Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1029182 писал(а):

commator в сообщении #1027954 писал(а):

И на нотном стане:
и в таблице:
и на диске:

Непонятно, как в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" определить операцию "умножения", соответствующую операции умножения рациональных чисел. Для того представления "гармонической сети", о котором говорил я, есть подсказка у Кокстера:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/2.html
(рис. 135 с гиперболой)

Свободный Художник в сообщении #1027935 писал(а):

Операцию умножения на лучах пучка, отвечающей операции умножения рациональных чисел, определить несложно.

Даже Филолай мыслит в терминах операции умножения числовых отношений:
http://www.chrysalis-foundation.org/Phi ... Euclid.htm
(на указанной странице: Part IV: Philolaus, Euclid, Aristoxenus, and Ptolemy, Section 10.10)
А где эта операция у Вас?

-- Чт июн 25, 2015 23:33:28 --

Если Вы пытаетесь построить некую "алгебру музыкальной гармонии", то было бы логично, если бы Вы использовали в ней какие-нибудь понятия и конструкции из этой самой алгебры. Например, группоид Брандта, о котором я писал, есть, как раз-то, вполне определенная алгебраическая система.

Свободный Художник в сообщении #1029182 писал(а):

Непонятно даже, каким образом определить в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" операцию группоида Брандта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/4.html

Нам будет вполне достаточно информации об этой системе, приведенной у Клифорда и Престона:
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1.html
Причем это такая алгебраическая система, которая относится именно к делу (построения некоей "алгебры музыкальной гармонии").

-- Чт июн 25, 2015 23:47:35 --

К делу она относится потому, что при помощи стандартных алгебраических конструкций, кратко обрисованных, например, у А. Г. Куроша:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/1/3.html
мы можем определить абелеву группу, изоморфную абелевой группе всех рациональных чисел относительно операции умножения, как фактор-полугруппу полугруппы Брандта по очевидной конгруэнции.
И далее определить интересующие Вас ЧИПы разнообразных пределов как подгруппы этой группы.
Тогда появление ЧИПов будет естественным, они не будут просто выскакивать из ниоткуда, как чертики из табакерки.

[commator]

bntr в сообщении #1030995 писал(а):

А почему пределом ЧИ вы выбрали 3? Разве не 5 больше подходит для интерпретации трезвучий (пусть даже неискушенным мозгом)?

Не всё сразу...

Теперь и версия ЧИП5 дозрела. Вместе с версией решения Вашей полезной и занимательной задачи.

bntr в сообщении #1029618 писал(а):

Предположим на своём пианино я сыграю ряд трезвучий в рамках до-мажора (белых клавиш) на ступенях: I, V, II, IV, I.
Предположите, пожалуйста, как мой мозг рационализирует эту последовательность. Я теряюсь.
Вроде должен быть шов (дидимова комма), но я слышу, что соседние аккорды подходят друг к другу и, наверное, красиво соединяются в рациональную сетку.

Если Ваше пианино стандартно настроено в системе 12РДО, Вы себе стимулируете такое:



https://sites.google.com/site/commator/ ... 00v12e.mp3
https://sites.google.com/site/commator/ ... 00v12e.zip: здесь MID & TIF
https://sites.google.com/site/commator/ ... 00v12e.sib

В предложенной стимуляции, если её дребезжащий софизм натурального $C\mathrm{-}dur$ будет оправдан ощущениями как подсистема ЧИП5 системы натурального $\mathrm{=}a1:[1/1]\mathrm{-}moll$, возникает нужда в комматическом шве, как Вы это назвали, на энгармонически близких, но разных до ощутимости высотах Δι,$g1:[9/10]$ ≢ $\mathrm{=}g1:[8/9]$. Фокус в том, что Ваша композиция именно эти ноты так разносит по разным голосам, что никоим образом они в одну КП не попадают, отчего шва в области ощущений нет, хотя из области стимулов можно точно подавать его отображение и в области ощущений чёрная Δι,$g1:[9/10]$ действительно окажется на комму выше красной $\mathrm{=}g1:[8/9]$:



https://sites.google.com/site/commator/ ... 00v05j.mp3
https://sites.google.com/site/commator/ ... 00v05j.zip: здесь MID & TIF
https://sites.google.com/site/commator/ ... 00v05j.sib

Моё предпочтение отдано версии ЧИП5, бесспорно.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

Если Вы пытаетесь построить некую "алгебру музыкальной гармонии"

В действительности строить алгебру музыкальной гармонии не пытаюсь, а пытаюсь её выявлять в музыкальных постройках, с большим стремлением пользоваться известным и к тому пригодным из музыкальной теории.

-- 26.06.2015, 02:46 --

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

появление ЧИПов будет естественным, они не будут просто выскакивать из ниоткуда, как чертики из табакерки.

ЧИПы не выскакивают из табакерки, а очень естественно укладываются одна в другую как матрёшки.

[bntr]

commator в сообщении #1031055 писал(а):

хотя из области стимулов можно точно подавать его отображение и в области ощущений чёрная Δι,$g1:[9/10]$ действительно окажется на комму выше красной $\mathrm{=}g1:[8/9]$

Спасибо за интерпретацию. Интересно, что получается a-moll.

Т.е., по-вашему, шов -- уже между первыми двумя аккордами -- это они не сцепляются в:

         4-----5-----6
                     |
            3--------4--------5

Думаю дальше. Если бы моя композиция состояла только из этих первых двух аккордов, то, верю, мозг интерпретировал бы это их сцепление "6-4" без шва. Полагаю, так же было бы и в полной, но не доигранной до конца, композиции - пока прозвучали лишь первые два аккорда из пяти. Тогда получается, что шов в воображении появляется позже (задним числом, ретроспективно), когда остальные аккорды уже прозвучали, и мозг вынужден как-то замыкать сыграную петлю, -- переинтерпретируя для этого второй аккорд.

-- 26.06.2015, 08:19 --

commator в сообщении #1030790 писал(а):

Если не точно в связи с таким же сравнением, так с почти не отличимым от него, до сих пор читают давно написанное

Вчера перечитал про энгармонизм у Холопова. Мне нравится, как он наводит мосты между энгармонической разомкнутостью (позволяющей микрохроматику) и энгармоническим замыканием:

Ю. Холопов в Энгармонизм. Равномерная темперация. писал(а):

Несмотря на «уравниловку» темперации, музыкальный слух сохраняет способность в хроматике различать значения: «вверх» и
«вниз» (квинтового ряда, квинто-терцовой сети), пребывание в «центре» и удаление от него (к субсистемам, к «краям», «периферии»), движение «в сторону диезов» и «в сторону бемолей», движение плавное и скачкообразное, энгармоническое замыкание и энгармоническую разомкнутость. В самой природе хроматического рода два полюса: с одной стороны, чистая квинтовая семиступениость (диатоника), с другой - чистая полутоновая двенадцатиступениость (гемитоника
Веберна), причем для музыки действительны и исторически важны все промежутки между этими полюсами, любые пропорции, любые
степени густоты хроматики (так же как любые большие числа всегда содержат в себе и малые, меньшие). Поэтому между энгармоническим различием и энгармоническим тождеством находится сколь угодно много промежуточных состояний, с любыми пропорциями диатоники и хроматики; отсюда актуальность для хроматического рода того контраста, который возникает между «краями» системы, между «бемольными» и «диезными» ступенями.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1031065 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

появление ЧИПов будет естественным, они не будут просто выскакивать из ниоткуда, как чертики из табакерки.

ЧИПы не выскакивают из табакерки, а очень естественно укладываются одна в другую как матрёшки.

А откуда они появились, прежде чем уложиться одна в другую?
То есть получается, что сначала, все-таки, выскакивают.
А хотелось бы, чтобы их первоначальное появление выглядело как-то закономерно...

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

К делу она относится потому, что при помощи стандартных алгебраических конструкций, кратко обрисованных, например, у А. Г. Куроша:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/1/3.html
мы можем определить абелеву группу, изоморфную абелевой группе всех рациональных чисел относительно операции умножения, как фактор-полугруппу полугруппы Брандта по очевидной конгруэнции.
И далее определить интересующие Вас ЧИПы разнообразных пределов как подгруппы этой группы.
Тогда появление ЧИПов будет естественным, они не будут просто выскакивать из ниоткуда, как чертики из табакерки.

Хочу добавить, что нужно не просто отношение эквивалентности, а именно конгруэнция, то есть отношение эквивалентности, определенным образом согласованное с группоидной операцией, как это подробно описано у Клифорда - Престона:
http://www.px-pict.com/9/5/2/8/5.html

Добавлю еще, что нужное нам отношение эквивалентности (являющеся конгруэнцией) очень хорошо "видно" на "лучевой модели", где точки, лежащие на лучах, и являются соответствующими классами эквивалентности (отбрасывая точку, являющуюся началом координат:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/1.html

[commator]

bntr в сообщении #1031098 писал(а):

Интересно, что получается a-moll

Первичность $a\mathsf{-}moll$ нагляднейшим образом демонстрирует картинка основателя теории чистого строя:

Zarlino 1558 писал(а):

Белым клавишам большой октавы его инструмента присвоены большие буквы

A, H*, C, D, E, F, G;

на клавишах малой октавы и выше — малые буквы

a, h*, c, d, e, f, g.

Нынешняя система буквенных имён поддерживает первичность $C\mathsf{-}dur$; в ней Царлино пришлось бы нанести на клавиши такие буквы:

A, H, c, d, e, f, g, a, h, c1, d1, e1, f1, g1, a1,

что смотрится гораздо менее убедительным поводом для размещения клавиш класса А в начале, середине и конце клавиатуры его инструмента.

*) h, особенно готическое $\mathfrak{h}$ похоже на b-квадратное, по-французски becarre, т. е. бекар и международный значок , первоначально обозначавший твёрдую, жёсткую b, в отличие от обычной, округлой и мягкой $\mathfrak{b}$, по-французски bemol, у нас имя бемоль для международного значка . Произносить имя ноты H, h как аш, эйч или ха, как у нам повелось, не вполне правильно. Лучше бекар, что и написано на соотаетсвующих клавишах Царлино.

commator в сообщении #997469 писал(а):

В сонантометрических преобразованиях удобно избавиться от $H$ и вместо $B, H, His$ писать не $B$♭, $B$♮, $B$♯, а $Bes, B, Bis$, что на нотном стане будет отображаться некоторыми подмножествами высотных классов Си-бемоль, Си-бекар и Си-диез.

-- 26.06.2015, 10:44 --

Свободный Художник в сообщении #1031116 писал(а):

А откуда они появились, прежде чем уложиться одна в другую?

ЧИПы всегда присутсвуют в простанстве звуковысотных ощущений, притом в образцово уложенном виде.

Если туда какая-то чертовщина из табакерки проскакивает, но укладкой образцов отчуждается, то она и не ЧИПа, стало быть, а фальшь неприятная.

[Свободный Художник]

Что такое "пространство звуковысотных ощущений"?
Можно ли определить его, используя средства математической логики (например, при помощи некоторой первопорядковой теории)?
"Театр начинается с вешалки"(©), а первопорядковая теория -- с объявления сигнатуры. Как, например, я пытался сделать для своего "пространства элементарных звучий":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/2.html

Не желали бы и Вы сделать нечто подобное при определении "пространства звуковысотных ощущений"?

[commator]

bntr в сообщении #1031098 писал(а):

перечитал про энгармонизм у Холопова

По поводу перечитал этот параграф у Холопова было кем-то однажды высказано:

rar писал(а):

Подобно сороке Холопов просто понатаскал приглянувшихся ему незнакомых слов и натыкал их куда ни попадя.
Вот только сорока не объявляет свою трескотню — теоркурсом.

Обидно, когда интеллигентные люди горячо обсуждают всю эту <...>, кропотливо анализируют, цитируют, пытаются расшифровать, словно речь — о каком-то наскальном рисунке, древнем папирусе, поврежденной записи из обгоревшего черного ящика, — а не об изданном в 21 веке учебнике под названием "Теоретический курс". Повторно изданном, кстати, так что у писателя было время и почитать.

Насколько мне известно, первое толковое русскоязычное употребление слов с корнем энгармон произошло задолго до издания и переиздания понатасканного холоповского теоркурса:

Одоевский 1868 по Бернандту 1956 писал(а):

§ 27. Мы признали названия: мажорная и минорная гамма неточными потому, что сими названиями смешиваются понятия о гамме (Gamma-Tonleiter) с понятиями о ладе (Tonart) и роде (Tongeschlecht). Гамм только три, а именно: диатони­ческая, хроматическая и энгармоническая. Лады же, роды, гласы — суть лишь погласицы, части или видоизменения од­ной из сих трех гамм.
<...>
О диатонической гамме слух может получить понятие, еcли играть на одних белых клавишах фортепиан.
<...>
О хроматической гамме, — если играть на фортепианах, не пропуская ни одной белой и ни одной черной клавиши.
<...>
Об энгармонической гамме на обыкновенных фортепианах слух не может получить никакого понятия; но на скрипке, или виолончели, а равно и в голосе человеческом, различие например, между Ut# и ReЬ (меньше полуинтервала) весьма заметно для слуха

Под таким утверждением русского князя стоит поставить печать Князя Музыки:

commator в сообщении #1023881 писал(а):

Zarlino 1558 писал(а):

Для чтения отыскал полезный материал: http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx

Получил русскоязычное представление о написанном на странице, коим делюсь со всеми, кому интересно:

Цитата:

И если некоторые верят, можно выразить другие гармонии, их три вышеуказанных; то сильно ошибаются: потому ничто другого рода из Диатонической, то же из Хроматической, то же из Энгармонической вы можете вывести (как и в других местах показано совершенно) в виде воплощения какого-то испытания, если таковое можно увидеть.

(Итальянский)

Et se alcuni credessero , chepossino esprimere altri concenti, che li tre sopradetti; di gran lunga s'ingannano: perche niuna altra specie di Diatonico, ne di Chromatico, ne di Enharmonico si può ridurre (comealtroue hò mostrato alla sua perfettione) come facendone ogni proua, ciascuno da se lo potrà vedere.

(Английский)

And if anyone should believe, that other harmonies could be expressed, more then the above mentioned three; they are far wrong: because no other kind of diatonic, nor of chromatic, nor of enharmonic could be reduced (as I showed elsewhere) to its perfection, as anybody could se, by making whatever test.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1032245 писал(а):

Что такое "пространство звуковысотных ощущений"?
Можно ли определить его, используя средства математической логики (например, при помощи некоторой первопорядковой теории)?
"Театр начинается с вешалки"(©), а первопорядковая теория -- с объявления сигнатуры. Как, например, я пытался сделать для своего "пространства элементарных звучий":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/2.html

Не желали бы и Вы сделать нечто подобное при определении "пространства звуковысотных ощущений"?

Желал бы, не будь у меня более сильного желания делать и слушать MIDI модели детемперированной музыки.

Вот мой один из ответов на один из Ваших вопросов:

commator в Сети писал(а):

Нашлась на Сети подходящая картинка для удовлетворения Вашего любопытства:

Следует лишь понимать $a$ как дробь $a/1$. Тогда $1$ и $-1$ на оси $y$ есть образы дробей с оси $x$, а именно $a/1$ и $1/a$ , соответственно.

Отображения с оси $x$ на ось $y$ увязаны с логарифмической кривой и в этом случае можно говорить о логарифмических образах дробей.

Для наиболее желанного моего занятия мне пока хватает представления о том, что ось $y$ на картинке является абстракцией пространства звуковысотных ощущений.

[bntr]

commator в сообщении #1032408 писал(а):

По поводу перечитал этот параграф у Холопова было кем-то однажды высказано

Не вдаваясь в дебри терминологии, я искал у Холопова подтверждение своего предположения о возможности бесшовного замыкания рациональной сетки в воображении. Благодаря своей наивности, нашёл подтверждение в этих абзацах:

Ю. Холопов в Энгармонизм. Равномерная темперация. писал(а):

В теме пассакалии 8-й симфонии Шостаковича (мелодия темы многократно проводится у струнных инструментов), строго говоря, при возвращении к началу происходит «понижающая» энгармоническая замена и при первом же повторении вместо gis-moll получается as-moll (пример 101). (Тема записана в точной нотации, без выписанной композитором энгармонической подмены es->dis в такте 7; точная транспозиция секвентных перемещений в тактах 4-7 полностью исключает здесь возможность звука dis в гармонии c-moll.)
Таким образом, совершенно очевидно, что даже и там, где теоретически возможно соблюдение нетемперированного строя, фактически мы слышим всё в зонной темперации, благодаря которой в композиции поддерживается единство высоты хотя бы главного звука ладотональной системы.

[commator]

commator в сообщении #1032408 писал(а):

толковое русскоязычное употребление слов с корнем энгармон

Важно для понимания:

Одоевский 1868 по Бернандту 1956 писал(а):

§ 32. Соединив звукоряд чистой диатонической гаммы с звукорядом хроматической диезной и с звукорядом хроматической бемольной, мы получим то, что ныне называется энгармонической гаммой, а именно:

Ut; Re ♭; Ut ♯; Re; Mi ♭; Re #; Fa♭; Mi; Fa; Mi #; Sol ♭;
Fa #; Sol; La ♭; Sol ♯; La; Si♭; La ♯; Ut♭; Si; Ut; Si ♯

и т. д. (См. Prony, Instr. s. le Calcul. des Intervalles, Paris, 1832, p. 50. О степени приблизительности чисел, относящихся к интервалам, иначе о так называемой темперации, будет речь в особом приложении).

Существуют ли другие гаммы?

§ 33. Музыкальный мир подчинен условиям этих трех гамм: диатонической, хроматической и энгармонической. Никаких гамм в других смыслах не существует. — Часто известному ряду звуков придают, как мы заметили уже, названия мажорной или минорной гаммы; теперь, надеемся, для читателя вполне ясно, что такое выражение смешивает понятия, и даже просто нелепо; не всякий ряд звуков есть гамма; это название принадлежит единственно такому ряду звуков, который соединяет в себе акустические условия той или другой из трех поименованных нами гамм.

Из написанного и Царлино и Одоевским следует: без так называемой темперации всякие лады, роды, гласы — суть лишь погласицы, части или видоизменения од­ной из трёх гамм, а всякая гамма — подмножество гаммы энгармонической.

[commator]

bntr в сообщении #1029912 писал(а):

Может быть, у меня слишком широкие КП.

Что такое КП (критические полосы) не помешает ещё раз подробно вспомнить.

Позин и др. 1978 писал(а):

Критическая полоса. Статика. Способность различать близкие по частоте одновременно предъявляемые одно-тоновые сигналы, т. е. разрешающая способность слуха, характеризуется критической полосой частот [117—120]. Критическая полоса частот равна примерно 100 Гц в низкочастотной части диапазона (ниже 500 Гц), а в высокочастотной его части возрастает с ростом частоты (рис. 34). Расположение сигналов внутри или вне критической полосы частот влечет за собой резкое изменение качественных и количественных характеристик восприятия этих сигналов [121—124]. Например, добавление к сигналу новых спектральных компонент не приводит к возрастанию его громкости, если они попадают в одну критическую полосу; при попадании в разные критические полосы громкость сигнала возрастает [122].

При постепенном разнесении по частоте компонент двухтонового сигнала меняется характер слышимого звука; сначала слышим биения (единицы герц), затем хрипы (около 10 Гц), затем появляется разностный тон (свыше 25 Гц), и только при интервале большем, чем критическая полоса, слышны оба тона [123, 124]. По-видимому, критическая полоса характеризует интервал частот, внутри которого происходит взаимодействие спектральных компонент сигнала.

Динамика. При уменьшении длительности тональной посылки ниже 10 мс величина критической полосы начинает возрастать [125, 126].

Рис. 34. Зависимости критической полосы (сплошная линия) и разрешающей способности (штриховая линии) от частоты (данные [117 и 118]).

[commator]

commator в сообщении #1032658 писал(а):

Что такое КП (критические полосы) не помешает ещё раз подробно вспомнить.

Asmussen 2001 писал(а):

Введение в критическую полосу

Когда две синусоиды удовлетворительно разделяются по частоте, они обрабатывается улиткой как отдельные сущности, с воспринятой громкостью одной синусоиды, незатронутой другой. Когда их частоты достаточно близки друг к другу, два синусоидальных сигнала взаимодействуют, маскируя, или уменьшая, таким образом, амплитуду друг друга внутри улитки [Max Mathews, ‘The Ear and How it works,’ (Perry R. Cook, Editor) Music, Cognition and Computerized Sound (Cambridge: MIT Press, 1999), p. 9].

Для каждого слухового нейрона внутри улитки, можно вычертить кривую настройки, или график минимального уровня звукового давления для нейральной реакции в сравнении с частотой. Характеристическая частота (ХЧ) есть частота, на которой такой нейрон может быть стимулирован с минимумом амплитуды. Отклонение от ХЧ либо выше, либо ниже, причинит соответствующее уменьшение на выходе исследуемого нейрона.

Психофизическая кривая настройки (ПКН), аналогично есть модель к нейральной кривой настройки, полученная через испытания, в которых слушатель прослушивает сначала тон, чья частота и амплитуда предопределена, и затем второй тон, или masker. Уровень, на котором masker маскирует тон, затем зарегистрирован, чтобы установить общую форму слухового фильтра.

Результаты указывают, что внутреннее ухо есть набор перекрывающихся линейных полосовых фильтров. Комбинация двух или трех фильтров, известных вместе как Roex [Rounded exponential] фильтр, может использоваться для моделирования полосы улитки для данной частоты [Patterson and Moore, 'Auditory filters and excitation patterns as representations of frequency resolution,’ (Brian C. J. Moore, Editor) Frequency Selectivity in Hearing (London: Academic Press, 1986), p. 136-7]. Для отдельной синусоиды, форма слухового фильтра, как обозначено пороговыми кривыми в различных частотах, является экспоненциальной [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 123]. Moore характеризует форму слухового фильтра как округленную показательную функцию с полосой пропускания, чьи окраины близки к экспоненциальным, но чья вершина сглажена:

Цитата:

Для молодого нормального слушателя, среднего уровня, и частоты центра 1.0 КГЦ, эквивалентная прямоугольная ширина полосы фильтра есть приблизительно 130 Гц, и она приблизительно симметрична на линейной шкале частот. Фильтр применяет около 25dB ослабления [на] 300 Гц выше или ниже частоты сигнала [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

В музыкальных терминах, размер тонального окна, в котором синус-компоненты одного или большего количества тонов взаимодействуют есть приблизительно малая терция. Размер критической полосы увеличится, по мере снижения к частотам более низких клавиш фортепьяно. Дополнительно, амплитуда заставляет размер критической полосы увеличиваться, особенно в низшем регистре.

(Английский)

Introduction to Critical Bandwidth

When two sinusoids are adequately separated in frequency, they are processed by the cochlea as distinct entities, with the perceived loudness of one sinusoid being unaffected by the other. In the event that their frequencies are sufficiently close to one another, the two sinusoidal signals interact, thus masking, or diminishing the amplitude of, one another within the cochlea [Max Mathews, ‘The Ear and How it works,’ (Perry R. Cook, Editor) Music, Cognition and Computerized Sound (Cambridge: MIT Press, 1999), p. 9].

For each auditory neuron within the cochlea, a tuning curve, or graph of minimum sound pressure level for neural response versus frequency, can be drawn. The characteristic frequency (CF) is the frequency at which such a neuron can be stimulated with a minimum of amplitude. Deviating from the CF either above or below will cause a corresponding decrease in the output from the neuron being examined.

The psychophysical tuning curve (PTC), similar is shape to the neural tuning curve, is obtained through tests in which the listener hears first a tone whose frequency and amplitude are predetermined, and then a second tone, or masker. The level at which the masker masks the tone is then recorded in order to determine the overall shape of the auditory filter.

Results indicate that the inner ear is a bank of overlapping, linear bandpass filters. A combination of two or three filters, known collectively as a Roex filter, can be used to model the bandwidth of the cochlea for a given frequency [Patterson and Moore, 'Auditory filters and excitation patterns as representations of frequency resolution,’ (Brian C. J. Moore, Editor) Frequency Selectivity in Hearing (London: Academic Press, 1986), p. 136-7]. For a single sinusoid, the shape of the auditory filter, as indicated by threshold curves at various frequencies, is exponential [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 123]. Moore characterizes the shape of the auditory filter as a rounded exponential function with a passband whose skirts are close to exponential but whose top is flattened:

Цитата:

For a young normal listener, a moderate level, and a 1.0 KHz centre frequency, the equivalent rectangular bandwidth of the filter is about 130 Hz and it is approximately symmetrical on a linear frequency scale. The filter applies an attenuation of about 25dB 300 Hz above or below the signal frequency [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

In musical terms, the size of the tonal window in which the sine components of one or more tones interact is approximately a minor third. The size of a critical band will increase as it descends to the frequencies of the lower keys of the piano. Additionally, amplitude causes the size of the critical band to augment, especially in the lower register.

[commator]

Сопоставление знания о критических полосах:

commator в сообщении #1032709 писал(а):

Asmussen 2001 писал(а):

Цитата:

Для молодого нормального слушателя, среднего уровня, и частоты центра 1.0 КГЦ, эквивалентная прямоугольная ширина полосы фильтра есть приблизительно 130 Гц, и она приблизительно симметрична на линейной шкале частот. Фильтр применяет около 25dB ослабления [на] 300 Гц выше или ниже частоты сигнала [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

В музыкальных терминах, [b]размер тонального окна, в котором синус-компоненты одного или большего количества тонов взаимодействуют есть приблизительно малая терция. Размер критической полосы увеличится, по мере снижения к частотам более низких клавиш фортепьяно. Дополнительно, амплитуда заставляет размер критической полосы увеличиваться, особенно в низшем регистре.

(Английский)

Цитата:

For a young normal listener, a moderate level, and a 1.0 KHz centre frequency, the equivalent rectangular bandwidth of the filter is about 130 Hz and it is approximately symmetrical on a linear frequency scale. The filter applies an attenuation of about 25dB 300 Hz above or below the signal frequency [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

In musical terms, the size of the tonal window in which the sine components of one or more tones interact is approximately a minor third. The size of a critical band will increase as it descends to the frequencies of the lower keys of the piano. Additionally, amplitude causes the size of the critical band to augment, especially in the lower register.

с правилом музыкальной теории:

Скребков 1965 писал(а):

в развитии мелодии значительное место занимает плавное, поступенное движение (секунды), чередующееся со скачками¹; скачок в одном направлении уравновешивается поступенным движением или скачком в противоположном направлении и т. п., поэтому после скачка и перед ним обычно избегается движение в том же направлении;
<...>
¹ Необходимо отметить, что в полифонической мелодии ход на терцию считается скачком.

Возникает непреодолимый соблазн предположить, что плавное голосоведение происходит внутри одной КП, которая перестраивает свою среднюю высоту вслед за голосом до тех пор, пока в нём не происходит скачок.

Когда в голосе происходит скачок, высота после скачка активирует новую КП, со средней высотой вблизи таковой после скачка, а предыдущая КП теряет стимуляцию и за какое-то время, не сразу, деактивируется, если не будет поддержана новой стимуляцией. В течение деактивации, брошенная КП может сохранять в области ощущений фантом последней высоты, пусть слабый, но способный взаимодействовать с ощущениями других высот (стимулированных и фантомных), имеющими место в это же время.

Упомянутое правило музыкальной теории помогает избегать беспорядочной активации/деактивации излишнего количества КП, в таком случае.

[commator]

commator в сообщении #1033038 писал(а):

правило музыкальной теории помогает избегать беспорядочной активации/деактивации излишнего количества КП

Привлекательность этой гипотезы усиливает ещё одно положение музыкальной теории:

Евдокимова 2000 писал(а):

важны пространственные координаты — расположение голосов в более широком их отстоянии один от другого, нежели в мелосной концепции
<...>
В строгом хоровом письме у каждого голоса полифонического многоголосия есть своё звуковое пространство, достаточно автономное. Конечно, голоса могут по надобности временами перекрещиваться и сливаться, но это не является общей нормой. По крайней мере, размещаться в одном звуковом диапазоне, переплетаясь, накладываясь один на другой, как это было в мелосной полифонии солистов, в строгом хоровом письме голоса не могут

Даже для носителей не слишком узких КП создаются условия предельно щадящего режима восприятия многоголосной музыки с предельно облегчённой возможностью отслеживать движение каждого голоса.