книжки, находить якобы противоречия, и нести их на форум. Он совсем не пользуется своими познаниями, чтобы самостоятельно разобраться в "противоречиях".

Я не сильно переживаю своё фиаско. Все мои успехи на поприще объяснения математики были достигнуты при личном общении с вопрошающим, с привлечением, если удастся, знакомой ему бытовухи в виде тропинки, или температуры, или рублей, или...
Клавописанием добиться успеха гораздо сложнее.

Я мечтаю о закрытии темы. Так алкоголик, идя в очередной раз за добором и стреляя по дороге мелочь, мечтает, чтобы ВВП закрыл все эти магазинчики и винные отделы в "супермаркетах"...

[Shtorm]

Алексей К., я сейчас после гулянки, так-что во избежании, не буду пока комментировать Ваши сообщения. Пока напишу сообщение по мотивам прошлым своих сообщений:

Алексей К. в сообщении #583768 писал(а):

Чердак Б.М. Ограниченность кривых, заданных своими кривизнами. Уч. зап. Ленинград. пед. ин-та им. А.И. Герцена, т. 274(1965), 202–212.
Саму статью не нашёл, пересказываю по памяти: кривая имеет асимптоту, если интеграл

$$\int\limits_0^\infty s\,k(s)\,ds$$

сходится (там кривизна и длина дуги). Нормальный признак, которому наплевать на наклонность, горизонтальность и прочую чушь. Инвариантный то есть. Вторую асимптоту получим при интегрировании от нуля до $-\infty$.

Shtorm в сообщении #1038537 писал(а):

.... Как раз с окружностью-то в этом плане никаких проблем нет.

$$k(t)=\frac{1}{R},\ \ k(s)=\frac{1}{R}$$

Графиком будет являться прямая, перпендикулярная оси кривизн и параллельная оси натурального параметра. Так что спокойненько подставляем в несобственный интеграл и получаем, что интеграл расходится. Всё верно - асимптоты нет. .....

Ошибка с моей стороны: Функция $k(s)=\frac{1}{R}$ определена на отрезке $[0;R$\pi$]$, поэтому мы не имеем права брать этот несобственный интеграл от $0$ до $+\infty$.

-- Пн июл 20, 2015 20:54:38 --

INGELRII в сообщении #1038886 писал(а):

Очевидно, что даже если эти две величины называются одним и тем же словом "кривизна", это все равно две разных величины.

Скажите это авторам учебников по матанализу.

INGELRII в сообщении #1038886 писал(а):

Теперь скажите, в чем тут тема для обсуждения на 12 страниц..

Тема разбилась на несколько подтем. Основная тема - это использование кривизны для асимптот, а то иначе и смысла не было бы. Естественно с приходом в тему Алексея К. возникла подтема о знаке кривизны. Хотя инициатором в этой теме был я этой подтемы, я опирался на ранее высказанные тезисы Алексея К. о знакаx кривизны.

[Shtorm]

Итак, изначально я планировал применить кривизну для проверки наличия асимптот кривых. Предложенный мной признак был раскритикован и затем, благодаря участникам дискуссии, с рядом изменений всё же был сформулирован. Но сформулированный признак оказался слишком слабым для проверки наличия асимптот, поскольку у огромного числа кривых кривизна стремится к нулю на бесконечности, но асимптоты нет. Интегральный признак с кривизной оказался слишком труден для аналитического применения для конкретных кривых. Ведь даже для обычной гиперболы, его применение наталкивается на большие трудности. Поэтому я ещё раз попробую сформулировать признак без интеграла. Для чего это нужно?: Потренировавшись в применении признака на кривых, заданных явно, я хочу применить его для кривых, заданных неявно, для того, чтобы облегчить получение ответа на вопрос - есть у кривой асимптота или нет?
Итак формулирую:
Явная однозначная элементарная вещественнозначная функция $y=f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, если:
1. Функция $f(x)$ монотонна при $x\to \infty$,
2. Кривизна кривой, заданной уравнением $y=f(x)$ стремится к нулю при $x\to \infty$.
3. Любая последовательность $\frac{f_i(x)}{x_i}$ сходится.
Замечание.
Есть случаи, когда $f(x)$ не монотонна вдоль своей асимптоты, но её кривизна стремится к нулю.

[Otta]

$f_i$ это что?

[Shtorm]

Otta, это значение функции $y=f(x)$ при $x=x_i$

[grizzly]

Shtorm в сообщении #1039182 писал(а):

Явная однозначная элементарная вещественнозначная функция $y=f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, если:
1. Функция $f(x)$ монотонна при $x\to \infty$,
2. Кривизна кривой, заданной уравнением $y=f(x)$ стремится к нулю при $x\to \infty$.
3. Любая последовательность $\frac{f_i(x)}{x_i}$ сходится.

Я что-то пропустил в теме? $f(x)=\sqrt{x}$ у нас по этим признакам должна иметь асимптоту?

[Shtorm]

grizzly, всё, признак на свалку

[vlad_light]

Вот мне интересно, Вы будете придумывать признаки, пока не закончатся контрпримеры?

[Shtorm]

vlad_light, я думаю, что же делать дальше. Конечно мне хочется сформулировать так, чтобы в признаке присутствовала кривизна и чтобы признак был правильным, но не таким сложным как тот несобственный интеграл. Возможно, что это чисто теоретически нельзя.

[Алексей К.]

Shtorm, пока не закрыли тему, Вам следует успеть закрыть ещё одно своё глобальное дифференциальное заблуждение.

В теме имеются явные признаки того, что Вы считаете приращение пути на кривой

$$\begin{picture}(100,40)\color{red}\qbezier(15,5)(50,5)(85,5) \color{black}\qbezier(85,5)(100,5)(100,10)\qbezier(100,10)(100,15)(85,15) \color{green}\qbezier(85,15)(50,15)(15,15) \color{black}\qbezier(15,15)(0,15)(0,20)\qbezier(0,20)(0,25)(15,25) \color{red}\qbezier(15,25)(50,25)(85,25) \put(85,25){\vector(1,0){15}} \end{picture}$$

положительным на красных участках (типа $ds>0$), и отрицательным на зелёном. Это типа не так.

От Ваших признаков пользы никому не будет, а от этого --- хоть какая-то, Вам лично.

-- 21 июл 2015, 20:59:55 --

Shtorm в сообщении #1038948 писал(а):

Естественно с приходом в тему Алексея К. возникла подтема о знаке кривизны.

По-Вашему, куда я ни явлюсь, там сразу возникнет обсуждение знака кривизны?
Просмотрите поиском, и увидите, кто заикался про знаки кривизны. И учитесь, наконец, правильно пользоваться словами.
Мой коллега, прочитамши это, чуть не отказался от приглашения поужинать у меня на балконе...

[Shtorm]

Алексей К., конечно при движении вдоль всей неявно заданной кривой, в направлении Вами нарисованном, длина кривой все время возрастает. Когда же я в этой теме писал про $ds<0$, то в тот момент рассматривал явно заданную кривую $y=f(x)$ при $dx<0$. То есть там предполагалось для кривой выбранное положительное направление по оси $OX$ положительно направленной, а соответственно обратное направление было отрицательным.

[Алексей К.]

В смысле --- мало что понял. Буду считать, что от заблуждения Вы избавились, просто сказать не можете.

Кривая с натуральным уравнением $k=f(s)$, $0\le s\le L$, ведёт из точки $A$ в точку $B$.
Как выглядит натуральное уравнение пути из $B$ в $A$?

Ну, это, разумеется, если Вам интересно. Вдруг для асимптот сгодится?

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1039250 писал(а):

В смысле --- мало что понял.

может будет так понятней:

$$ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$$

Если $dx>0$ то $ds>0$, если $dx<0$ то $ds<0$

[Алексей К.]

Нет, понятней не будет.
Вы привели формулу, которую обычно пишут в ЕСТЕСТВЕННОМ предположении, что $dx>0$.
Иначе бы там было $|dx|$.

Об этом же Xaositect в сообщении #1038428 писал(а):

Вот в этой формуле предполагается вполне определенное направление. Внимание, вопрос: какое именно?

Да, если будет упрёк в применении "двойных стандартов" (как бы мне можно писать слово "естественно", а Вам нельзя), то я с ним соглашусь.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1039269 писал(а):

Вы привели формулу, которую обычно пишут в ЕСТЕСТВЕННОМ предположении, что $dx>0$.

Алексей К., хотелось бы конечно полной ясности в этом вопросе. Итак берём $dx>0$, берём положительное направление и в этом предположении выводим формулу:

$$k=\dfrac{y''}{\left(1+(y')^2\right)^\frac{3}{2}} \ \ \ (1)$$

Теперь берём отрицательное направление, значит $dx<0$ и в этом предположении выводим формулу

$$k=-\dfrac{y''}{\left(1+(y')^2\right)^\frac{3}{2}} \ \ \ (2)$$

Пока всё верно?
Теперь для примера возьмём $y=\sin(x)$. Если мы оцениваем кривизну и её знак для этой кривой в первом квадранте, то используем формулу (1). Если же оцениваем кривизну и её знак во втором квадранте, то берём формулу (2). Что неверно?

-- Вт июл 21, 2015 23:19:58 --

Алексей К., только можно именно на синусе объяснить, а не критиковать за выбор синуса. Мне с синусом понятней ситуация просто.