2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение17.04.2015, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Prikol в сообщении #1004566 писал(а):
и узнайте о спиновом пространстве. (Это из наиболее доступного)

А что бы спин-поляризаторы построить, надо в особое спиновое пространство перебраться? Вы перепутали Гильбертово пространство с обычным, 3+1 - мерным. Сами спиноры - это функции со значениями в специальном пространстве, но они прекрасно преобразуются при поворотах системы координат обычного пространства. Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение18.04.2015, 09:35 


19/03/09
130
У ТС функция а нужен вектор (типа спин-вектора) из представления SU(2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение18.04.2015, 09:54 


03/05/12

449
Helium в сообщении #1004080 писал(а):
Общее решение $\Phi $ уравнения $\frac{{d}^{2}\Phi }{d{\varphi }^{2}}+{m}^{2}\Phi =0$ имеет вид $\Phi =c_1 \cos (m \varphi )+c_2 \sin (m \varphi )$
Почему искусственно создается комплексная функция приняв ${c}_{2}=\pm i$

Если проблема только в неразрывности при периоде $2\pi$, то почему бы не взять $\Phi =c_1 \cos (m \varphi )$ или $\Phi =c_2 \sin (m \varphi )$ ?
В ЛЛ3 параграф 27 стр. 118 в самом верху говорится об этом.
На самом деле решения уравнения $\Phi $ никакие не разрывные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение18.04.2015, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
green5 в сообщении #1005170 писал(а):
У ТС функция а нужен вектор (типа спин-вектора) из представления SU(2).

Кому нужен?

Helium в сообщении #1005173 писал(а):
Если проблема только в неразрывности при периоде $2\pi$, то почему бы не взять $\Phi =c_1 \cos (m \varphi )$ или $\Phi =c_2 \sin (m \varphi )$ ?

Ну давайте. Только подставьте это ваше $m=\tfrac{1}{2}.$ Проблема разрывности никуда не исчезнет.

Helium в сообщении #1005173 писал(а):
На самом деле решения уравнения $\Phi $ никакие не разрывные.

Они не разрывные при правильных значениях параметра $m$!!!

Как у вас такое вообще может помещаться в голове? Это единая математическая задача: найти формулы и найти подходящие значения параметров $n,l,m.$ Это не две отдельные детали, с которыми можно играть по отдельности как угодно.

-- 18.04.2015 12:06:05 --

Helium в сообщении #1005173 писал(а):
В ЛЛ3 параграф 27 стр. 118 в самом верху говорится об этом.

ЛЛ-3 надо читать весь целиком, без пропусков, и уж тем более не выхватывать оттуда отдельные фразы! По крайней мере, в вашем случае главу 4 целиком, и главу 5 целиком до § 36.

Ландау-Лифшиц выходил многими изданиями. Ранние издания отличаются даже содержанием, примерно с 70-х годов содержание не менялось. Но менялась вёрстка изданий (издания 2000-х годов - с компьютерной вёрсткой в LaTeX). Так что, ссылки на отдельные страницы не годятся. Нужны ссылки более универсальные: на номер параграфа, на номер формулы в параграфе. Отдельный кусок текста можно указать по отношению к ближайшей нумерованной формуле. Либо можно указать точное издание (номер и год), на которое вы ссылаетесь (желательно, чтобы оно было широко доступно, например, в электронном виде распространены издания 2004 и 1989 года (с разной вёрсткой), можно найти издание 1948 года и английское 1991 года).

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение18.04.2015, 14:31 


03/05/12

449
Munin в сообщении #1005189 писал(а):
Ну давайте. Только подставьте это ваше $m=\tfrac{1}{2}.$ Проблема разрывности никуда не исчезнет.

А так пойдет?
$Y\left(\theta ,\varphi  \right)=\left[{P}{_l^m}\left(\cos \frac{\theta}{2}  \right)+{Q}{_l^m}\left(\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{\theta}{2})  \right) \right]\cos( m\varphi) $
при $l=-\tfrac{1}{2}$ и $m=0$
Сначала включается первая функция Лежандра в интервале $\theta =\left(0,\frac{\pi }{2} \right)$ а затем вторая в интервале $\theta =\left(\frac{\pi }{2},\pi  \right)$

В итоге получается такой график:

Изображение

Я еще умножил на $\frac{1}{2}$ чтоб сфера была в интервале $\left(-1,+1 \right)$ не знаю надо ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение18.04.2015, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это уже какое-то гадание на формулах...

Что значит "пойдёт"? Даже если вы изобразите функцию без разрывов и подобных проблем, вы не создадите нового решения для атома водорода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 20:15 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
amon в сообщении #1004625 писал(а):
Prikol в сообщении #1004566 писал(а):
и узнайте о спиновом пространстве. (Это из наиболее доступного)
Сами спиноры - это функции со значениями в специальном пространстве, но они прекрасно преобразуются при поворотах системы координат обычного пространства.

Точка зрения, подобная вашей, встречается в учебниках для технических вузов.

amon в сообщении #1004625 писал(а):
Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

Допустим есть выделенное направление $z$ (вдоль вектора Э или М поля).
Ну и куда же направлен спин? Или даже проще, куда направлен вектор орбитального момента $l$ ?

PS Только не надо всяких классических аналогий и не надо путать сам вектор $l$ и его проекцию на ось $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Prikol в сообщении #1006025 писал(а):
Допустим есть выделенное направление $z$ (вдоль вектора Э или М поля).
Ну и куда же направлен спин?

В условии этого не задано. Вы опять за троллинг взялись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 21:41 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Munin в сообщении #1006061 писал(а):
В условии этого не задано.
Добавьте к условию все, что вам нужно для ответа и скажите, куда направлен хотя бы вектор углового момента (не проекция).

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Prikol в сообщении #1006025 писал(а):
Точка зрения, подобная вашей, встречается в учебниках для технических вузов.


Действительно, что мы прямо как в техническом вузе, направления спина какие-то... Напишите здесь, пожалуйста, математически строгое определение оператора Шрёдингера в $\mathbb R^3$ со спином. Можете для начала без магнитного потенциала и в кулоновском случае. Только по-честному, гильбертово пространство, область определения, и чтобы на ней он был самосопряжён.

(только, пожалуйста, страницы из книг не копируйте, напишите своими словами, если не сложно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 21:59 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
g______d в сообщении #1006072 писал(а):
Prikol в сообщении #1006025 писал(а):
Точка зрения, подобная вашей, встречается в учебниках для технических вузов.
Действительно, что мы прямо как в техническом вузе, направления спина какие-то...

Я тоже удивился по поводу направлений спина каких-то ...
Но давайте не будем играть в чехарду с вопросами.

О направлении вектора спина заговорил amon. Я упростил это до направления вектора углового момента. Допустим, задано выделенное направление поля и дано одно из возбужденных состояний атома водорода. Волновая функция этого состояния известна. Вопрос. Куда направлен вектор углового момента? К заданным условиям можно добавить все, что нужно, но при этом не переходить к классике или квазиклассике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Prikol в сообщении #1006089 писал(а):
Волновая функция этого состояния известна. Вопрос. Куда направлен вектор углового момента?


Направление? Какое направление? Орбитальный момент -- это оператор (причём векторный). Чтобы говорить о его определённых значениях, нужно, чтобы он коммутировал с гамильтонианом. Если у вас есть магнитный потенциал, с какой стати это будет выполняться?

Prikol в сообщении #1006089 писал(а):
Но давайте не будем играть в чехарду с вопросами.


Ну если вы про кого-то говорите, что он выражается на уровне технического вуза, долгом чести было бы объяснить, как это делается на математически строгом уровне не-технического вуза. Уж на такой вопрос, на каком пространстве определён оператор Шрёдингера без магнитного потенциала, могли бы уж и ответить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 22:32 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
g______d в сообщении #1006095 писал(а):
Prikol в сообщении #1006089 писал(а):
Волновая функция этого состояния известна. Вопрос. Куда направлен вектор углового момента?
Направление? Какое направление?

Вы в краткой форме переформулировали вопрос, который я в более длинной форме задал одному из участников в ответ на его пост.

amon в сообщении #1004625 писал(а):
Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

Ждем ответа от amon

PS Судя по его словам, он это направление знает. Вот я и прошу его это обычное 3-х мерное направление указать для какой-нибудь простой (но квантовой, а не квазиклассической) ситуации. , Причем, я упростил вопрос. Речь уже идет не о спине, а просто об угловом моменте.

g______d в сообщении #1006095 писал(а):
Ну если вы про кого-то говорите, что он выражается на уровне технического вуза...

Вы коверкаете мои слова до неузнаваемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 22:52 
Заслуженный участник


29/09/14
1241
Prikol, зачем детские вопросы задаёте? Напрашиваетесь на ликбез :)) Получите, распишитесь:

Вектор спина $\mathbf{s}$, как и вектор орбитального момента $\mathbf{l}$, как и вектор импульса электрона (или, в общем случае, составного квантового объекта ) $\mathbf{p}$, и как его радиус-вектор $\mathbf{r},$ испытывает квантовые флуктуации и в общем случае не имеет определённого значения у отдельно взятого электрона.

Но всегда определено среднее значение по квантовому ансамблю для любой флуктуирующей физ. величины $f.$ В чистом нормированном состоянии $|\Psi \rangle$ среднее есть

$\langle f \rangle = \langle \Psi| \hat f | \Psi \rangle$ ,

где $\hat f$ - оператор физ. величины $f$.

В нерелятивистском приближении и в отсутствие неоднородного магнитного поля состояние квантового объекта $|\Psi \rangle$ можно представить в факторизованном по спину и орбитальным степеням свободы виде:

$|\Psi \rangle = |\psi_{\text{орб}} \rangle \otimes |\chi \rangle$ ,

и тогда среднее векторного оператора суммарного момента импульса $\mathbf{ \hat j}=\mathbf{ \hat l}+\mathbf{ \hat s}$ по заданному состоянию $|\Psi \rangle$ сводится к сумме средних:

$\langle \mathbf{j} \rangle = \langle \psi_{\text{орб}} |\,\mathbf{ \hat l}\,|\psi_{\text{орб}} \rangle + \langle \chi| \,\mathbf{ \hat s} \, | \chi \rangle $ .

В этом формализме спиновое состояние электрона (в смысле ансамбля) может быть задано столбцом с парой комплексных чисел $\chi_1, \, \chi_2.$ Это компоненты спинора $| \chi \rangle$ "в z-базисе":

$| \chi \rangle = \chi_1 | \uparrow \rangle + \chi_2 | \downarrow \rangle$ .

Операторами декартовых проекций спина служат умноженные на $1/2$ общеизвестные матрицы Паули $\hat \sigma_x,$ $\hat \sigma_y,$ $\hat \sigma_z,$ формата 2х2 (поленюсь их тут выписывать). В результате, для декартовых проекций усредненного вектора спина электрона имеем выражения:

$\langle s_x \rangle =(1/2)\langle \chi| \hat \sigma_x | \chi \rangle = (1/2)(\chi_1^* \chi_2 + \chi_2^* \chi_1)$ ,

$\langle s_y \rangle =(1/2)\langle \chi| \hat \sigma_y | \chi \rangle = (-i/2)(\chi_1^* \chi_2 - \chi_2^* \chi_1)$ ,

$\langle s_z \rangle =(1/2)\langle \chi| \hat \sigma_z | \chi \rangle = (1/2)( |\chi_1|^2 - | \chi_2|^2)$ ,

где предполагается выполненным условие нормировки $|\chi_1|^2 + | \chi_2|^2=1$ . Подставляйте сюда конкретные значения чисел $\chi_1, \, \chi_2,$ и наслаждайтесь разглядыванием получившегося вектора $\langle \mathbf{ s} \rangle $ в обычном 3-мерном пространстве.


Без ущерба для общности, с точностью до общего произвольного фазового множителя, компоненты нормированного спинора можно выразить через два вещественных параметра $\theta$ и $\varphi:$

$\chi_1 = \cos(\theta /2)$ ,
$\chi_2=e^{i \varphi} \sin(\theta/2)$ .

Тогда в качестве элементарного упражнения нетрудно убедиться, что указанные выше формулы проекций усреднённого вектора спина $\langle \mathbf{ s} \rangle $ определяют вектор $\langle \mathbf{ s} \rangle $ величиной $1/2,$ направленный вдоль оси с углами $\theta$ и $\varphi$ обычной сферической системы координат в 3-мерном пространстве: в нашем родном и обычном - в том самом пространстве, где располагаются приборы Штерна - Герлаха и прочая аппаратура экспериментаторов.

Также в качестве упражнения убедитесь, что преобразованиям компонент спинора матрицами $SU(2)$ соответствуют обычные повороты вектора спина $\langle \mathbf{ s} \rangle .$ Таким путём можно, например, рассмотреть прецессию электронного спина во внешнем магнитном поле (см. ФЛФ-8)

Аналогичным образом усреднённый вектор орбитального момента определяется через заданную орбитальную волновую функцию и три оператора декартовых проекций орбитального момента импульса. Например, для электрона в атоме водорода в состоянии с $l=1, m=-1$ получим $\langle \mathbf{l} \rangle =-\mathbf{e}_z, $ где $\mathbf{e}_z$ есть орт декартовой системы координат. Вообще, в состоянии $|l,m\rangle$ имеем

$\langle \mathbf{l} \rangle =m\mathbf{e}_z $ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака
Сообщение20.04.2015, 23:02 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Cos(x-pi/2) в сообщении #1006121 писал(а):
Prikol, зачем детские вопросы задаёте?

Вы не поняли вопроса. Или сделали вид, что не поняли.

Речь идет об утверждении:
amon в сообщении #1004625 писал(а):
Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

Вот мы и пытаемся любыми способами (даже задавая "детские" вопросы) понять, что имел ввиду автор этого утверждения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 122 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group