Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #995214 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #994753 писал(а):

музыкальным интервалам будут соответствовать отношения натуральных чисел (как, собственно говоря и было исторически в музыкальной теории).

Отношения четвёрок натуральных чисел будут соответствовать музыкальным интервалам, потому что интервалы возникают между парами высот, а всякая высота должна быть поставлена в соответствие паре натуральных чисел для полной определённости.

Я считаю, что еще один классик пишет вполне определенно:
Исходя из упомянутых .... повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959, сс. 432 — 434.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

-- Сб мар 28, 2015 23:29:22 --

commator в сообщении #995214 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #994753 писал(а):

музыкальным интервалам будут соответствовать отношения натуральных чисел (как, собственно говоря и было исторически в музыкальной теории).

Отношения четвёрок натуральных чисел будут соответствовать музыкальным интервалам, потому что интервалы возникают между парами высот, а всякая высота должна быть поставлена в соответствие паре натуральных чисел для полной определённости.

Соотношения между ингредиентами "tone systems" были первоначально зафиксированы (или "схвачены") в терминах числовых отношений (отношений натуральных чисел):
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/3.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #997125 писал(а):

Я считаю, что еще один классик пишет вполне определенно:
Исходя из упомянутых .... повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959, сс. 432 — 434.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

Согласен, что пишет классик определённо, только не вполне.

В нашe время мысль Пифагора существенно дополнена:

1. всякий тон есть множество собственных обертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}^o$, нумерующим его обертоны начиная с самого нижнего;
2. всякий тон есть собственный обертон, притом самый нижний;
3. всякий тон есть подмножество собственных унтертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}_u$, нумерующим его унтертоны начиная с самого верхнего;
4. всякий тон есть собственный унтертон, притом самый верхний;
5. тоны сопоставлены с рациональными числами, т. е. с парами натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}$, где $n^o\in\mathbb{N}^o; n_u\in\mathbb{N}_u$;
6. не только консонансы, но и диссонансы сопоставлены с отношениям рациональных чисел, т. е. с четвёрками натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}:\frac{m^o}{m_u}$, где $n^o,m^o\in\mathbb{N}^o; n_u,m_u\in\mathbb{N}_u$.

[commator]

commator в сообщении #997236 писал(а):

$\frac{n^o}{n_u}:\frac{m^o}{m_u}$, где $n^o,m^o\in\mathbb{N}^o; n_u,m_u\in\mathbb{N}_u$

Здесь, вероятно, было бы правильнее писать:

$\frac{n^o}{n_u}:\frac{m^o}{m_u}$, где $\left\lbrace n^o,m^o\right\rbrace\subset\mathbb{N}^o; \left\lbrace n_u,m_u\right\rbrace\subset\mathbb{N}_u$

?

[commator]

commator в сообщении #997047 писал(а):

Сравнение этого фрагмента английского перевода с таким же русского, где обозначения Гельмгольца остались без изменений, даёт возможность прояснить, о чём речь.

Сравнивая приведённые фрагменты можно заметить, что в английском переводе встречаются имена тонов $B$♭, $B_1$, соответствующие именам $B$ и $\frac{H}{}$ русского перевода. Имеет место историческая особенность употребления латинских букв $B, H$ которая поясняется, например, в старинном музыкальном учебнике.

Моцарт (1770) писал(а):

§ $15$. Здесь мы также должны говорить о том, что уже упомянуто выше в первой главе в первом разделе § $14$. Интервал или расстояние от ($B$ ♮) до ($C$) делает натуральный большой полутон: (Hemitonium Majus Naturale). Таким образом издавна принято, когда приписан (♭) всегда у нот названия $b, c$; однако натуральную ($B$) именуют ($H$) Например $a, h, c$. И это делается чтобы отличить ми от фа: таким образом, когда ♯ перед нотами они называются $His, Cis$. Но я не знаю, почему бы натуральной ($B$) не быть вполне натуральной ($B$), и почему бы (♭) не понижать её до $Bes$ и (♯) не повышать её до $Bis$.

(Немецкий)

§ $15$. Hier mussen wir auch von demjenigen reden, was wie oben im ersten Abschnitte dieses ersten Hauptstuckes § $14$, angemerket haben. Das Interwall oder der Zwischenraum von ($\mathfrak{B}$ ♮) bis ($\mathfrak{C}$) machen den naturlichen grossern halben Ton: (Hemitonium majus naturale). Man pflegte demnach bisher, wenn ein ($\mathfrak{b}$) vorgezeichnet war allezeit $\mathfrak{b, c,}$ zusprechen; hingegen man naturliche ($\mathfrak{B}$) mit ($\mathfrak{H}$) zu benennen Z. E. $\mathfrak{a, h, c}$. und diess geschache, um das $\mathfrak{mi}$ von $\mathfrak{fa}$ zu unterscheiden: man sagtefolglich wenn ein ♯ daben stund $\mathfrak{His}$, $\mathfrak{Cis}$. Ich seche aber gar nicht, warum man bem dem naturlichem ($\mathfrak{B}$) nicht ganz naturlich ($\mathfrak{B}$) fagen, und warum man das durch das ($\mathfrak{b}$) erniedrigte nicht ein $\mathfrak{Bes}$ das durche (♯) erhohete hingegen nicht ein $\mathfrak{Bis}$ nennen sollte.

В сонантометрических преобразованиях удобно избавиться от $H$ и вместо $B, H, His$ писать не $B$♭, $B$♮, $B$♯, а $Bes, B, Bis$, что на нотном стане будет отображаться некоторыми подмножествами высотных классов Си-бемоль, Си-бекар и Си-диез.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #997236 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #997125 писал(а):

Я считаю, что еще один классик пишет вполне определенно:
Исходя из упомянутых .... повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959, сс. 432 — 434.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

Согласен, что пишет классик определённо, только не вполне.

В нашe время мысль Пифагора существенно дополнена:

1. всякий тон есть множество собственных обертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}^o$, нумерующим его обертоны начиная с самого нижнего;
2. всякий тон есть собственный обертон, притом самый нижний;
3. всякий тон есть подмножество собственных унтертонов и сопоставлен с множеством натуральных чисел $\mathbb{N}_u$, нумерующим его унтертоны начиная с самого верхнего;
4. всякий тон есть собственный унтертон, притом самый верхний;
5. тоны сопоставлены с рациональными числами, т. е. с парами натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}$, где $n^o\in\mathbb{N}^o; n_u\in\mathbb{N}_u$;
6. не только консонансы, но и диссонансы сопоставлены с отношениям рациональных чисел, т. е. с четвёрками натуральных чисел вида $\frac{n^o}{n_u}:\frac{m^o}{m_u}$, где $n^o,m^o\in\mathbb{N}^o; n_u,m_u\in\mathbb{N}_u$.

Кажется, что и недополненная мысль Пифагора была в состоянии порождать явление, квалифицируемое как "музыка". Например, в рисуночке с коммами у Левитана (который анализирует интересную для нас обоих композицию) явно просматривается мысль Пифагора, сформулированная классиком Б. Л. ван дер Варденом:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/3/14.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #997643 писал(а):

Кажется, что и недополненная мысль Пифагора была в состоянии порождать явление, квалифицируемое как "музыка"

Собственными руками и на свои средства делал восьмиразрядный преобразователь электронных чисел в электромеханический источник звука. Также на свои средства делал своими руками восьмиразрядный преобразователь электромеханического приёмника звука в электронные числа.

В этом простейшем случае вещественного отображения звука на математику и обратно, стоимость и время подготовки восьмиразрядного числового анализа звука обошлись мне в восемь раз дороже равноценного восьмиразрядного числового синтеза звука и во столько же раз дольше, соответственно.

Сам собой напросился вывод: синтез музыки несравнимо проще организовать и обеспечить, чем её анализ.

До Пифагора явление, квалифицируемое как "музыка" существовало не менее 3..4-х десятков тысячелетий и ещё никому не известно, когда и чьей мыслью оно было порождено.



Мой внучатый племянник, например, освоил простейшие певческие навыки раньше чем научился говорить, притом его этому никто не учил и я это сам наблюдал.

[commator]

commator в сообщении #997469 писал(а):

$Bes, B, Bis$, что на нотном стане будет отображаться некоторыми подмножествами высотных классов Си-бемоль, Си-бекар и Си-диез.

В сонантометрической письменности приходится строго различать высоты стандартной 12РДО настройки, и высоты пифагорейской ЧИП3, назначенные печками, от которых обязаны комматически станцевать все прочие настройки нот, чтобы верно изогнуть стандарты 12РДО под ЧИ выясненных пределов.

Если написать, к примеру,

Bes, B, Bis $\Rightarrow$ Си-бемоль, Си-бекар, Си-диез,

то следует понимать, что в отношении участвуют стандартные 12РДО высоты.

Пифагорейскими ЧИП3 высотами подобное надо переписать с добавлением в начале стандартных 12РДО имён знака = без пробела.

=Bes, =B, =Bis $\Rightarrow$ =Си-бемоль, =Си-бекар, =Си-диез,

читаемого в этом случае как ́ро́вно, вместо привычного равно́.

Так символизируется избавление пифагорейских высот от неточностей равномерной темперации.

[commator]

Избавителями от гнёта 12РДО в партитурах выступают старые добрые фикты над нотами, которые согласно своим предписаниям изгибают высоты для нот в стандартных 12РДО нотоносцах под ними.

Например, если над 12РДО нотами Си-бемоль, Си-бекар будут, соответственно, фикты =♭~♭-4¢, =♮~♮+10¢, надлежащим образом согласованные с умеющей самопроигрываться партитурой, последняя верно проинтонирует ЧИП3 высоты =Си-бемоль, =Си-бекар для предъявления желающим их слушать.

В левой (до знака ~) части фикты пишется на какой высоте в сравнении с пифагорейской будет нота интонирована, а в правой (после знака ~) её части поясняется куда и на сколько центов следует для этого изгибать стандартно темперированную высоту ноты из нотоносца.

[commator]

commator в сообщении #994455 писал(а):

Тюлин (1937) писал(а):

Мы можем строить квинтовый ряд различными способами, вверх или вниз, по обе стороны от центра. При этом мы замечаем, что, как бы мы не передвигали квинтовый ряд, вверх или вниз, каждый $8$-й тон оказывается хроматическим изменением крайнего тона с противоположной стороны. Это означает, что диатоника неизменно замыкается $7$-м тоном, и этим определяется диатонический предел гармонического родства тонов, включающий в себя не более $7$ тонов — септатоника (пример 25).

К примеру 25 (Тюлин 1937). Версия построения пифагорейской диатоники через родство тонов.



MP3 для ознакомительного прослушивания: https://sites.google.com/site/commator/technology_e/KMY_US%3DC_PDBR00v003j%3Dc.mp3?attredirects=0&d=1
MIDI модель и партитура формата TIF в ZIPе: https://sites.google.com/site/commator/technology_e/KMY_US%3DC_PDBR00v003j%3Dc.zip?attredirects=0&d=1
Модель формата Sibelius 6: https://sites.google.com/site/commator/technology_e/KMY_US%3DC_PDBR00v003j%3Dc.sib?attredirects=0&d=1

[commator]

commator в сообщении #998050 писал(а):

К примеру 25 (Тюлин 1937). Версия построения пифагорейской диатоники через родство тонов.

Будет не лишним вышеупомянутое высказывание:

commator в сообщении #996748 писал(а):

Гельмгольц (1895) писал(а):

Когда я перехожу мелодически от $C$ к $B_1$ или $D$, я обязан вообразить тип неслышимой $G$ между ними для того, чтобы признать их родство

(Английский перевод Эллиса)

When I pass melodically from $C$ to $B_1$ or $D$, I am obliged to imagine a kind of mute $G$ between them, in order to recognise their relationship

Для пояснения моего построения мысль Гельмгольца должна быть с некоторым обобщением переписана так:

Мелодический переход на интервал квинты требует между парой её тонов третьего, воображаемого октавой ниже нижнего, т. е. вполне определённого беззвучного тона для признания родства звучащих тонов.

В моём построении эти беззвучные тоны оказываются звучащими, но они короче по длительности и лишены первых обертонов, часто называемых основными тонами. В них также отсутствуют все обертоны с номерами не кратными $2$-м или $3$-м, что не должно менять высот созвучаний присутствующих обертонов.

[Свободный Художник]

Я хочу обратить Ваше внимание на "кульбит Римана". Он переворачивает дробь и утверждает, что тем самым он перенесся из "мира отношений длин струн" в "мир отношений частот":
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/2.html
(внизу указаной страницы)

"Кульбит Римана" повторяет Немировский:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/2/2.html

Этот кульбит может затемнить одно важное обстоятельство: необходимость выделения во множестве всех интервалов двух непересекающихся подмножеств: множества повышающих интервалов и множества понижающих интервалов.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #999063 писал(а):

Я хочу обратить Ваше внимание на "кульбит Римана". Он переворачивает дробь и утверждает, что тем самым он перенесся из "мира отношений длин струн" в "мир отношений частот"

Начало обсуждения этого предмета ранее было положено.

commator в сообщении #992390 писал(а):

Выше было показано, что упомянутый классик легко меняет отношения длин струн на отношения порядковых чисел обертонов/унтертонов. И он же пишет о возможности их понимания как частотных отношений, вместе с тем отмечая, что поиск обоснований родства тонов в пространстве длин и частот музыкальная наука стремится заменить поиском коренных законов в пространстве сущности музыкального слушания:

Риман (1901) писал(а):

Порядковые числа обертонов могут служить и для выражения соотношения между числами колебаний тонов, образующих соответствующий интервал, напр. соотношение колебаний между $15$-м и $16$-м обертонами ("вводный тон" $h:c$) $=15:16$

<...>

музыкальная наука (срв. Штумпф, 2) вступила в новый фазис развития. Она отказывается обосновывать на акустических феноменах принципы родства тонов, т.е. консонанс и диссонанс; в этих феноменах она видит лишь доказательство тех коренных законов, которым подчинена сущность музыкального слушания, — а именно доказательство более или менее совершенной способности человека к соединению, слиянию тонов.

Для сонантометрии сие означает предельно возможное забывание о длинах струн и частотах ради предельного внимания к номерам и высотам обертонов/унтертонов из верхних/нижних натуральных скал.

Продолжение следует.

Давайте вспомним как нумеруются угловые дома:

Ноосфера писал(а):

4.1.2. Номер углового дома указывается через дробь – «$21/35$»

Давайте также вспомним, что есть возможность строить города любого размера, где каждый дом будет угловым:



Переходя к абстракции высот можно утверждать, что их уровни можно нумеровать также, как в городе, где только угловые дома. Не надо знать о частотах и длинах струн слушающему музыку, но если каждая её высота вовремя и безошибочно найдёт номер своего дома на своём углу в городе ощущений слушателя, последний не сможет сказать, что музыки не было, даже если если её никогда не исполняли на струнах или других источниках частот.

Номер своего углового дома каждая высота никогда не должна забывать.

[commator]

commator в сообщении #994327 писал(а):

Тюлин (1937) писал(а):

Этот $32$-тоновый натуральный звукоряд показывает, что каждый из обертонов нижних регистров имеет свою собственную натуральную ска́лу в числе обертонов основного тона (пример $16$).

Это облегчает нам возможность определить высотности некоторых обертонов без помощи каких-либо сложных вычислений.

Для того чтобы определить, какие обертоны входят в эту ска́лу, следует принять за множитель порядковый номер того тона, по отношению к которому мы строим эту ска́лу:

От G (множитель 3): 3   6   9  12  15   18 21 24  27 30
                    sol sol re sol si   re fa sol la si

От E (множитель 5): 5   10  15 20  25   30
                    mi  mi  si mi  sol♯ si

От B (множитель 7): 7   14  21 28
                    si♭ si♭ fa si♭

От D (множитель 9): 9   18  27
                    re  re  la

commator в сообщении #999162 писал(а):

Давайте вспомним как нумеруются угловые дома:

Ноосфера писал(а):

4.1.2. Номер углового дома указывается через дробь – «$21/35$»

Давайте также вспомним, что есть возможность строить города любого размера, где каждый дом будет угловым:



Переходя к абстракции высот можно утверждать, что их уровни можно нумеровать также, как в городе, где только угловые дома.

Пример $16$ (Тюлин 1937) можно письменно отобразить сочетая нотные имена и номера угловых домов:

      :           :           :            :          :           :           :           :           :          :             :           :
    g1:[12/2] → g1:[12/2] → g1:[12/2]] → g1:[12/2]] ——————————→ g1:[12/2] —————————————————————————————————————————————————————————————→ g1:[12/2]
  fis1:[11/2] ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————→ fis1:[11/2]
    e1:[10/2] → e1:[10/2] ————————————————————————→ e1:[10/2] ———————————————————————————————————————————————→ e1:[10/2]
    d1:[ 9/2] ————————————→ d1:[ 9/2] ————————————————————————————————————————————————————————————→ d1:[9/2]
    c1:[ 8/2] → c1:[ 8/2] ————————————→ c1:[ 8/2] ————————————————————————————————————→ c1:[ 8/2]
   bes:[ 7/2] ———————————————————————————————————————————————————————————→ bes:[ 7/2]
     g:[ 6/2] →  g:[ 6/2] →  g:[ 6/2] ————————————————————————→ g:[ 6/2]
     e:[ 5/2] ————————————————————————————————————→  e:[ 5/2]
     c:[ 4/2] →  c:[ 4/2] ————————————→  c:[ 4/2]
     G:[ 3/2] ————————————→  G:[ 3/2]
     C:[ 2/2] →  C:[ 2/2]
    C1:[ 1/2]

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #999063 писал(а):

Я хочу обратить Ваше внимание на "кульбит Римана". Он переворачивает дробь и утверждает, что тем самым он перенесся из "мира отношений длин струн" в "мир отношений частот":
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/2.html
(внизу указаной страницы)

"Кульбит Римана" повторяет Немировский:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/2/2.html

Этот кульбит может затемнить одно важное обстоятельство: необходимость выделения во множестве всех интервалов двух непересекающихся подмножеств: множества повышающих интервалов и множества понижающих интервалов.

commator в сообщении #999162 писал(а):

Начало обсуждения этого предмета ранее было положено...

Все же мне пока ближе подход, на элементарном уровне намеченный здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/2.html
Основанный на определениях из цитированной выше книги Д. Райта “Математика и музыка”
Но мне было бы также интересно понять до конца то, что предлагаете Вы.

[commator]

commator в сообщении #992308 писал(а):

Риман (1901) писал(а):

Вот напр. ряд первых $16$-ти обертонов созвука $\mathbf{C}$ (так называемая верхняя натуральная гармоническая скала):



<...>

Вот ряд первых $16$-ти унтертонов звука $\mathbf{c'''}$ (считая его исходным, главным тоном):

Сочетая имена высот, номера угловых домов и отношения множеств, смысл приведённых нотных примеров (Риман 1901) следует в текстовой форме передать так, вероятно:

Первые 16 обертонов от C:[1/1]:

 C:[1/1]                                                                                                                           ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]                                                 ⊃ c2:[8/1]                                                                ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]                  ⊃ c1:[4/1]                     ⊃ c2:[8/1]                                                                ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]                                 ⊃ c2:[8/1]                                                                ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]  ⊃ c1:[4/1]                     ⊃ c2:[8/1]                                                                ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]                  ⊃ c1:[4/1]                                                                                               ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]  ⊃ c1:[4/1]                                                                                               ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]                                                                                                           ⊃ c3:[16/1]
 C:[1/1]                                                                                                                  ⊃ *b2:[15/1]
 C:[1/1]                         ⊃ *e1:[5/1]                                                                              ⊃ *b2:[15/1]
 C:[1/1]             ⊃ g:[3/1]                                                                                            ⊃ *b2:[15/1]
 C:[1/1]                                                                                                        ⊃ *bes2:[14/1]
 C:[1/1]                                       ⊃ *bes1:[7/1]                                                    ⊃ *bes2:[14/1]
 C:[1/1]                                                                                               ⊃ *as2:[13/1]
 C:[1/1]                                                                                        ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]             ⊃ g:[3/1]                                                                  ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]             ⊃ g:[3/1]           ⊃ g1:[6/1]                                             ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]                                 ⊃ g1:[6/1]                                             ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]                 ⊃ g1:[6/1]                                             ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]                  ⊃ c1:[4/1]                                                            ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]  ⊃ c1:[4/1]                                                            ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]                                                                        ⊃ g2:[12/1]
 C:[1/1]                                                                             ⊃ *fis2:[11/1]
 C:[1/1]                                                                     ⊃ *e2:[10/1]
 C:[1/1]                         ⊃ *e1:[5/1]                                 ⊃ *e2:[10/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]                                                     ⊃ *e2:[10/1]
 C:[1/1]                                                               ⊃ d2:[9/1]
 C:[1/1]             ⊃ g:[3/1]                                  ⊃ d2:[9/1]
 C:[1/1]                                                 ⊃ c2:[8/1]
 C:[1/1]                  ⊃ c1:[4/1]                     ⊃ c2:[8/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]  ⊃ c1:[4/1]                     ⊃ c2:[8/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]                                 ⊃ c2:[8/1]
 C:[1/1]                                       ⊃ *bes1:[7/1]
 C:[1/1]                                 ⊃ g1:[6/1]
 C:[1/1]             ⊃ g:[3/1]           ⊃ g1:[6/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]                 ⊃ g1:[6/1]
 C:[1/1]                         ⊃ *e1:[5/1]
 C:[1/1]                   ⊃ c1:[4/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]   ⊃ c1:[4/1]
 C:[1/1]             ⊃ g:[3/1]
 C:[1/1]       ⊃ c:[2/1]
 C:[1/1] ⊇ C:[1/1]

Первые 16 унтертонов от с3:[16/1]:

 с3:[16/1] ⊆ с3:[16/1]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]
 с3:[16/1]                 ⊂ f1:[16/3]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]     ⊂ с1:[16/4]
 с3:[16/1]                         ⊂ с1:[16/4]
 с3:[16/1]                                ⊂ *as:[16/5]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]                     ⊂ f:[16/6]
 с3:[16/1]                 ⊂ f1:[16/3]             ⊂ f:[16/6]
 с3:[16/1]                                         ⊂ f:[16/6]
 с3:[16/1]                                               ⊂ *d:[16/7]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]                                   ⊂ c:[16/8]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]     ⊂ с1:[164]                    ⊂ c:[16/8]
 с3:[16/1]                         ⊂ с1:[164]                    ⊂ c:[16/8]
 с3:[16/1]                                                       ⊂ c:[16/8]
 с3:[16/1]                 ⊂ f1:[16/3]                                  ⊂ Bes:[16/9]
 с3:[16/1]                                                              ⊂ Bes:[16/9]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]                                                ⊂ *As:[16/10]
 с3:[16/1]                                ⊂ *as:[16/5]                        ⊂ *As:[16/10]
 с3:[16/1]                                                                    ⊂ *As:[16/10]
 с3:[16/1]                                                                          ⊂ *Ges:[16/11]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]                                                                ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]     ⊂ с1:[16/4]                                                ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]                         ⊂ с1:[16/4]                                                ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]                     ⊂ f:[16/6]                                 ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]                                         ⊂ f:[16/6]                                 ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]                 ⊂ f1:[16/3]             ⊂ f:[16/6]                                 ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]                 ⊂ f1:[16/3]                                                        ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]                                                                                    ⊂ F:[16/12]
 с3:[16/1]                                                                                         ⊂ *Es:[16/13]
 с3:[16/1]                                               ⊂ *d:[16/7]                                       ⊂ *D:[16/14]
 с3:[16/1]                                                                                                        ⊂ *D:[16/14]
 с3:[16/1]                 ⊂ f1:[16/3]                                                                                 ⊂ *Des:[16/15]
 с3:[16/1]                                ⊂ *as:[16/5]                                                                 ⊂ *Des:[16/15]
 с3:[16/1]                                                                                                             ⊂ *Des:[16/15]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]                                                                                                   ⊂ C:[16/16]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]     ⊂ с1:[16/4]                                                                                   ⊂ C:[16/16]
 с3:[16/1]                         ⊂ с1:[16/4]                                                                                   ⊂ C:[16/16]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]     ⊂ с1:[16/4]                  ⊂ c:[16/8]                                                       ⊂ C:[16/16]
 с3:[16/1]         ⊂ с2:[16/2]                                  ⊂ c:[16/8]                                                       ⊂ C:[16/16]
 с3:[16/1]                         ⊂ с1:[16/4]                  ⊂ c:[16/8]                                                       ⊂ C:[16/16]
 с3:[16/1]                                                      ⊂ c:[16/8]                                                       ⊂ C:[16/16]
 с3:[16/1]                                                                                                                       ⊂ C:[16/16]

Символ * перед именем высоты означает, что высота заметно отличается от стандартного 12РДО уровня.