Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #1005797 писал(а):

commator в сообщении #1001488 писал(а):

пример перехода от квинтовой цепи к пифагорейской диатонике

MP3 для ознакомительного прослушивания:
https://sites.google.com/site/commator/technology_e/KMY_US%3DC_PDBDR02v003j%3Dc.mp3?attredirects=0&d=1
MIDI модель и партитура формата TIF в ZIPе:
https://sites.google.com/site/commator/technology_e/KMY_US%3DC_PDBDR02v003j%3Dc.zip?attredirects=0&d=1
Модель формата Sibelius 6:
https://sites.google.com/site/commator/technology_e/KMY_US%3DC_PDBDR02v003j%3Dc.sib?attredirects=0&d=1

В результате естественно обоснованной в границах ЧИП3 диафонии квинтово-квартовым зигзагом, на предъявленном многоголосии партия Bassoon I дублируется в октаву партией English Horn и отфильтровывает полную пифагорейскую диатонику.

commator в сообщении #1007812 писал(а):

Добавление к сонанту каждой ступени буквы T должно транспонировать гамму на октаву выше, что изменит в именах нот сонантах их признаки октавной принадлежности, но оставит за ними те же имена [высотных классов] и принадлежности к ступеням:

Обратная операция, а именно транспонирование гаммы на октаву ниже, выполняется путём дописывания буквы t к сонанту каждой ступени:

  =I:=c1:2Tø   =II:=d1:2Dt   =III:=e1:4D4t  =iv:=f1:4Td  =V:=g1:TDø  =VI:=a1:3D2t  =VII:=b1:5D5t  =viii:=c2:3Tø
        ↓             ↓              ↓             ↓           ↓            ↓              ↓               ↓
  =I:=c1:2Tøt  =II:=d1:2Dtt  =III:=e1:4D4tt =iv:=f1:4Tdt =V:=g1:TDøt =VI:=a1:3D2tt =VII:=b1:5D5tt =viii:=c1:3Tøt
        ↓             ↓              ↓             ↓           ↓            ↓              ↓               ↓
   =I:=c:Tø     =II:=d:2D2t   =III:=e:4D5t   =iv:=f:3Td   =V:=g:Dø    =VI:=a:3D3t   =VII:=b:5D6t  =viii:=c1:2Tø
        ↓             ↓              ↓             ↓           ↓            ↓              ↓               ↓
   =I:=c:Tøt    =II:=d:2D2tt  =III:=e:4D5tt  =iv:=f:3Tdt  =V:=g:Døt   =VI:=a:3D3tt  =VII:=b:5D6tt =viii:=c1:2Tøt
        ↓             ↓              ↓             ↓           ↓            ↓              ↓               ↓
   =I:=C:Øø     =II:=D:2D3t   =III:=E:4D6t   =iv:=F:2Td   =V:=G:Dt    =VI:=A:3D4t   =VII:=B:5D7t   =viii:=c:Tø

Транспонирование таким образом партии Englidh Horn из верхней строки кода, даёт октавное дублирование, совпадающее с партией Bassoon I в средней строке, а продолжение операции ещё ниже, приводит в нижней строке к октавному дублированию, совпадающему с теми ступенями, которые присутствуют в партии Bassoon II.

[commator]

commator в сообщении #1007893 писал(а):

в партии Bassoon II Contrabassoon I.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1007728 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1007698 писал(а):

commator в сообщении #1006612 писал(а):

В сонантометрии числа подменяются сочетаниями букв, которые порождены нуждами музыкальной теории и заимствованы оттуда с некоторыми изменениями ради возможности их бесконечного пополнения. Вычисления с числами подменяются алгебраическими действиями с формулами образов чисел из области слуховых ощущений.

То есть возможна связь с комбинаторной теорией групп? Я уже спрашивал об этом:
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=87621

Сонанты $:S_1s_2,:S_3s_4,:S_5s_6, \dots$ образуют группу:

1. $:S_1s_2\cdot:S_3s_4=:S_1S_3s_2s_4$
2. $(:S_1s_2:S_3s_4):S_5s_6=:S_1s_2(:S_3s_4:S_5s_6)=:S_1S_3S_5s_2s_4s_6$
3. $:S_1s_2\cdot:\varnothing_\varnothing=:\varnothing_\varnothing\cdot:S_1s_2=:S_1s_2$
4. $:S_1s_2\cdot:S_2s_1=:S_2s_1\cdot:S_1s_2=S_1S_2s_1s_2=:\varnothing_\varnothing$

Хотелось бы все-таки по порядку (чтобы не запутаться).
Для начала мне хотелось бы узнать: Вас по прежнему восхищает то место из Немировского (повторяющего цитированные выше построения Римана), которое мы обсуждали:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... post983855

Не могли бы Вы еще раз подробно пояснить, в чем заключается причина этого восхищения лично для Вас? Потому что построения Римана - Немировского (а также некоторые, как я их понял, и Ваши) совершенно очевидным образом связаны с комбинаторной теорией групп:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... ost1002891

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1008338 писал(а):

Для начала мне хотелось бы узнать: Вас по прежнему восхищает то место из Немировского (повторяющего цитированные выше построения Римана), которое мы обсуждали: http://www.forumklassika.ru/showthread. ... post983855

Не могли бы Вы еще раз подробно пояснить, в чем заключается причина этого восхищения лично для Вас?

Прошло почти пять лет с момента, когда впервые мне подвернулся фрагмент Немировского из Вашей коллекции:



Как материал для обоснования сонантометии он меня восхищает по прежнему, но для моей практики предложенная технология не подходит.

Суть моей практики неизмеримо больше требует приписывания тех или иных смыслов тональным высотам, чем интервалам между ними. Поэтому вместо

$\overline{G}=\frac{5.Q}{T.2.O}=(\frac{3}{2})^5=:\frac{5.2.2}{4}=\frac{243}{160}$,

например, мне гораздо удобнее писать

$\Delta\iota,G:5D[243/160]m5t\equiv:5D[3^5/2^5]5t\cdot2T[4/5]m\cdot \varnothing[1/4]2t$,

помня, что

• Δι,G — краткая форма имени уровня высоты дидимова-над-соль-большой-октавы;
• : — символ имени сонант, также понимаемый как символ вертикальной пары тонов и как символ разъяснительного двоеточия;
• Ø — символ имени оригинант выделенного высотного уровня первого (обер/унтер)тона ;
• T — символ имени тонант второго обертона от Ø;
• t — символ имени субтонант второго унтертона от Ø;
• D — символ имени доминант третьего обертона от Ø;
• m — символ имени субмедиант пятого унтертона от Ø.

[bntr]

Уважаемый commator, небольшой сумбурный вопрос:

Любой рациональный интервал можно представить как произведение целых степеней простых чисел.
Например 243/160 = 2^{-5}\cdot3^5\cdot5^{-1} (5Dm5t)
В то же время, как будто помню, Вы упоминали о некой особой роли интервалов вида p/(p-1) (например 2/1, 3/2, 5/4, 19/18,..).
Кажется, Вы называли и специальный термин для них.

А ведь любой рациональный интервал представим и в виде произведения целых степеней этих p/(p-1).
Например 243/160 = (2/1)^{-2}\cdot(3/2)^{5}\cdot(5/4)^{-1}

Не имеет ли в сонантометрии (или чистой интонации) особого значения такое представление?
Индексы степеней в таком представлении как будто получаются меньше - не помогает ли это "приписывать смыслы тональным высотам"?

[commator]

bntr в сообщении #1008785 писал(а):

Уважаемый commator, небольшой сумбурный вопрос:

Любой рациональный интервал можно представить как произведение целых степеней простых чисел.
Например 243/160 = 2^{-5}\cdot3^5\cdot5^{-1} (5Dm5t)
В то же время, как будто помню, Вы упоминали о некой особой роли интервалов вида p/(p-1) (например 2/1, 3/2, 5/4, 19/18,..).
Кажется, Вы называли и специальный термин для них.

А ведь любой рациональный интервал представим и в виде произведения целых степеней этих p/(p-1).
Например 243/160 = (2/1)^{-2}\cdot(3/2)^{5}\cdot(5/4)^{-1}

Не имеет ли в сонантометрии (или чистой интонации) особого значения такое представление?
Индексы степеней в таком представлении как будто получаются меньше - не помогает ли это "приписывать смыслы тональным высотам"?

Не согласен с Вами, уважаемый bntr, что вопрос сумбурный. Из того, что он небольшой, нависает большая польза для чистой интонации, прежде всего, и теории чисел, возможно. Не могу сейчас предугадать, какова будет польза для сонантометрии. Надо было приложить немало особой работы ума, чтобы сделать столь ёмкий вопрос небольшим и понятным. Очень рад, что он у Вас созрел.

Сразу могу ответить, что соотношение вида $p/(p-1)$ называется эпиморное.

Оно для чистой интонации весьма полезное, на что мною в этом обсуждении было ранее указано:

commator в сообщении #1002856 писал(а):

Среди кратных интервалов выделяется октава, ́― самый из них узкий и единственный из кратных интервалов, принадлежащий ещё и множеству эпиморных, что означает невозможность попадания внутрь октавы какого-либо комбинационного тона.

Любая пара вертикальных высот, если она сопоставима с эпиморным соотношение чисел и не является частью более сложного множества вертикальных высот, не может иметь призвуков внутри своего интервала.

Продолжение ответа последует, но надо подумать.

[commator]

bntr в сообщении #1008785 писал(а):

любой рациональный интервал представим и в виде произведения целых степеней этих p/(p-1)

Можно ли, например, соотношение

$715/42=(5/2)\cdot(11/3)\cdot(13/7)$

представить таким образом?

[commator]

commator в сообщении #1008808 писал(а):

Любая пара вертикальных высот, если она сопоставима с эпиморным соотношение чисел и не является частью более сложного множества вертикальных высот, не может иметь призвуков внутри своего интервала.

Мажорное трезвучие:

:TD[6/1]ø
↕TD[6/5]m
:M[5/1]ø
↕M[5/4]2t
:2T[4/1]ø

сопоставимо с цепью эпиморных соотношений

:
↕[6/5]
:
↕[5/4]
:

составляющей соотношение $p/(p-2)$

:
↕[6/4]
:

, что свидетельствует о принудительном разделении на две и только две части натуральной квинты, без присутствия третьего тона внутри эпиморной, т. е. неделимой.

:
↕[3/2]
:

Защиту от попадания внутрь мажорного трезвучия любых призвуков, кроме совпадающих с присутствующим разделителем квинты, обеспечивает эпиморность каждого из двух разделов внутри её.

[bntr]

commator в сообщении #1008987 писал(а):

Можно ли, например, соотношение
$715/42=(5/2)\cdot(11/3)\cdot(13/7)$
представить таким образом?

$715/42 = ~~2^{-1}~~\cdot3^{-1}~~\cdot~~5^{1}~~\cdot~~7^{-1}~~\cdot~~11^{1}~~\cdot~~13^{1}$

$715/42 = (2/1)^{4}\cdot(3/2)^{-1}\cdot(5/4)^{2}\cdot(7/6)^{-1}\cdot(11/10)^{1}\cdot(13/12)^{1}$

Да, здесь индексы меньшими не получились - выгода для "приписывания смыслов" сомнительная.
Единственное, - чуть лучше виден размер интервала - около четырёх октав. Но, полагаю, размер на смысл влияет мало.

Еще пример лишних сущностей:

$77/68 = ~~2^{-2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot~~7^{1}~~\cdot~~11^{1}~~\cdot~~17^{-1}$

$77/68 = (2/1)^{-1}\cdot(3/2)^{1}\cdot(5/4)^{1}\cdot(7/6)^{1}\cdot(11/10)^{1}\cdot(17/16)^{-1}$

[commator]

bntr в сообщении #1009131 писал(а):

выгода для "приписывания смыслов" сомнительная

Лучше думать, что эта выгода ещё не открылась.

Ведь указанная природой ска́ла сонантов (обертонов) является бесконечной вверх цепью эпиморных интерсонантов вида _$S_(_n_+_1_) [(n+1)/n]s_n$́―

$:S_1 s_1$ _$T[2/1]_\varnothing$́― $:S_2 s_1$ _$D[3/2]t$́― $:S_3 s_1$ _$2T[4/3]d$− $:S_4 s_1$ ... $:S_n s_1$ _$S_(_n_+_1_) [(n+1)/n]s_n$́― $:S_(_n_+_1_)s_1$ ...

[bntr]

commator в сообщении #1009155 писал(а):

Ведь указанная природой ска́ла сонантов (обертонов) является бесконечной вверх цепью эпиморных интерсонантов

Таким образом любое эпиморное отношение указывает на конкретное место в этой цепи.

Пусть любой рациональный интервал со всеми своими разной силы призвуками суть обертоны нескольких натуральных скал (одной, на основном недостающем тоне, и других - подмножествах первой).
Получается, что это разложение на p/(p-1) как бы показывает, какими местами каких скал звуки интервала связываются друг с другом.
Т.е. как бы выявляется некий контекст из порождённых интервалом натуральных скал.

[bntr]

Например

$11/7 = (11/10)\cdot(5/4)\cdot(2/1)~~\cdot~~(3/2)^{-1}\cdot(7/6)^{-1}$

  1  2     4           8          12          16
  
  |  |  |  |  |  |  |  |  | 10-11  |  |  |  |  |
     |     |     |     4-----5     |     |     |
           1-----------2           |           |
           |
           |        7          11
           |
     |     2-----3     |     |     |     |     |
  |  |  |  |  |  6--7  |  |  |  |  |  |  |  |  |

[commator]

bntr в сообщении #1009458 писал(а):

Получается, что это разложение на p/(p-1) как бы показывает, какими местами каких скал звуки интервала связываются друг с другом.
Т.е. как бы выявляется некий контекст из порождённых интервалом натуральных скал.

Вполне с Вами согласен, но разложение соотношения на произведение эпиморных может иметь не единственный результат, похоже, чего нельзя сказать о факторизации натуральных чисел над чертой и под чертой соотношения по отдельности.

Надо бы выявить удобный способ эпиморной факторизации рациональных с наименьшим количеством сомножителей, мне кажется.

-- 30.04.2015, 11:51 --

bntr в сообщении #1008785 писал(а):

Вы упоминали о некой особой роли интервалов вида p/(p-1) (например 2/1, 3/2, 5/4, 19/18,..).
Кажется, Вы называли и специальный термин для них

Нашёл по этому поводу:

Герцман 1993 писал(а):

В эпиморном отношении (ἐπιμόριος) большее число полностью содержит меньшее и еще одну его часть (квинта 3:2, кварта - 4 : 3 и т.д.), а в много­кратном (πολλαπλάσιος) большее число содержит меньшее более, чем один раз (окта­ва - 2 : 1, децима 3 : 1 и т. д.)

[bntr]

commator в сообщении #1009498 писал(а):

Вполне с Вами согласен, но разложение соотношения на произведение эпиморных может иметь не единственный результат, похоже, чего нельзя сказать о факторизации натуральных чисел над чертой и под чертой соотношения по отдельности.

Надо бы выявить удобный способ эпиморной факторизации рациональных с наименьшим количеством сомножителей, мне кажется.

Вижу, я не оговорил, что имею в виду p/(p-1) где p - простые числа. Такая "эпиморная факторизация" даёт единственный результат.


Добавлю еще вслух, что по сравнению с
$11\cdot7^{-1}$
"эпиморная факторизация"
$(11/10)\cdot(5/4)\cdot(2/1)~~\cdot~~(3/2)^{-1}\cdot(7/6)^{-1}$
показывает в некотором смысле более короткую связь между 11 и 7 - связь, не доходящую до 1 - основного недостающего тона:

bntr в сообщении #1009494 писал(а):

  1  2     4           8          12          16
  
  |  |  |  |  |  |  |  |  | 10-11  |  |  |  |  |
     |     |     |     4-----5     |     |     |
           1-----------2           |           |
           |
  1        |        7          11
           |
     |     2-----3     |     |     |     |     |
  |  |  |  |  |  6--7  |  |  |  |  |  |  |  |  |

[commator]

bntr в сообщении #1009509 писал(а):

имею в виду p/(p-1) где p - простые числа. Такая "эпиморная факторизация" даёт единственный результат.

Фaкторизация рациональными

$(p+1)/p~\leftarrow~p\in\mathbb{P}\subset\mathbb{N}$

приведёт к тому же результату?