Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[bntr]

commator в сообщении #1009543 писал(а):

bntr в сообщении #1009509 писал(а):

имею в виду p/(p-1) где p - простые числа. Такая "эпиморная факторизация" даёт единственный результат.

Фaкторизация рациональными

$(p+1)/p~\leftarrow~p\in\mathbb{P}\subset\mathbb{N}$

приведёт к тому же результату?

2/1 не является (p+1)/p
Т.е. например 2/1 и 3/1 не раскладываюся. Поэтому этот вариант кажется неестественным.

К тому же 4/3=(3/2)^{-1}\cdot(2/1)

Выложил скрипт для разложения на p/(p-1), например:
http://bntr.appspot.com/ji/epimorics/11/7

[commator]

bntr в сообщении #1009558 писал(а):

2/1 не является (p+1)/p

Убедительно!

Формула

$p/(p-1)$

единственно верная.

[commator]

Попалось на глаза разложение на эпиморные и субэпиморные интервалы видов

$\frac{n}{n-1},(\frac{n}{n-1})^-^1=\frac{n-1}{n}~\leftarrow~n\in\mathbb{N}$,

эпиморной же субдидимовой коммы

$(\frac{81}{80})^-^1=\frac{80}{81}$,

не вполне безупречно отображённое на пятилинейную становую нотацию, что ранее обсуждалось в другом месте.

commator в Сети писал(а):

Пример Немировского см. здесь
Там я и ноты нашёл:

http://www.px-pict.com/preprints/Nemir/im1/c.jpg

Помоделировал. Результаты прикладываю.

Тогда эпиморность разложения осталась без внимания.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1007698 писал(а):

возможна связь с комбинаторной теорией групп

Связь с теорией групп впервые мне подтвердил луганский математик Г. Воль, также музыкально образованный, кто по моей просьбе написал в 2007-м соответствующий мемуар об этом.

http://sonantometria.blogspot.com/2007_05_01_archive.html

Комбинаторика напоминает об игре в кости, а они могут быть не более чем пяти видов. Об этом ранее было упомянуто в других обсуждениях.

commator 2014 писал(а):

Показалось не лишним отметить таинственные связи систем чистой интонации с платоновыми телами.

Вот эти тела в порядке возрастания количества их граней:



У тетраэдра 4 грани и есть система чистой интонации, опирающаяся только на 4 первых обертона натуральной скалы и порождающая пифагорейский строй, способный бесконечно делить октаву с привлечением простых чисел величиной не более 3. Тетраэдр, следовательно, может быть символом ЧИП3.

У гексаэдра 6 граней и он может быть символом ЧИП5, опирающейся на 6 первых обертонов и вытекающей из дидимова строя, у русскоязычных более известного под именем чистый.

Октаэдр имеет 8 граней и просится в символы для ЧИП7, возникающей из 8 первых обертонов и архитова строя, теперь англоязычными называемого септимальный, пропагандировал который Эйлер, например.

Додекаэдр насчитывает 12 граней и годится для символа ЧИП11, построенной на первых 12-ти обертонах и фарабиева строя, англоязычными названного ундецимальный.

Икосаэдр (последнее платоново тело) имеет 20 граней. Построенная исходя из первых 20-ти обертонов музыкальная система породит ЧИП19, после которой строить системы чистой интонации более высоких пределов нет смысла, если поверить, что удивительное существования пяти и только пяти платоновых тел может связаться с историей развития систем чистой интонации.

commator 2014 писал(а):

Бросая пару костей в форме октаэдра с номерами обертонов на гранях одного и номерами унтертонов на гранях второго, можно получать случайные последовательности дуалистичных тональных функций, которые можно назвать гармониями провидения (ГП) для сочинения музыки в системе ЧИП7.

Для получения ГП в системе ЧИП5 можно бросать обычную пару костей в форме кубиков.

Кости в форме тетраэдров будут плохо кататься, не имеют параллельных граней и такая пара единственная. Поэтому пифагорейские ГП не предназначены для использования.

Самые причудливые ГП возникнут от бросания пары костей в форме икосаэдров...

[commator]

commator в сообщении #1010285 писал(а):

commator 2014 писал(а):

Кости в форме тетраэдров будут плохо кататься, не имеют параллельных граней и такая пара единственная. Поэтому пифагорейские ГП не предназначены для использования.

Ничто не мешает, однако, построить сопоставимый с нотной грамотой образ существования пифагорейских ГП в области высотных ощущений.

      =I: ▲=c1:2T[4/1]ø             Область высотных ощущений         ~ c1           ║ Высота (¢)                Область частотно-высотной кривой
          ·                                                           ~ b            ║                                                           
          ·                                                           ~   bes  V as  ║                                                           
          ·                                                           ~ a            ║                                                           
          ·                                                           ~   as   V gis ║                                                           
      =V: ▲  =g:D[3/1]ø                                               ~ g            ║                                                           
          ·                                                           ~   ges  V fis ║                                                           
          ·                                                           ~ f            ║                                                           
          ·                                                           ~ e            ║                                                           
          ·                                                           ~   es   V dis ║                                                           
          ·                                                           ~ d            ║                                                           
          ·                                                           ~   des  V cis ║                                               ·           
      =I: ▲  =c:T[2/1]ø ≡ ▲=c:2T[4/2]t                                ~ c ±0¢[0,64]--║--------------------------------------------+              
          · ·                                                         ~ B            ║                                         ·  |              
          ·    ·                                                      ~   Bes  V As  ║                                      ·     |              
          ·       ·                                                   ~ A            ║                                   ·        |              
          ·          ·                                                ~   As   V Gis ║                                 ·          |              
      =V: ·              ▲ =G:D[3/2]t                                ~ G+2¢[80,64]--║-------------------------------+            |              
          ·                    .                                     ~   Ges  V Fis ║                             · |            |              
     =iv: ·                            ·▲=F:2T[4/3]d                 ~ F-2¢[48,63]--║---------------------------+   |            |              
          ·                                                           ~ E            ║                         · |   |            |              
          ·                                                           ~   Es   V Dis ║                           |   |            |              
          ·                                                           ~ D            ║                          |   |            |              
          ·                                                           ~   Des  V Cis ║                    ·      |   |            |              
      =I: ◊  =C:Ø[1/1]ø ≡ ▲ =C:T[2/2]t ≡ ▲ =C:D[3/3]d ≡ ▲=C:2T[4/4]2t ~ C±0¢[0,64]---║-------------------+-------------------------- Частота (Hz)
           ·                                                          ~ B1           ║                  |       |   |            |              
            ·                                                         ~   Bes1 V As1 ║                ·  |       |   |            |              
             ·                                                        ~ A1           ║               ·   |       |   |            |              
              ·                                                       ~   As1  V Gis1║              ·    |       |   |            |              
      =V:      ·                                      . ▲=G1:D[3/4]2t ~ G1+2¢[80,64]-║-------------+     |       |   |            |              
                ·                            .                       ~   Ges1 V Fis1║            ·|     |       |   |            |              
     =iv:        ·                       ▲=F1:T[2/3]d                 ~ F1-2¢[48,63]-║-----------+ |     |       |   |            |              
                  ·                  ·                                ~ E1           ║          ·| |     |       |   |            |              
                    ·            ·                                    ~   Es1  V Dis1║         . | |     |       |   |            |              
                      ·       ·                                       ~ D1           ║           | |     |       |   |            |              
                        ·   ·                                         ~   Des1 V Cis1║          | |     |       |   |            |              
      =I:                 ▼=C1:Ø[1/2]t ≡              ≡ ▲=C1:T[2/4]2t ~ C1±0¢[0,64]--║-------+   | |     |       |   |            |              
                           ·                                          ~ B2           ║       |   | |     |       |   |            |              
                             ·                                        ~   Bes2 V As2 ║      |   | |     |       |   |            |              
                               ·                                      ~ A2           ║       |   | |     |       |   |            |              
                                 ·                                    ~   As2  V Gis2║       |   | |     |       |   |            |              
                                   ·                                  ~ G2           ║       |   | |     |       |   |            |              
                                      ·                               ~   Ges2 V Fis2║       |   | |     |       |   |            |              
     =iv:                                ▼=F2:Ø[1/3]d                 ~ F2-2¢[48,63] ║       |   | |     |       |   |            |              
                                            ·                         ~ E2           ║       |   | |     |       |   |            |              
                                               ·                      ~   Es2  V Dis2║       |   | |     |       |   |            |              
                                                  ·                   ~ D2           ║       |   | |     |       |   |            |              
                                                     ·                ~   Des2 V Cis2║       |   | |     |       |   |            |              
      =I:                                               ▼=C2:Ø[1/4]2t ~ C2           ║       |   | |     |       |   |            |              
═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╬═══════════════════════════════════════════════════════════
                                                                                     ║       |   | |     |       |   |            130,812        
                                                                                     ║       |   | |     |       |   98,110                      
                                                                                     ║       |   | |     |       87,209                          
                                                                                     ║       |   | |     65,406                                  
                                                                                     ║       |   | 32,703                                        
                                                                                     ║       | 32,703                                            
                                                                                     ║       32,703                     Область частотных стимулов

[commator]

commator в сообщении #1010977 писал(а):

╬═══════════════════════════════════════════════════════════
║       |   | |     |       |   |            130,812        
║       |   | |     |       |   98,110                      
║       |   | |     |       87,209                          
║       |   | |     65,406                                  
║       |   | 49,055  вместо опечатки  32,703 
║       |   43,604  вместо опечатки  32,703 
║       32,703                     Область частотных стимулов

[commator]

commator в сообщении #1010285 писал(а):

Связь с теорией групп впервые мне подтвердил луганский математик Г. Воль, также музыкально образованный, кто по моей просьбе написал в 20072005-м соответствующий мемуар об этом.

http://sonantometria.blogspot.com/2007_ ... chive.html

[commator]

commator в сообщении #1010977 писал(а):

сопоставимый с нотной грамотой образ существования пифагорейских ГП в области высотных ощущений

Для сравнения такой же образ существования дидимовых ГП:

                                                                                                                                   Область ║ Область 
                                                                                                                                  высотных ║ частотных
                                                                                                                                  ощущений ║ стимулов
                                                                                                                                           ║ (Hz) 
         =V: ▲   =g1:D[6/1]ø                                                                                            ~ g1+2¢[80,64]    ←║ 392,438
             ·                                                                                                          ~ f1               ║
     ιΔ,III: ▲ ιΔ,e1:M[5/1]ø                                                                                            ~ e1-14¢[79,59]   ←║ 327,032
             ·                                                                                                          ~   es1  V dis1    ║
             ·                                                                                                          ~ d1               ║
             ·                                                                                                          ~   des1 V cis1    ║
         =I: ▲  =c1:2T[4/1]ø                                                                                            ~ c1±0¢[0,64]     ←║ 261,626   
             ◦                                                                                                          ~ b                ║
             ◦                                                                                                          ~   bes  V ais     ║
             ◦                                                                                                          ~ a                ║
             ◦                                                                                                          ~   as   V gis     ║
         =V: ▲    =g:D[3/1]ø ≡ ▲  =g:TD[6/2]t                                                                           ~ g+2¢[80,64]     ←║ 196,219 
             ◦  ·                                                                                                      ~   ges  V fis     ║
             ◦        ·                                                                                                ~ f                ║
     ιΔ,III: ◦               ·▲ ιΔ,e:M[5/2]t                                                                           ~ e-14¢[79,59]    ←║ 163,516
             ◦                                                                                                          ~   es   V dis     ║
             ◦                                                                                                          ~ d                ║
             ◦                                                                                                          ~   des  V cis     ║          
         =I: ▲    =c:T[2/1]ø ≡ ▲  =c:2T[4/2]t ≡ ▲  =c:TD[6/3]d                                                          ~ c±0¢[0,64]      ←║ 130,813
             ○  ◦                                                                                                       ~ B                ║          
             ○     ◦                                                                                                    ~   Bes  V Ais     ║
      ιΔ,VI: ○        ◦                      .  ▲ ιΔ,A:M[5/3]d                                                          ~ A-16¢[127,58]   ←║ 109,029
             ○            ◦        .                                                                                   ~   As   V Gis     ║
         =V: ○                ◦▲   =G:D[3/2]t ≡                ≡ ▲  =G:TD[6/4]2t                                        ~ G+2¢[80,64]     ←║  98,110
             ○                     ◦                                                                                    ~   Ges  V Fis     ║
        =iv: ○                            ˚     ▲  =F:2T[4/3]d                                                          ~ F-2¢[48,63]     ←║  87,209
     ιΔ,III: ○                                           ·    . ▲ ιΔ,E:M[5/4]2t                                        ~ E-14¢[79,59]    ←║  81,758
    Δι,IIIь: ○                                                             ·     .▲  Δι,Es:TD[6/5]m                    ~   Es+16¢[1,69]  ←║  78,488
             ○                                                                                                          ~ D                ║
             ○                                                                                                          ~   Des  V Cis     ║        
         =I: ◊    =C:Ø[1/1]ø ≡ ▲   =C:T[2/2]t ≡ ▲   =C:D[3/3]d ≡ ▲  =C:2T[4/4]2t ≡ ▲      =C:M[5/5]m ≡ ▲   =C:TD[6/6]dt ~ C±0¢[0,64]      ←║  65,406
              ○                                                                                                         ~ B1               ║        
               ○                                                                                                        ~   Bes1 V Ais1    ║
      ιΔ,VI:    ○                                                                     ָ    .     ·     ▲ ιΔ,A1:M[5/6]dt ~ A1-16¢[127,58]  ←║  54,505
                 ○                                                       .     ·   ▲ Δι,As1:2T[4/5]m                    ~   As1+14¢[49,68]←║  52,325
         =V:      ○                                          ◦   ▲ =G1:D[3/4]2t                                        ~ G1+2¢[80,64]    ←║  49,055
                   ○                                   ˚                                                                ~   Ges1 V Fis1    ║
        =iv:         ○                          ▲  =F1:T[2/3]d ≡                                     ≡ ▲  =F1:2T[4/6]dt ~ F1-2¢[48,63]    ←║  43,604
     ιΔ,III:           ○                    ◦           ·    .                                                         ~ E1               ║
                         ○              ◦                                  ∙      ▲ Δι,Es1:TD[3/5]m                    ~   Es1+16¢[1,69] ←║  39,244
                           ○         ◦                                                                                  ~ D1               ║
                             ○    ◦                                                                                     ~   Des1 V Cis1    ║        
         =I:                   ▼  =C1:Ø[1/2]t ≡                ≡ ▲  =C1:T[2/4]2t                     ≡ ▲   =C1:D[3/6]dt ~ C1±0¢[0,64]     ←║  32,703
                                 ◦                                                                                      ~ B2               ║        
                                   ◦                                                                                    ~   Bes2 V Ais2    ║
                                     ◦                                                                                  ~ A2               ║
                                        ◦                                   .      ▲  Δι,As2:T[2/5]m                    ~   As2+14¢[49,68]←║  26,163
                                           ◦                  ∙                                                        ~ G2               ║
                                              ◦    .                                                                   ~   Ges2 V Fis2    ║
        =iv:                                    ▼  =F2:Ø[1/3]d ≡                                     ≡ ▲   =F2:T[2/6]dt ~ F2-2¢[48,63]    ←║  21,802
     ιΔ,III:                                       ◦                                                                    ~ E2               ║
                                                      ◦                                                                 ~   Es2  V Dis2    ║
                                                         ◦                                                              ~ D2               ║
                                                             ◦                                                          ~   Des2 V Cis2    ║
════════ =I: ═══════════════════════════════════════════════════ ▼  =C2:Ø[1/4]2t ══════════════════════════════════════ ~ C2±0¢[0,64]══════╣  16,352
                                                                     ∙                                                  ~ B3               ║
                                                                         ∙                                              ~   Bes3 V Ais3    ║
                                                                             ∙                                          ~ A3               ║
                                                                                  ∙▲  Δι,As2:Ø[1/5]m                    ~   As3+14¢[49,68]←║  13,081
                                                                                        ∙                               ~ G3               ║
                                                                                              ∙                         ~   Ges2 V Fis2    ║
                                                                                                      ∙▲   =F3:Ø[1/6]dt ~ F3-2¢[48,63]    ←║  10,901
                                                                                                                                           ║
                                                                                                              Область ритмических ощущений ║

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1010285 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1007698 писал(а):

возможна связь с комбинаторной теорией групп

Связь с теорией групп впервые мне подтвердил луганский математик Г. Воль, также музыкально образованный, кто по моей просьбе написал в 2007-м соответствующий мемуар об этом.

http://sonantometria.blogspot.com/2007_05_01_archive.html

Комбинаторика напоминает об игре в кости, а они могут быть не более чем пяти видов.

Честно говоря, у меня слово "комбинаторная" в словосочетании "комбинаторная теория групп" никогда не ассоциировалось с игрой в кости. Сама теория устойчиво ассоцировалась с использованием графов, как об этом написано, в частности, в замечательной книге Гроссмана и Магнуса "Группы и их графы". Кстати говоря, в ней во введении, в качестве одного из двух основных примеров, фигурирует именно группа положительных рациональных чисел относительно операци умножения:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/5/2/1.html

-- Вт май 05, 2015 23:47:53 --

commator в сообщении #1008418 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1008338 писал(а):

Для начала мне хотелось бы узнать: Вас по прежнему восхищает то место из Немировского (повторяющего цитированные выше построения Римана), которое мы обсуждали: http://www.forumklassika.ru/showthread. ... post983855

Не могли бы Вы еще раз подробно пояснить, в чем заключается причина этого восхищения лично для Вас?

Прошло почти пять лет с момента, когда впервые мне подвернулся фрагмент Немировского из Вашей коллекции:



Как материал для обоснования сонантометии он меня восхищает по прежнему, но для моей практики предложенная технология не подходит.

Движение по квинтам, терциям и октавам, о котором пишет Немировский, как раз и будет движением по дугам соответствующего графа.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1011622 писал(а):

Движение по квинтам, терциям и октавам, о котором пишет Немировский, как раз и будет движением по дугам соответствующего графа

Партитуры, т. е. основное для меня поле сонантометрической практики, написаны не интервалами, а высотами. Вследствие этого у сонантометрии первым делом сонанты, ну а интерсонанты ... потом, если понадобится.

В процессе комматизации 12РДО партитур, необходимом для переноса музыки в системы, например, положительные по Бозанкету * (англоязычные произносят Bosanquet как Босанке), всегда приходится приписывать сонанты высотам, и никогда нет особой нужды ещё и выписывать интерсонанты, соответствующие интервалам между высотами. Но это с текущей точки зрения, притом человеческой. Возможно машинному переносу понадобится анализировать интервалы, выявляя интерсонанты для приписывания сонантов высотам.

Пока мне этот подход представляется громоздким и очень уязвимым для главного врага чистой интонации — ползучей модуляции, или постепенного ухода исполнения из предписанной тональности.


* http://www.geocities.ws/kmy180753/downloads/EnhrmArticleOfBosnquet.doc

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1011622 писал(а):

у меня слово "комбинаторная" в словосочетании "комбинаторная теория групп" никогда не ассоциировалось с игрой в кости

У меня уже приготовлена пара игральных кубиков для опытов с гармониями провидения.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1011622 писал(а):

Честно говоря, у меня слово "комбинаторная" в словосочетании "комбинаторная теория групп" никогда не ассоциировалось с игрой в кости. Сама теория устойчиво ассоцировалась с использованием графов, как об этом написано, в частности, в замечательной книге Гроссмана и Магнуса "Группы и их графы".

Я считаю, что их графическое представление "группы городских улиц" достаточно близко к тому, чтобы стать основой графического представления для бесконечной абелевой группы ЧИП3:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/5/2/7/6.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1011865 писал(а):

графическое представление "группы городских улиц" достаточно близко к тому, чтобы стать основой графического представления для бесконечной абелевой группы ЧИП3: http://www.px-pict.com/9/5/2/6/5/2/7/6.html

Надо же!

Думал: сопоставляя бесконечное множество групп ЧИП$p$, как ДШБ (дерево Штерна-Броко) с планом города исключительно угловых домов, слишком увлёкся формалистикой, а сопоставление с планом города для теории групп прописное, оказывается.

Интересно, можно ли построить план города как подобие ДШБ для одной лишь бесконечной абелевой группы ЧИП3, включающей в себя и бесконечное множество бесконечных групп ЧИП2, разумеется?

Вместе с тем стоит обратить внимание на важный момент в теории музыки. Все ищут там приемлемое ограничение бесконечной НС (натуральной ска́лы).

Пифагорейцы ограничивались первыми четырьмя обертонами, а дидимейцы-царлинисты — шестью.

Архитейцам-септималистам пристойно ограничиться восемью, фарабистам-ундецималистам ́— двенадцатью и, наконец, боэцианам-ундевицесималистам — двадцатью, чего и помогает достичь формалистика с парами игральных костей, соответствующих платоновых огранок.

Для игрального ограничения бесконечной ЧИП2, между прочим, можно пользоваться орлянкой пары монет.

[commator]

commator в сообщении #1011670 писал(а):

интерсонанты ... потом, если понадобится

Приписывание интервалам интерсонантов может с большой вероятностью понадобиться в процессе анализа/синтеза мелодий.

Недаром в музыкальной теории сложилась практика — заучивать строение гамм интервальными схемами.

Гамму натурального мажора, например, предлагают запоминать схемой тон, тон, полутон, три тона, полутон. Эта схема позволяет упомянутую гамму строить начиная от любой высоты, назначенной на роль первой ступени, ещё называемой примой и тоникой. Таким образом построенная в системе 12РДО натуральная гамма C-dur (Цэ-дур, от высоты До-большой октавы мажорная):

$C:[2^\frac{0}{12}]$ _тон— $D:[2^\frac{2}{12}]$ _тон— $E:[2^\frac{4}{12}]$ _полутон— $F:[2^\frac{5}{12}]$ _тон— $G:[2^\frac{7}{12}]$ _тон— $A:[2^\frac{9}{12}]$ _тон— $B:[2^\frac{11}{12}]$ _полутон— $c:[2^\frac{12}{12}]$

[Свободный Художник]

В несколько более общем виде эта идея видится мне следующим образом.
Построение Пифагорейского звуко-интервального универсума:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/5.html

-- Пт май 08, 2015 23:29:26 --

Одна из конкретизаций идеи Римана - Немировского о движении по октавам и квинтам в системе ЧИП3.

Свободный Художник в сообщении #1011622 писал(а):

commator в сообщении #1008418 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1008338 писал(а):

Для начала мне хотелось бы узнать: Вас по прежнему восхищает то место из Немировского (повторяющего цитированные выше построения Римана), которое мы обсуждали: http://www.forumklassika.ru/showthread. ... post983855

Не могли бы Вы еще раз подробно пояснить, в чем заключается причина этого восхищения лично для Вас?

Прошло почти пять лет с момента, когда впервые мне подвернулся фрагмент Немировского из Вашей коллекции:



Как материал для обоснования сонантометии он меня восхищает по прежнему, но для моей практики предложенная технология не подходит.

Движение по квинтам, терциям и октавам, о котором пишет Немировский, как раз и будет движением по дугам соответствующего графа.