PrikolВы описали эксперимент для определения среднего в серии измерений направления. Оно (вроде бы) совпало с осью
.
Что если мы всетаки вернемся к вопросу об определении всего, что надо, по заданной волновой функции.
Согласно существующей квантовой теории, всё, что можно определить из волновой функции стационарного состояния, это именно средние значения физических величин (а также их степеней: если физ. величине
в теории сопоставлен оператор
то величине
соответсвует оператор
) Ничего кроме средних по одной в.ф. стац. состояния определить нельзя.
Сюда же относятся и случаи, когда волновая функция стационарного состояния оказывается собственной функцией конкретного оператора
- просто тогда среднее совпадает с собственным значением
данного оператора на данной функции:
так что
и это говорит нам об отсутствии квантовых флуктуаций величины
в данном квантовом состоянии.
Посмотрев на часть волновой функции зависящей от угла
мы сразу, без всяких измерений можем сказать, какое значение
получится в первом же эксперименте. Мы можем также указать направление оси, вдоль которой всегда будет получаться это значение
Но где в этой заданной волновой функции "прячется" направление полного углового момента?
Да, потому что оператор проекции орбитального момента на ось
имеет вид
и волновая функция
как раз является собственной для этого оператора: она принадлежит собственному значению
ибо зависит от угла
как
Получается, что
не флуктуирующая величина в состоянии электрона с данной волновой функцией.
А остальная информация о полном угловом моменте "прячется" также в зависимости функции
от угла
(А если Вы неплохо знаете квантовую механику, то вспомните ещё и такой факт: радиальная часть волновой функции ведёт себя при
как
т.е. даже она содержит информацию о величине углового момента
- потому что в радиальное уравнение входит центробежная энергия
(здесь
- масса частицы)).
Операторы проекций орбитального момента
и
на
оси
и
имеют более громоздкий вид. (Проще все эти операторы записать через декартовы переменные
но тогда и волновую функцию надо выразить через декартовы переменные; это всё упражнения для студентов, формулы есть в задачниках и учебниках, а мне вломно тут печатать длинные формулы. Правда, более-менее просто выглядит векторный оператор углового момента, разложенный по локальным ортам сферической системы координат:
.
Скалярно умножив это выражение на орты декартовой с.к., найдёте отсюда операторы декартовых проекций углового момента, действующие на волновую функцию в сферической с.к.)
Средние значения проекций момента вычисляются с помощью этих операторов обычным для квантовой теории путём - как интеграл по всему объёму 3-мерного пространства (с координатами
) от
Вот и всё; собсно, это - азбучные истины, которые должны быть известны любому студенту, изучившему КМ.
Приличный студент должен знать также следующие факты. Из операторов проекций момента можно составить два вспомогательных оператора
,
,
обладающих примечательными свойствами: функция
оказывается равной умноженной на некую константу функции
а функция
равна умноженной на константу функции
Обе получившиеся так функции ортогональны к исходной функции
Следовательно, среднее значение (вычисляемое как интеграл от
) для этих операторов заведомо равно нулю, т.е.
,
.
Отсюда, один раз складывая, а другой раз вычитая эти равенства, без долгих вычислений интегралов сразу получаем тот ответ, о котором говорилось выше:
,