Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака

[Helium]

Давно хотел увидеть графики волновых функции для уравнения Дирака.

Helium в сообщении #872936 писал(а):

Helium в сообщении #815222 писал(а):

А есть удобная форма волновой функции Дирака?

Кто нибудь знает как построить график волновой функции Дирака для атома водорода? Хотя бы для основного состояния.
Хотелось бы сравнить вид волновой функции Дирака с соответствующим видом волновой функции Шредингера.

Наконец решил построить согласно формуле (36,3) для функции $f$.


Для основного состояния без нормировки выглядит так:


Но по ходу нашлось странное состояние с энергией связи порядка $E=-54.4$эВ.
Сколько я знаю гипергеометрическая функция ${Q}_{1}\rightarrow 1F1$ достаточно капризна и не так легко сходится.

Хотелось бы обсуждать причины согласно которым такое решение не физично. То есть подтвердить или опровергнуть наличие такого состояния.
Поскольку данное состояние находится далеко от релятивистского режима, то логично предположить, что и уравнение Шредингера имеет подобное решение.
Я проверил, так и есть, уравнение Шредингера дает точно такое же решение.
На одном графике видно как оба решения точно совпали:

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствует формулировка предмета обсуждения (форум - не личный блог).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Prikol]

Helium в сообщении #999983 писал(а):

Но по ходу нашлось странное состояние с энергией связи порядка $E=-54.4$эВ.

Это примерно энергия связи водородоподобного иона гелия 54.403 эВ или учетверенная энерния связи водорода 54.38 эВ. Такое может получиться если в кулоновском потенциале потерять коэффициент 2.

Helium в сообщении #999983 писал(а):

На одном графике видно как оба решения точно совпали:

Если вы теперь посчитаете разность этих ваших "точно совпавших" на графике решений, то увидите релятивистскую поправку.

Helium в сообщении #999983 писал(а):

Хотелось бы обсуждать причины согласно которым такое решение не физично. То есть подтвердить или опровергнуть наличие такого состояния.
Поскольку данное состояние находится далеко от релятивистского режима, то логично предположить, что и уравнение Шредингера имеет подобное решение.
Я проверил, так и есть, уравнение Шредингера дает точно такое же решение.

Пока вы не распишите аккуратно все аргументы для $ \tensor{_1}F{_1} $ для четырех (13.6 и 54.4 эВ, Дирак и Шредингер) случаев, никто не сможет подтвердить или опровергнуть ваши выкладки.

[Helium]

Prikol в сообщении #1001717 писал(а):

Пока вы не распишите аккуратно все аргументы для $ \tensor{_1}F{_1} $ для четырех (13.6 и 54.4 эВ, Дирак и Шредингер) случаев, никто не сможет подтвердить или опровергнуть ваши выкладки.

Пока приводить длинные формулы не имеет смысла. Все волновые функции есть в учебниках. К примеру приведенная формула (36,3).
Лучше скажу на чем обоснованы такие подозрения.
Построим график зависимости энергии $E$от орбитального квантового числа $l$ при ${n}_{rad}=0$ для уравнения Дирака. Такой же график получается и для уравнения Шредингера.

Так или иначе приходится иметь дело с полуцелыми значениями $l$. Будем считать из за спина.
На графике заметно, что точка $A$не доходит до значения $l=-1$. То есть график энергии не пересекается с линией $l=-1$. Там нету решения.
А последняя точка пересечения это с линией $l=-\frac{1}{2}$.
Казалось бы какой смысл рассматривать это решение? Но уравнение Дирака и радиальное уравнение Шредингера в этой точке ($l=-\frac{1}{2}$${n}_{rad}=0$ ) имеют четкое решение.
Теперь вопрос. Это чистая математика? Или возможно имеет физический смысл?

[Prikol]

Helium в сообщении #1001733 писал(а):

К примеру приведенная формула (36,3)

Q выражается через F.
F имеет три аргумента.
Какие аргументы имеет F, у которой энергия связи 54.4 эВ?

Helium в сообщении #1001733 писал(а):

Так или иначе приходится иметь дело с полуцелыми значениями $l$. Будем считать из за спина.

Мне попадались работы с полуцелым l, но сейчас под рукой их нет. Там были какие то причины нефизичности.

[Helium]

Prikol в сообщении #1001740 писал(а):

Какие аргументы имеет F

Для определения энергии важен первый аргумент, который нужно приравнять к $-{n}_{rad}$. При этом получаем уравнение:
$\sqrt{{(l+1)}^{2}-\frac{Z^2}{c^2}}-\frac{ZE}{c\sqrt{{c}^{4}-{E}^{2}}}=-{n}_{rad}$
$Z=1$ заряд ядра $c=137.03599971$ скорость света.
Подставляя в полученную формулу ${n}_{rad}=0$ и $l=-\frac{1}{2}$ получаем $E=18776.865110005067$
Полученная энергия включает энергию покоя $m{c}^{2}=18778.86521651912$. Отнимая энергию покоя получим $-2.0001065140531864$
Далее преобразуем энергию в электронвольты умножая на $27.2$.

Короче вопрос сводится к тому $l=-\frac{1}{2}$ при ${n}_{rad}=0$ имеет физический смысл или нет.

[Prikol]

Helium в сообщении #1001889 писал(а):

Короче вопрос сводится к тому $l=-\frac{1}{2}$ при ${n}_{rad}=0$ имеет физический смысл или нет.

Допустим, что имеет. Тогда электрон должен хотя бы иногда в это состояние проваливаться и при ионизации электронным ударом должен быть второй порог ионизации при энергии 54.4 эВ и второй максимум при энергии обычно в 3-10 раз больше соответствующего порога. Смотрим на график. Никакого намека на второй канал ионизации не видно. Второй график - фотоионизация. На втором графике второй порог был бы точно на месте $He^+$

[Helium]

Prikol в сообщении #1002107 писал(а):

Допустим, что имеет. Тогда электрон должен хотя бы иногда в это состояние проваливаться

Существует мнение, что состояние с энергией $-13.6$эВ является стабильным.
Так что электрон сам по себе ниже не провалится.
Поэтому нужны специальные эксперименты именно рассчитанные на создание и поиск такого состояния.
Второй вариант, возможно водород в таком состоянии образовался во время первичного нуклеосинтеза.
Ясно что это будет легкий инертный газ. В атмосфере вряд ли можно найти. Может быть в космосе.
Энергия возбуждения понятно будет $40.8$эВ. Но обратной рекомбинации возможно не будет из-за стабильности состояния $-13.6$эВ.
Поэтому придется искать провал в этой области а не излучение.

[Munin]

Helium в сообщении #1002208 писал(а):

Так что электрон сам по себе ниже не провалится.

Увы, нет. Электрон всегда проваливается на самое нижнее состояние. Это закон природы.

А что до вашей $l=-\tfrac{1}{2}$ - выпишите явно решение, тогда можно будеть обсуждать, имеет оно физический смысл или нет. Варианты примерно такие:
- в угловой функции вместо $e^{im\varphi}$ просто стоит $e^{-i\frac{1}{2}\varphi}$ - это ничего страшного;
- функция получается разрывной или ещё какой-нибудь нехорошей - это противоречит принципам квантовой механики, и не реализуется никогда;
- вы не сможете выписать решение вообще - тогда и обсуждать нечего.

[Helium]

Радиальная часть волновой функции для уравнения Шредингера выглядит так:

$R\left(r \right)={k}_{1}e^{-\sqrt{2}\sqrt{E}r}r^{\frac{1}{2}\left(\sqrt{4l(l+1)+1}-1\right)}$
$\text{LaguerreL}\left[\frac{1}{2} \left(-\sqrt{4l(l+1)+1}+\frac{Z\sqrt{2}}{\sqrt{E}}-1\right),\sqrt{4l(l+1)+1},2\sqrt{2} \sqrt{E}r\right]$

[Munin]

Нужна не радиальная, а вся целиком. И не бывает функции $\text{LaguerreL}.$ Это хамство к окружающим.

[Helium]

А угловая часть она стандартная не изменяется.

$Y\left(\theta ,\varphi \right)=\left[a{P}{_l^m}\left(\cos \theta \right)+b{Q}{_l^m}\left(\cos \theta \right) \right]{e}^{im\varphi }$

[Munin]

Ну и что там будет, если подставить $l=-\tfrac{1}{2}$?

[amon]

Helium в сообщении #1002400 писал(а):

$\text{LaguerreL}\left[\frac{1}{2} \left(-\sqrt{4l(l+1)+1}+\frac{Z\sqrt{2}}{\sqrt{E}}-1\right),\sqrt{4l(l+1)+1},2\sqrt{2} \sqrt{E}r\right]$
А угловая часть она стандартная не изменяется.

Что-то меня на риторические вопросы пробило. Вы не задумывались, почему для описания спина 1/2 не используются функции $P_{1/2}^{\pm1/2}$? Они ведь через элементарные функции выражаются.