Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022458 писал(а):

Прошу Вас привести формальное доказательство последнего равенства

Охх. Просто вспомните, что формула переноса вектора $A_i$ по малому контуру, натянутому на пару векторов $dx^j$ и $dy^k$, записывается как

$$\delta A_i = A_l R^l_{ijk} dx^j dy^k$$

Собственно, это является определением тензора кривизны, из которого выводится его известная формула через символы Кристоффеля. Соответственно, указанная ранее формула означает ни что иное, как

$$\delta g_{ij} = 0$$

при переносе по любому малому контуру. Переход к переносу по любому (не малому) контуру производится посредством интегрирования, то бишь разбивки на малые контуры.

[Oleg Zubelevich]

У меня такой вопрос. Предсавьте себе, что имеются две разные метрики $g^{(n)}_{ij}(x),\quad n=1,2$ удовлетворяющие
$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0$ , причем $g^{(1)}(x_0)=g^{(2)}(x_0)$. Тогда получается $\tilde g(t)=g^{(1)}(x(t))=g^{(2)}(x(t))$.
Меня это как-то напрягает, а Вас?

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022475 писал(а):

У меня такой вопрос. Предсавьте себе, что имеются две разные метрики $g^{(n)}_{ij}(x),\quad n=1,2$ удовлетворяющие
$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0$ , причем $g^{(1)}(x_0)=g^{(2)}(x_0)$. При этом, получается $\tilde g(t)=g^{(1)}(x(t))=g^{(2)}(x(t))$.
Меня это как-то напрягает, а Вас?

Я так предполагаю , что если $g^{(1)}(x_0)=g^{(2)}(x_0)$, то непременно будет $\tilde g^{(1)}(x)=\tilde g^{(2)}(x)$ в любой точке $x$ рассматриваемой области (здесь тильдой обозначен результат переноса из точки $x_0$). Так что говорить о том, что метрики "разные", никак не получится.

Другое дело, если $g^{(1)}(x_0) \ne g^{(2)}(x_0)$, этот случай гораздо интереснее.

[Утундрий]

epros в сообщении #1022442 писал(а):

Это лишнее.

Это для простоты. Общий случай непринципиально сложней рассмотренного.

epros в сообщении #1022442 писал(а):

Равенство нулю следа совершенно нет необходимости проверять отдельно

Если оно не выполнено, то дальше можно не идти.

epros в сообщении #1022442 писал(а):

Ба, а это разве мы пришли не к тому самому

Конечно моряк. А вы ожидали найти здесь епископа?

epros в сообщении #1022442 писал(а):

А это зачем?

Затем, что нас интересуют не "любые", а только невырожденные метрические тензоры. Строго говоря, вырожденные матрицы и метриками-то называть не следует.

-- Пн июн 01, 2015 21:42:18 --

VanD в сообщении #1022435 писал(а):

Может я не в тему скажу, но если я всё правильно понял, есть мысль, что даже локальная разрешимость не гарантирует, что Вы сможете гладко сшить метрику на всём многообразии. Как со сферой: нет там метрики, которая в какой-либо системе координат имеет постоянные компоненты, значит есть шанс обмануться с локальным подбором "метрики". Тогда, допустим, локально Вы нашли метрику под связность, а как показать, что и глобально это можно сделать?

Не получится гладко, сделаем внахлёст. Вообще, вопрос сам по себе не претендует на глобальность. Так, упражнение по урчп. Невесть с чего раздутое до размеров философской дискуссии.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1022478 писал(а):

Я так предполагаю , что если $g^{(1)}(x_0)=g^{(2)}(x_0)$, то непременно будет $\tilde g^{(1)}(x)=\tilde g^{(2)}(x)$ в любой точке $x$ рассматриваемой области (здесь тильдой обозначен результат переноса из точки $x_0$). Так что говорить о том, что метрики "разные", никак не получится.

Другое дело, если $g^{(1)}(x_0) \ne g^{(2)}(x_0)$, этот случай гораздо интереснее.

Вы еще не поняли, что контрпример получили? Возьмите плоскую связность (для которой $R^i_{jkl}\equiv 0$). Уравнение

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

выполнено тождественно, любые метрики ему удовлетворяют. Ну а теперь возьмите две метрики, которые совпадают лишь в одной точке.

Или возьмите метрику для которой тензор кривизны не равен нулю. И получите ее параллельными переносами с помощью плоской связности.

-- Пн июн 01, 2015 21:06:19 --

epros в сообщении #1022442 писал(а):

Любой метрический тензор, удовлетворяющий условию

$$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0,$$

будет согласованным со связностью.

[epros]

Утундрий в сообщении #1022491 писал(а):

epros в сообщении #1022442 писал(а):
Равенство нулю следа совершенно нет необходимости проверять отдельно.

Если оно не выполнено, то дальше можно не идти.

Если мы уже решили задачу на нахождение собственных значений, то проверять равенство следа нулю -- смысла точно нет.

Утундрий в сообщении #1022491 писал(а):

epros в сообщении #1022442 писал(а):
А это зачем?

Затем, что нас интересуют не "любые", а только невырожденные метрические тензоры. Строго говоря, вырожденные матрицы и метриками-то называть не следует.

Непонятно только, каким образом данное условие поможет не выродиться метрике, которая уже согласована со связностью?

[Утундрий]

epros в сообщении #1022516 писал(а):

Если мы уже решили задачу на нахождение собственных значений, то проверять равенство следа нулю -- смысла точно нет.

Вы понимаете, что такое алгоритм? Это когда шаг за шагом с возможностью досрочной остановки. Или четыре это уже таки сильно много?

epros в сообщении #1022516 писал(а):

Непонятно только, каким образом данное условие поможет не выродиться метрике, которая уже согласована со связностью?

Что ж, поймите. Попробуйте получить его из условия интегрируемости, предположив невырожденность $g_{\mu \nu}$.

Подсказка

(Оффтоп)

Невырожденность означает, что существует $g^{\mu \nu}$

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022515 писал(а):

Вы еще не поняли, что контрпример получили? Возьмите плоскую связность (для которой $R^i_{jkl}\equiv 0$). Уравнение

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

выполнено тождественно, любые метрики ему удовлетворяют. Ну а теперь возьмите две метрики, которые совпадают лишь в одной точке.

По-моему, Вы сейчас цепляетесь к словам, которые не являются однозначно неправильными, однако в силу неоднозначности естественного языка могут быть поняты неправильно.

Так не делают. Указанное уравнение решается только в одной точке (любой из указанной области), а метрика во всех остальных точках области получается параллельным переносом. Именно таким образом предлагается трактовать следующие слова:

epros в сообщении #1022442 писал(а):

Любой метрический тензор, удовлетворяющий условию

$$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0,$$

будет согласованным со связностью.

То бишь речь здесь была только о локальной согласованности. А глобально согласованную метрику можно получить только переносом.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022515 писал(а):

Или возьмите метрику для которой тензор кривизны не равен нулю. И получите ее параллельными переносами с помощью плоской связности.

Не понял смысла. Разумеется, метрика переносится той связностью, с которой она согласована. Согласованность означает только одно: что результат переноса не зависит от пути. Локальная согласованность -- что результат локального переноса не зависит от пути, а глобальная согласованность -- что результат переноса не зависит от пути в пределах рассматриваемой области.

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, я еще раз объясню. Вот это :

epros в сообщении #1022442 писал(а):

Любой метрический тензор, удовлетворяющий условию

$$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0,$$

будет согласованным со связностью.

тривиальная чушь. Контрпример. Берем связность такую, что $\Gamma_{ij}^k\equiv 0$. И метрику $g_{ij}(x)$ такую, что $\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\ne 0$. Эта метрика удовлетворяет уравнению $g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0$ поскольку для данной связности $R_{ikj}^n\equiv 0$. При этом $\nabla_k g_{ij}\ne 0$ -- метрика не является согласованной со связностью

-- Пн июн 01, 2015 21:42:33 --

epros в сообщении #1022347 писал(а):

Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью

таже чушь, вид с боку

-- Пн июн 01, 2015 21:51:54 --

epros в сообщении #1022525 писал(а):

Не понял смысла. Разумеется, метрика переносится той связностью, с которой она согласована

ну пошла юлежка и попытки подменить задачу

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022527 писал(а):

Берем связность такую, что $\Gamma_{ij}^k\equiv 0$. И метрику $g_{ij}(x)$ такую, что $\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\ne 0$. Эта метрика удовлетворяет уравнению $g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0$ поскольку для данной связности $R_{ikj}^n\equiv 0$. При этом $\nabla_k g_{ij}\ne 0$ -- метрика не является согласованной со связностью

Ещё раз: Это уравнение означает только локальную согласованность метрики. Со связностью $\Gamma_{ij}^k\equiv 0$ локально (т.е. в заданной точке) может быть согласована метрика с любыми значениями компонент в данной точке, однако это не значит, что с ней будет согласована любая метрика с любыми значениями компонент в любых точках окрестности. Соответственно, это не означает и то, что производные компонент метрики могут быть произвольными. В данном случае эти производные, очевидно, должны быть нулевыми, то бишь, компоненты метрики должны быть константами (любыми).

-- Пн июн 01, 2015 23:13:04 --

Утундрий в сообщении #1022522 писал(а):

Вы понимаете, что такое алгоритм? Это когда шаг за шагом с возможностью досрочной остановки. Или четыре это уже таки сильно много?

Я понимаю, что такое алгоритм, в котором шаг по проверке значения следа является лишним. В принципе, мы можем в качестве одного из первых шагов алгоритма также заложить проверку того, не упадёт ли нам через пять минут на голову метеорит. Если вдруг мы обнаружим, что метеорит упадёт, то это тоже будет досрочной остановкой, ибо нет никакого смысла дальше что-то считать, а лучше провести последние пять минут с большей пользой. Однако ж я полагаю этот шаг в алгоритме расчёта условий метризуемости пространства также лишним.

Утундрий в сообщении #1022522 писал(а):

Что ж, поймите. Попробуйте получить его из условия интегрируемости, предположив невырожденность $g_{\mu \nu}$.

Тогда спрошу так: Каким образом согласованная со связностью метрика может оказаться вырожденной, если формула для расчёта символов Кристоффеля через метрику предполагает наличие $g^{\mu \nu}$?

[Oleg Zubelevich]

Да. Вы не трудитесь, объяснять ни чего больше не нужно, уже все понятно. И мне и всем, кто следил за веткой, уверяю Вас, все ясно.

[epros]

Oleg Zubelevich, не переживайте, если Вас мои объяснения не интересуют, то я не перетружусь в попытках Вам что-либо объяснить. Но может Вы мне, убогому, объясните, что Вы имеете, например, против этого:

epros в сообщении #1022525 писал(а):

Согласованность означает только одно: что результат переноса [метрики] не зависит от пути

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022527 писал(а):

При этом $\nabla_k g_{ij}\ne 0$

А не дефинируете ли вот эту буковку? А то, кажется, её можно дефинировать по-разному... от этого и постановки задачи зависеть будут.

[Утундрий]

epros в сообщении #1022532 писал(а):

Я понимаю, что такое алгоритм, в котором шаг по проверке значения следа является лишним.

Доказательство "нелишнести": в алгоритме четыре строки, со второго шага досрочный выход. Это позволяет не делать шаги три и четыре.

epros в сообщении #1022532 писал(а):

В принципе, мы можем в качестве одного из первых шагов алгоритма также заложить проверку того, не упадёт ли нам через пять минут на голову метеорит.

Заложите, интересно будет поглядеть.

epros в сообщении #1022532 писал(а):

Каким образом согласованная со связностью метрика может оказаться вырожденной, если формула для расчёта символов Кристоффеля через метрику предполагает наличие $g^{\mu \nu}$?

Очень просто: метрика может быть ковариантно постоянной, даже будучи вырожденной.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1022556 писал(а):

А не дефинируете ли вот эту буковку?

см выше