"Категорный" vs "некатегорный" подход

[kp9r4d]

Toucan:

Выделено из темы «Маленькие личные методические открытия»

Мне кажется основная и фундаментальная разница (которая и ломает вашу аналогию) между теорией категорий и теорией множеств в том, что теория множеств делалась для того, чтобы быть Истинной, быть лингвистическим богом, который бы унифицировал всю математику и снимал всё это напряжение в логико-философском дискурсе, которое в ХХ веке образовалось, а теория категорий делалась просто, чтобы быть удобной.

Это можно пронаблюдать и в их появлении: всякие сечения Дедекинда и выражение анализа через ТМ делались для того, чтобы снова что-то там обосновать и дать чему-то какую-то почву и снять какие-то противоречия, в то время как теория категорий возникла сначала просто из удобной нотации: из того, что кто-то заметил, что коммутативные диаграммы рисовать - это гораздо нагляднее, чем писать $fg =hp$.

Это можно заметить и в том, на что категорщики и ТМщики обращают внимание: ТМщиков очень волнуют аксиомы и то, что там из них выводится, а что не выводится, категорщиков это не волнует абсолютно, они даже зачастую полных в формальном смысле определений не дают (в этом смысле все эти "обоснования" категорий через унивёрсумы Гротендика, классы NBG, разделение категорий на большие/малые - абсолютно антикатегорное предприятие), что их волнует - это сделать так, чтобы тривиальные вещи доказывались тривиально, чтобы было удобно рассказывать историю, чтобы какие-то огромные и контринтуитивные конструкции кодировались словами "да это же левый сопряженный функтор к F!" или "да это же эквивалентность категории X и категории Y", чтобы естественные определения можно было дать автоматически, почти над ними не думая, чтобы язык был удобным, а не верным (и конечно тут они выиграли в обеих пунктах, потому что удобство и определяет верность).

Я бы даже сказал более спекулятивно: единственная причина, по которой алгебраическая геометрия создала столь мощный аппарат, ушла столь далеко от своих корней и решила огромную кучу своих и чужих задач в том, что она не брезговала категориями. И одна из причин, почему у функционального анализа не получилось того же самого в том, что категориями он брезговал (в последнее время не брезгует и получается очень хорошо).

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1207175 писал(а):

на форуме аксиоматическая теория множеств в обсуждениях нередко фигурирует, и мне это странно

Я думаю, интерес к основаниям математики и, в частности, к аксиоматической теории множеств - не практический, а мировоззренческий. Вроде интереса к космологии, физике элементарных частиц и т.д. - не то чтобы они сильно нужны среднему инженеру-гидротехнику, просто "интересно, как мир устроен".

[Mikhail_K]

kp9r4d в сообщении #1207178 писал(а):

Я бы даже сказал более спекулятивно: единственная причина, по которой алгебраическая геометрия создала столь мощный аппарат, ушла столь далеко от своих корней и решила огромную кучу своих и чужих задач в том, что она не брезговала категориями. И одна из причин, почему у функционального анализа не получилось того же самого в том, что категориями он брезговал (в последнее время не брезгует и получается очень хорошо).

Я человек далёкий от категорий и алгебраической геометрии, но зато близкий функциональному анализу (безкатегорному).
И мне очень интересно узнать: что же именно, по-Вашему, не получилось у "безкатегорного" функционального анализа? Какие именно задачи позволяет решать функциональный анализ с категориями? Хотелось бы конкретных примеров. А то, краткий просмотр учебника Хелемского вызвал у меня неприятное впечатление, что категории туда прикручены для виду, а на самом деле не нужны.
И что уж точно мне непонятно - так это почему Вы считаете, что безкатегорный функциональный анализ не "решил огромную кучу своих и чужих задач". А как же огромные приложения функционального анализа в УЧП и в вычислительной математике? По-моему, едва ли не всё что есть прикладного, держится в каком-то смысле на функциональном анализе и вполне обходится без категорий. Буду рад услышать иную точку зрения.

[kp9r4d]

Mikhail_K

Начну отвечать с конца, про прикладные задачи. Прикладные задачи очень плохо вписываются в контекст математики именно что феноменологической и высокоуровневой (здесь я хотел бы, чтобы это слово читалось не с аристократической коннотацией, а исключительно с программистской: как разница между низкоуровневым и высокоуровневым кодом), потому что какого типа результаты важны для феноменологии математики: результаты по типу того, что две разные конструкции на самом деле одна и та же, только под разными углами зрения. Все эти вейвлеты, фреймы и теоремы о неподвижных точках - это очень хорошо и действительно этому можно найти приложения, и даже Абеля в этом году кому-то там за это дали, но это приложения именно на уровне конструкций, а не на уровне языка.

Вот ещё вспомнил один удачный пример. Скажем, в анализе есть техника рядов Тейлора, и вполне очевидно, что добрую долю приложений анализа в физике и инженерии составляет именно она, но в феноменологическом аспекте она абсолютно провалилась: не получается говорить инвариантно о рядах тейлора гладкой функции на произвольном гладком многообразии. Не получается построить вменяемую теорию джетов и всё тут (кстати, кажется Гротендик где-то в "Урожаях и посевах" писал, что построить теорию джетов - это должна быть одна из задач математики будущего).

Алгебраическая геометрия до категорий, кстати, тоже была на уровне конструкций, это то, что называется "алгебраической геометрией итальянской школы", поэтому ни о каких гипотезах Вейля или двойственности Серра речи тогда быть не могло, зато результаты вида "любая гладкая проективная кривая рода $2$ и степени $5$ в $\mathbb{P}^3$ лежит на единственной квадрике" получали пачками. Вот на таком же уровне сейчас и функциональный анализ, мне кажется.

Про Хелемского: да, они там действительно ни к месту, я говорил о другом. Вот, скажем, квантовый функциональный анализ показывает, что если, грубо, поле $\mathbb{C}$ заменить на $\mathbb{K}(\mathcal{H})$ (множество компактных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве), то категория банаховых пространств внезапно резко выпрямляется и приобретает массу хороших свойств, которых не было до этого. Или вот то, что делает Конн в своей некоммутативной геометрии.

Если что сам я функциональный анализ очень люблю, и занимался им весь прошлый год.

[Mikhail_K]

kp9r4d, про "феноменологию" я мало что понял, поэтому попытаюсь уточнить.
Пример с рядами Тейлора действительно очень удачный, в том плане, что я и подумать не мог, будто про ряды Тейлора можно сказать, что они в чём-то "провалились". Поясните, что за такой феноменологический аспект и почему он вообще важен, если эти ряды реально нужны. У меня первая реакция пока: не получается построить теорию рядов Тейлора на гладких многообразиях - печально конечно, но не катастрофа. Главное чтобы эти ряды были для обычных числовых функций.

Тем более что, многообразия, как ни крути, сами определяются в терминах $\mathbb{R}^n$. Я бы попытался понять такую эстетическую позицию, если кто-то хочет совсем отказаться от $\mathbb{R}$ и работать только с многообразиями. Но ведь не получится - само понятие многообразия невозможно без понятия об $\mathbb{R}$.

kp9r4d в сообщении #1207265 писал(а):

но это приложения именно на уровне конструкций, а не на уровне языка.

Чтобы это было понятно, приведите примеры "приложений на уровне языка".

kp9r4d в сообщении #1207265 писал(а):

Вот, скажем, квантовый функциональный анализ показывает, что если, грубо, поле $\mathbb{C}$ заменить на $\mathbb{K}(\mathcal{H})$ (множество компактных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве), то категория банаховых пространств внезапно резко выпрямляется и приобретает массу хороших свойств

Боюсь, что этот вопрос сформулирован так, что имеет смысл уже после введения языка категорий. Для каких задач, изначально сформулированных не на языке категорий, может быть применён функциональный анализ с категориями?
Мне, например, не составляет труда привести пример задач, для которых полезен функциональный анализ без категорий, но которые первоначально были сформулированы вообще не на языке функционального анализа. Хотелось бы что-то такое услышать и о функциональном анализе с категориями.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1207276 писал(а):

У меня первая реакция пока: не получается построить теорию рядов Тейлора на гладких многообразиях - печально конечно, но не катастрофа. Главное чтобы эти ряды были для обычных числовых функций.

Мне кажется, довольно-таки катастрофа. Приложениям эти многообразия сильно нужны, а не только обычные числовые функции. Кстати, а на римановых многообразиях они строятся? (псевдоримановы, симплектические, кэлеровы)

Mikhail_K в сообщении #1207276 писал(а):

Боюсь, что этот вопрос сформулирован так, что имеет смысл уже после введения языка категорий.

Вы так говорите, будто это что-то плохое. Я вижу в этом главный прорыв нового языка: он позволяет задать новые вопросы. Из естественных наук примеры можно приводить тоннами.

[Metford]

Munin в сообщении #1207283 писал(а):

Из естественных наук примеры можно приводить тоннами.

А можно в этом месте вернуться к чисто методическому аспекту? Мне - человеку, связанному в значительно большей мере с физикой - нужен пример того, как в терминах теории категорий формулируется нечто физическое. Причём чтобы при этом что-то стало лучше понятно, чем без такого подхода. Есть такой пример? Теория тяжёлая - одно дело браться за неё как за некую абстракцию, другое - как за что-то, имеющее вполне конкретное приложение.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1207283 писал(а):

Вы так говорите, будто это что-то плохое. Я вижу в этом главный прорыв нового языка: он позволяет задать новые вопросы. Из естественных наук примеры можно приводить тоннами.

Согласен я.
Но мне кажется, что новый язык должен служить не только для того, чтобы задавать новые вопросы.
Но и чтобы хотя бы чуть-чуть помогать отвечать на старые.
Тем более что kp9r4d обосновывает введение категорного языка не эстетическими соображениями, а именно соображениями удобства. И говорит, что этот язык помогает решать "кучу" чужих задач (т.е. первоначально сформулированных не на этом самом языке).
Вот я и хочу услышать конкретные примеры из "категорного" функционального анализа.

[arseniiv]

vpb в сообщении #1207175 писал(а):

и вообще у теории множеств и теории категорий есть много общего (в частности, и то и другое ужасно забивает юные мозги, если нет иммунитета)

Думаю, потому, что люди хотят оснований*, а что делать с этими основаниями, и почему они на самом деле нужны и не нужны, им никто не говорил (надо иметь удачу наткнуться на правильную книгу или человека). Кстати, ещё в этот список стоит включить матлогику саму по себе.

* А, вот уже выше Anton_Peplov раскрыл эту часть мысли.

[Munin]

Metford
Я не про категории говорил, а про другие примеры новых языков. Например, квантовый язык позволяет ставить такие вопросы, которые невозможно было себе представить на языке классическом, - и они в центре внимания всей физики на протяжении 100 лет.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1207290 писал(а):

Я не про категории говорил, а про другие примеры новых языков. Например, квантовый язык позволяет ставить такие вопросы, которые невозможно было себе представить на языке классическом, - и они в центре внимания всей физики на протяжении 100 лет.

Здесь как раз важно то, что этот язык ответил на ряд вопросов, первоначально сформулированных на классическом языке.
Вряд ли бы квантовый язык появился и был бы кому-то интересен, если бы он отвечал только на собственные вопросы.

[Metford]

Mikhail_K в сообщении #1207291 писал(а):

Вряд ли бы квантовый язык появился и был бы кому-то интересен, если бы он отвечал только на собственные вопросы.

Вот-вот. В случае с категориями, как я это себе представляю, происходит пересмотр чуть ли не самой структуры математики (да простят мне люди сведущие эту формулировку...). Я готов это оценить и восхититься - собственно, это уже есть. Теперь хотелось бы понять, а что физики из этого могут взять для себя. Наверняка об этом уже задумывались.

[kp9r4d]

Mikhail_K в сообщении #1207276 писал(а):

Пример с рядами Тейлора действительно очень удачный, в том плане, что я и подумать не мог, будто про ряды Тейлора можно сказать, что они в чём-то "провалились". Поясните, что за такой феноменологический аспект и почему он вообще важен, если эти ряды реально нужны. У меня первая реакция пока: не получается построить теорию рядов Тейлора на гладких многообразиях - печально конечно, но не катастрофа. Главное чтобы эти ряды были для обычных числовых функций.

Поясню: феноменологический аспект, это когда главное, чтобы они были для гладких многообразий, а ещё алгебраических и вообще формализовались бы в любом достаточно хорошем топосе.

Mikhail_K в сообщении #1207276 писал(а):

Тем более что, многообразия, как ни крути, сами определяются в терминах $\mathbb{R}^n$. Я бы попытался понять такую эстетическую позицию, если кто-то хочет совсем отказаться от $\mathbb{R}$ и работать только с многообразиями. Но ведь не получится - само понятие многообразия невозможно без понятия об $\mathbb{R}$.

Тут я с вами бы поспорил, я уверен, что покрутить можно так, чтобы не определялись. Почему бы не стартовать, в духе алгебраической геометрии, с некоторой коммутативной алгебры $A$ (считая её "будущей" алгеброй $C^\infty (X)$) но при этом наложить некоторые условия на её функториальные конструкции? Такие попытки уже есть, btw, смотрите "synthetic differential geometry", там стартуют вообще с произвольного гладкого топоса, но я вник не очень.

Mikhail_K в сообщении #1207276 писал(а):

Для каких задач, изначально сформулированных не на языке категорий, может быть применён функциональный анализ с категориями?

Я не спец. в квантовом функциональном анализе и категорным подходам к функану, но я попробую сформулировать несколько вопросов, на которые он пытается ответить.

1) Квантовая версия алгебры $L^\infty(X,\mu)$ (а значит и всей теории меры) - это теория $W^*$-алгебр. Квантовая версия непрерывных на хаусдорфовом компакте функций $C(X)$ (а значит и всей топологии) - это теория $C^*$-алгебр. Какова квантовая версия алгебры $C^\infty(X)$ где $X$ скажем, область в $\mathbb{R}^n$ (а значит и всей дифференциальной геометрии)?
2) Что такое гомотопия двух $C^*$-алгебр или скажем банаховых пространств? Каковы основные гомотопические инварианты?
3) Как определить "измеримые гильбертовы расслоения" на локализуемых пространствах с мерой?
4) В каком смысле можно говорить о теории гомологий банаховых алгебр?
5) Можно ли построить теорию кодействий квантовых групп на произвольной $C^*$-алгебре и что можно из неё извлечь?
6) Можно ли что-то ещё выжать из связи между теорией индекса оператора Фредгольма и теорией Атьи-Зингера?

и напоследок, я приведу вполне конкретную классическую задачу, которую удалось решить методами квантового функ. анализа: это "проблема Халмоша о подобии", отрицательное решение которой предъявил Пезье как раз используя квантовый функ. анализ.

[Munin]

Metford
На категории же лучше смотреть, как излагает kp9r4d, как на нечто "для удобства". Для меня пока наиболее полезным для физики является даже не теория категорий, а дифференциальная геометрия, дифформы: обобщения теоремы Стокса, разложения Гельмгольца, оператора Лапласа. (А впрочем, как бы я понял идею коцепи без категорной двойственности?) И не то чтобы они мне были часто нужны, за рамками обычных теорем Стокса и Гаусса, и не то чтобы я благодаря им мог решить любую задачу матфизики. Но они мне дают некий общий взгляд, и сразу понимание, какие вопросы в принципе можно решить, какие нерешаемы и бессмысленны, и можно идти дальше, в обход вещей, которые становятся уже вопросом техники. То есть, они меняют для меня ландшафт: там, где раньше были трудные горы, становятся равнины, дороги, и открытые перспективы.

То есть, мне кажется, вопрос неправильно поставлен. Модно вопрошать грозно: а какие результаты вы получили этим методом, и не смогли без него? А суть-то может быть не в новом результате, а вот в этом облегчении работы в той же самой своей знакомой области. Сравните с изобретением математической нотации и разных её улучшений: её роль огромна, но незаметна.

-- 07.04.2017 16:40:29 --

Mikhail_K в сообщении #1207291 писал(а):

Здесь как раз важно то, что этот язык ответил на ряд вопросов, первоначально сформулированных на классическом языке.

Не-а. НЕ ВАЖНО. Это заблуждение, распространяемое популяризаторами, излагающими возникновение квантовой физики "исторически", с "двух облачков на горизонте классической физики 19 века". Это всё абсолютная нелепость.

Ну как бы объяснить... Это примерно как сведение всей Америки к пути в Индию. Да, есть такой. Плывёте в Панаму, платите пошлину, проходите через канал... Однако США сегодня ведущая мировая держава, это поважнее будет.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1207302 писал(а):

Сравните с изобретением математической нотации и разных её улучшений: её роль огромна, но незаметна.

Здесь мой любимый пример - изобретение вектора (на изобретение самой символьной алгебры уж замахиваться не будем). Не то чтобы векторы позволяли решить какие-то задачи, которые без них совсем-совсем невозможно было бы решить. Но.