Раз ушла речь зашла про вложения, позволю и я себе вставить пару слов.
Согласно теореме Жане-Картана
произвольное риманово многообразие размерности
может быть локально изометрически вложено в любое риманово многообразие размерности, большей или равной
В частности, в плоское пространство такой размерности. В теореме предполагается, что метрика есть аналитическая функция от координат. На случай неопределённой сигнатуры метрики эта теорема была обобщена Фридманом
"Классом вложения" назовём
Для
-мерного многообразия получаем, что необходимое число измерений плоского объемлющего пространства
а класс вложения равен
В случае, когда многообразие обладает симметриями, класс вложения может быть понижен. Например, метрика Шварцшильда обладает
симметрией, поэтому оказывается, что её можно вложить в объемлющее пространство всего
измерений. Уменьшить необходимое число измерений объемлющего пространства до
уже не получается. По теореме Казнера
вакуумное решение уравнений Эйнштейна не может быть вложено в
-мерное объемлющее пространство.
Теперь сформулирую, в общем виде, моё понимание вопроса, вокруг которого развернулась дискуссия. Греческие индексы будут бегать от
до
латинские
от
до
Итак, у нас есть
-мерное многообразие с метрикой
Дальше мы по формуле строим из
величину, которую вслед за ЛЛ назовём пространственной метрикой
Тем самым получаем некоторое
-мерное многообразие с метрикой
Можно ли вложить эту метрику в плоское
-мерие? Отнюдь. По вышеозначенной теореме минимальное число измерений
Но, как мы помним, нас могут выручить симметрии метрики и, возможно, понизить нам необходимое число измерений.
Обратимся к случаю вращения с постоянной скоростью
, который тут всё мусолят. Для него метрика пространства-времени есть
пространственная метрика
Нетрудно заметить, что пространственная метрика обладает явной цилиндрической симметрией: один поворот в плоскости и одна трансляция. Что даёт надежду на
возможность вложения такой метрики в плоское пространство меньшего числа измерений, чем
Можно ли построить некоторую
-мерную метрику, автоматом вложенную в
Да, это известная метрика АДМ:
Метрика АДМ по определению есть метрика подмногообразия, поэтому автоматом вложено в исходное пространство-время, поэтому для случая вращения метрика АДМ вложена в Минковского.
Пространственная метрика из ЛЛ
похожа на метрику АДМ, но не есть оно. В случае вращения это метрика пространства, определяемого условием
или
где
Пространство время с метрикой
не есть плоское пространство, в чём можно убедиться, посчитав тензор кривизны.