Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #997236 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #997125 писал(а):

Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959, сс. 432 — 434.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

В нашe время мысль Пифагора существенно дополнена:

1. всякий тон есть множество собственных обертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}^o$, нумерующим его обертоны начиная с самого нижнего;
2. всякий тон есть собственный обертон, притом самый нижний;
3. всякий тон есть подмножество собственных унтертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}_u$, нумерующим его унтертоны начиная с самого верхнего;
4. всякий тон есть собственный унтертон, притом самый верхний;
5. тоны сопоставлены с рациональными числами, т. е. с парами натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}$, где $n^o\in\mathbb{N}^o; n_u\in\mathbb{N}_u$;
6. не только консонансы, но и диссонансы сопоставлены с отношениям рациональных чисел, т. е. с четвёрками натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}:\frac{m^o}{m_u}$, где

commator в сообщении #997272 писал(а):

$\frac{n^o}{n_u}:\frac{m^o}{m_u}$, где $\left\lbrace n^o,m^o\right\rbrace\subset\mathbb{N}^o; \left\lbrace n_u,m_u\right\rbrace\subset\mathbb{N}_u$

Озабоченность чувствительными сложностями электронного употребления индексов, показателей и вертикальных дробей заставляет пристально рассмотреть опубликованное в трудах FRSM-2009 предложение современного исследователя:

Мадгазин 2009, c. 175 писал(а):

Мажорная триада (пропорция $4:5:6$, примерно передаётся нотами "до, ми, соль") и минорная триада (пропорция $/4:/5:/6$ с опущенными единицами в числителях, ноты "до, ми-бемоль, соль") соответствуют положительным эмоциям "радости" и отрицательным эмоциям "печали". Эмоции всех других мажорных и минорных аккордов неизменно имеют такие же знаки.

(Английский)

The major triad (proportion $4:5:6$, is approximately realized by the notes "do, mi, sol") corresponds positive emotions of "happiness". The minor triad (proportion $/4:/5:/6$ with omitted unities in numerators, notes "do, mi-flat, sol") corresponds negative emotions of "sadness". Emotions of all other major and minor chords always have the same signs.

Применяя обер/унтер симметрично это предложение к текстовой форме отображения сонантометрических преобразований с (обер/унтер)тонами надо переписать шесть пунктов дополненной пифагорейской мысли для дальнейшего незатейливого использования:

1. всякий тон есть множество собственных обертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}/, нумерующим его обертоны начиная с самого нижнего;
2. всякий тон есть собственный обертон, притом самый нижний;
3. всякий тон есть подмножество собственных унтертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $/\mathbb{N}, нумерующим его унтертоны начиная с самого верхнего;
4. всякий тон есть собственный унтертон, притом самый верхний;
5. тоны сопоставлены с рациональными числами, т. е. с парами натуральных чисел вида $n1/n2$, где $n1/\in\mathbb{N}/; /n2\in/\mathbb{N}$;
6. не только консонансы, но и диссонансы сопоставлены с отношениям рациональных чисел, т. е. с четвёрками натуральных чисел вида $n1/n2:n3/n4$, где $\left\lbrace n1/,n3/\right\rbrace\subset\mathbb{N}/; \left\lbrace /n2,/n4\right\rbrace\subset/\mathbb{N}$.

[commator]

commator в сообщении #999926 писал(а):

шесть пунктов дополненной пифагорейской мысли для дальнейшего незатейливого использования:

1. всякий тон есть множество собственных обертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}/, нумерующим его обертоны начиная с самого нижнего;
2. всякий тон есть собственный обертон, притом самый нижний;
3. всякий тон есть подмножество собственных унтертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $/\mathbb{N}, нумерующим его унтертоны начиная с самого верхнего;
4. всякий тон есть собственный унтертон, притом самый верхний;
5. тоны сопоставлены с рациональными числами, т. е. с парами натуральных чисел вида $n1/n2$, где $n1/\in\mathbb{N}/; /n2\in/\mathbb{N}$;
6. не только консонансы, но и диссонансы сопоставлены с отношениям рациональных чисел, т. е. с четвёрками натуральных чисел вида $n1/n2:n3/n4$, где $\left\lbrace n1/,n3/\right\rbrace\subset\mathbb{N}/; \left\lbrace /n2,/n4\right\rbrace\subset/\mathbb{N}$.

Рассматривая тон как множество собственных обертонов, которые можно из него вытягивать (экстрагировать, to extract (англ.)), следует его также понимать и обертоном каких-то других тонов, для которых он окажется обертоном собственным. Эти тоны составляют с означенном тоном множество унтертонов и в назывании его множеством собственных унтертонов рассматриваемого тона заключено стремление подчеркнуть, что он есть собственный обертон для каждого унтертона из множества таковых.

Поскольку всякий тон можно вытянуть как собственный обертон из его унтертона

$(\forall n1/\in\mathbb{N}/)(\forall /n2\in/\mathbb{N})(\exists /n3\in/\mathbb{N})$ $Tone:[n1/n2]\subset UnderTone:[n1/n3]$,

то унтертон может такой тон и втянуть (ретрагировать, to retract (англ.)) по той же причине, а именно потому, что вытянутый тон есть собственный обертон своего унтертона.

$(\forall n1/\in\mathbb{N}/)(\forall /n2\in/\mathbb{N})(\exists /n3\in/\mathbb{N})(\exists n4/\in\mathbb{N}/)$ $UnderTone:[n1/n3]\supset OverUnderTone:[n4/n3]\equiv Tone:[n1/n2]$

Претендующее на точность, но пространное высказывание, например:

высота ми-бемоль-второй-октавы есть девятнадцатый обертон второго унтертона, если высота До-большой-октавы есть первый обертон первого унтертона,

можно кратко и с той же точностью передать выражением:

$es2:[19/2]\leftarrow C:[1/1]$

[Свободный Художник]

Каким образом Вы собираетесь определять здесь групповую операцию? Ведь ЧИПn (по определению) являются группами и, следовательно, полностью определяются своими групповыми операциями.

[arseniiv]

Я так понял, обобщения на тембры не вида $\{f,2f,3f,4f,\ldots\}$ не будет? Скучно.

[commator]

arseniiv в сообщении #1001462 писал(а):

Я так понял, обобщения на тембры не вида $\{f,2f,3f,4f,\ldots\}$ не будет? Скучно.

Чтобы Вам не скучать, обратите внимание: сонантометрия отвлекается от частот в пользу повышенного внимания к номерам высот.

Сонантометрия не множествами вида $\{f,2f,3f,4f,\ldots\}$ занята, а множествами вида $\{P_1,P_2,P_3,P_4,\ldots\}$, где $P_n$ может быть хоть бы и случайно выбранным ощущением высоты.

Вместе с тем, следует подчеркнуть, что взаимодействие множеств видов

$\left\lbrace P_1:[f/f],P_2:[2f/f],P_3:[3f/f],P_4:[4f/f],\ldots\rbrace, \left\lbrace P_1:[f/f],P_2:[f/2f],P_3:[f/3f],P_4:[f/4f],\ldots\rbrace$

обеспечит ощущение музыкальной гармонии натуральных тонов, чего нельзя утверждать в прочих неестественных случаях.

Я не уверен, что мне хватит жизни для исчерпывающего сонантометрирования музыкальной гармонии натуральных созвуков, чтобы затем от скуки заняться скучными для меня, пока, прочими обобщениями. Другие, кто уже понял о чём речь, могут прямо сейчас приступать к обобщению сонантометрии на любые мыслимые и немыслимые тембры.

-- 08.04.2015, 06:26 --

Свободный Художник в сообщении #1001397 писал(а):

Каким образом Вы собираетесь определять здесь групповую операцию? Ведь ЧИПn (по определению) являются группами и, следовательно, полностью определяются своими групповыми операциями.

Вскоре я надеюсь закончить пример перехода от квинтовой цепи к пифагорейской диатонике, после чего будет легче, полагаю, перейти от цифр к буквам и определениям операций ЧИП$p,$ где $p-$простое число.

[arseniiv]

commator в сообщении #1001488 писал(а):

Вместе с тем, следует подчеркнуть, что взаимодействие множеств видов

$\left\lbrace P_1:[f/f],P_2:[2f/f],P_3:[3f/f],P_4:[4f/f],\ldots\rbrace, \left\lbrace P_1:[f/f],P_2:[f/2f],P_3:[f/3f],P_4:[f/4f],\ldots\rbrace$

обеспечит ощущение музыкальной гармонии натуральных тонов, чего нельзя утверждать в прочих неестественных случаях.

Как-то не очень это доказательно пока.

[commator]

arseniiv в сообщении #1001735 писал(а):

commator в сообщении #1001488 писал(а):

Вместе с тем, следует подчеркнуть, что взаимодействие множеств видов

$\left\lbrace P_1:[f/f],P_2:[2f/f],P_3:[3f/f],P_4:[4f/f],\ldots\rbrace, \left\lbrace P_1:[f/f],P_2:[f/2f],P_3:[f/3f],P_4:[f/4f],\ldots\rbrace$

обеспечит ощущение музыкальной гармонии натуральных тонов, чего нельзя утверждать в прочих неестественных случаях.

Как-то не очень это доказательно пока.

Могли бы Вы уточнить, что желательно доказать в этой истине, для меня бесспорной?

[arseniiv]

Эта истина, очевидно, экспериментальная, так что без опытов — просто манипулированием символами — ничего доказать не получится.

Но вообще не буду мешать, вообще зря я сюда написал и в первый раз.

[commator]

arseniiv в сообщении #1001757 писал(а):

Эта истина, очевидно, экспериментальная, так что без опытов — просто манипулированием символами — ничего доказать не получится.

Но вообще не буду мешать, вообще зря я сюда написал и в первый раз.

Экспериментальный материал будет предъявляться по мере его подготовки, а ощущения что Вы мешаете не возникало.

Испытываю чувство благодарности к Вашей доброй воле обсуждать проблему, не слишком популярную в русскоязычной среде, имеющую, однако, удивительно длинную историю вселенского существования и не менее удивительное свойство казаться незамысловатой, ускользнув от всех попыток решить её окончательно.

[Свободный Художник]

arseniiv в сообщении #1001757 писал(а):

Эта истина, очевидно, экспериментальная, так что без опытов — просто манипулированием символами — ничего доказать не получится.

Просто берете файл:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/10/4/2/m ... inale2.mid

и слушаете. И оцениваете: понравилось или не понравилось. Вот и весь эксперимент.
Поскольку мне звучание этого файла нравится, то лично мне есть смысл идти дальше.
Я выкладывал этот файл здесь:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 817&page=4
(постинг от 29.09.2013)

[Свободный Художник]

Поясните, пожалуйста, какое значение в Вашей парадигме будут иметь кратные интервалы? Мы их уже обсуждали кратко ранее, основываясь на странице из Б. Л. ван дер Вардена:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html

В более близкой мне парадигме в Таблице 74 у Немировского стоят именно кратные интервалы (повышающие и понижающие):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/6/5.html

А каково Ваше видение этой таблицы?

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1002772 писал(а):

Поясните, пожалуйста, какое значение в Вашей парадигме будут иметь кратные интервалы?

У кратных интервалов есть только им присущая особенность:

• Если кратный интервал понимать как пару обертонов, то они принадлежат одной и той же натуральной ска́ле обертонов, где нижний обертон окажется первым, называемым ещё основным тоном.
• Если кратный интервал понимать как пару унтертонов, то они принадлежат одной и той же натуральной ска́ле унтертонов где верхний обертон окажется первым.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1002772 писал(а):

в Таблице 74 у Немировского стоят именно кратные интервалы (повышающие и понижающие):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/6/5.html

А каково Ваше видение этой таблицы?

commator в сообщении #999162 писал(а):

Переходя к абстракции высот можно утверждать, что их уровни можно нумеровать также, как в городе, где только угловые дома. Не надо знать о частотах и длинах струн слушающему музыку, но если каждая её высота вовремя и безошибочно найдёт номер своего дома на своём углу в городе ощущений слушателя, последний не сможет сказать, что музыки не было, даже если если её никогда не исполняли на струнах или других источниках частот.

Таблица 74 Немировского содержит только адреса высот окраины города ощущений ЧИ, где на первом углу дом =$c:\varnothing[1/1]_\varnothing\leftarrow f\approx 130,813 Hz$

Она мне видится так:

       :
    =c3:3T[8/1]ø
  ρΑ,e2: Q[7/1]ø
    =g2:TD[6/1]ø
  ιΔ,e2: M[5/1]ø
    =c2:2T[4/1]ø
    =g1: D[3/1]ø
    =c1: T[2/1]ø
     =c: Ø[1/1]ø        :
                      =C:Ø[1/2]t        :
                                     =F1:Ø[1/3]d        :
                                                     =C1:Ø[1/4]2t        :
                                                                   Δι,As2:Ø[1/5]m        :
                                                                                      =F2:Ø[1/6]dt       :
                                                                                                    Αρ,D2:Ø[1/7]q        :
                                                                                                                      =C2:Ø[1/8]3t       :
                                                                                                                                         :..

-- 12.04.2015, 07:54 --

commator в сообщении #1002823 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1002772 писал(а):

Поясните, пожалуйста, какое значение в Вашей парадигме будут иметь кратные интервалы?

У кратных интервалов есть только им присущая особенность:

• Если кратный интервал понимать как пару обертонов, то они принадлежат одной и той же натуральной ска́ле обертонов, где нижний обертон окажется первым, называемым ещё основным тоном.
• Если кратный интервал понимать как пару унтертонов, то они принадлежат одной и той же натуральной ска́ле унтертонов где верхний обертон окажется первым.

Среди кратных интервалов выделяется октава, ́― самый из них узкий и единственный из кратных интервалов, принадлежащий ещё и множеству эпиморных, что означает невозможность попадания внутрь октавы какого-либо комбинационного тона.

Общим с другими кратными интервалами свойством октавы является невозможность порождать какой-либо комбинационный тон ниже высоты нижнего в интервале.

Вероятно самая значительная особенность самого особенного из всех интервалов: октава, начиная с первых обертонов/унтертонов, формирует непрерывные октавные цепи внутри натуральных ска́л, как обертоновых, так и унтертоновых.

[Свободный Художник]

Готовлю и другие вопросы по Вашей парадигме. Пока же ради справедливости отмечу, что находятся и сегодня исследователи, вполне современные, сопоставляющие рациональным числам именно интервалы, а не тоны. Таков, например, уже упоминавшийся выше Дэвид Райт:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

Который делает фактически то же самое, что делали и во времена Пифагора:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

Свободный Художник в сообщении #997125 писал(а):

Я считаю, что еще один классик пишет вполне определенно:
Исходя из упомянутых .... повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959, сс. 432 — 434.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

commator в сообщении #999926 писал(а):

В нашe время мысль Пифагора существенно дополнена:

1. всякий тон есть множество собственных обертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}^o$, нумерующим его обертоны начиная с самого нижнего;
2. всякий тон есть собственный обертон, притом самый нижний;
3. всякий тон есть подмножество собственных унтертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}_u$, нумерующим его унтертоны начиная с самого верхнего;
4. всякий тон есть собственный унтертон, притом самый верхний;
5. тоны сопоставлены с рациональными числами, т. е. с парами натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}$, где $n^o\in\mathbb{N}^o; n_u\in\mathbb{N}_u$;
6. не только консонансы, но и диссонансы сопоставлены с отношениям рациональных чисел, т. е. с четвёрками натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}:\frac{m^o}{m_u}$, где

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1003185 писал(а):

находятся и сегодня исследователи, вполне современные, сопоставляющие рациональным числам именно интервалы, а не тоны.

Интервал и у меня рациональному числу сопоставлен, некоторым образом, но у меня и тон сопоставлен рациональному числу. И мне стоило немало времени убедиться, что тон так же требует сопоставления рациональному числу, как интервал.

Сопоставленный рациональному числу тон у меня называется сонант, а сопоставленный рациональному числу переход между парой сонантов ― интерсонант.

Например, в упрощённой форме, выражение

$:[3/2]$ _$[4/3]-:[2/1]$,

утверждает: переход от сонанта $:[3/2]$ через повышающий интерсонант _$[4/3]-$ приводит к сонанту $:[2/1]$.

Выражение

$:[4/3]$ $-[2/3]$_ $:[8/9]$

можно интерпретировать как утверждение, что переход от сонанта $:[4/3]$ через понижающий интерсонант $-[2/3]$_ приводит к сонанту $:[8/9]$.

Не желая касаться особенностей прочих подходов, остаюсь приверженцем мною избранного, поскольку его прогрессивность стала мне через собственный опыт бесспорна. Почти не сомневаюсь: всякий исследователь, занятый близкими к моим изысканиями, неизбежно со мной согласится.