О возникновении разных мат. теорий и прочее

[_hum_]

epros в сообщении #908619 писал(а):

Воинственное невежество называется диалектикой? Мне нравится такое определение. По-моему, оно вполне адекватно.

под "это", насколько я могу судить, понималась ситуация (диалектическое противоречие и/или отрицание отрицания), а не воинствующее невежество :)

[Nemiroff]

Как-то вот это

Oleg Zubelevich в сообщении #908282 писал(а):

так это и есть теория меры, просто термины другие и интерпретации

на вот это

_hum_ в сообщении #908597 писал(а):

Oleg Zubelevich заявил, что теория вероятностей не теория, поскольку она полностью выражается в рамках теории теории меры.

не похоже.

[_hum_]

Nemiroff в сообщении #908621 писал(а):

Как-то вот это

Oleg Zubelevich в сообщении #908282 писал(а):

так это и есть теория меры, просто термины другие и интерпретации

на вот это

_hum_ в сообщении #908597 писал(а):

Oleg Zubelevich заявил, что теория вероятностей не теория, поскольку она полностью выражается в рамках теории теории меры.

не похоже.

Будем придираться к словам? Суть-то такая - он не признал теорию вероятностей отдельной теорией.

[epros]

_hum_ в сообщении #908153 писал(а):

...пришла в голову из реальности.

Что бы значил сей философический оборот?

_hum_ в сообщении #908153 писал(а):

И что пространство трехмерно не потому, что "эта математическая теория хорошо согласуется с опытом", а потому что эта математическая теория была создана на основе опыта :)

И в чём суть противопоставления одного и другого?

[Otta]

_hum_ в сообщении #908612 писал(а):

Или вы решили начать троллить?

Сравнивайте:

_hum_ в сообщении #908612 писал(а):

Распределение вероятностей (на прямой) - это мера, заданная на борелевской алгебре событий прямой. В данном случае в качестве такой меры выступает нормированная (на отрезке $[0,10]$) мера Лебега $\lambda = \lambda(\cdot)$. Что не так?

_hum_ в сообщении #908588 писал(а):

КОглда говоря, задано равномерное распределение на отрезке имеют в виду, что задано на измеримом пространстве, образованном отрезком и борелевской алгеброй событий на нем.

-- 17.09.2014, 00:42 --

Сравнили? Судите сами.

А вот теперь ответьте, пожалуйста, на тот вопрос, который был:

Otta в сообщении #908527 писал(а):

Что такое $P(A|B)$? Например, если $\Omega =[0,4], A=[0, 2], B=[1,4]$. Чего не хватает, доопределите сами.

Вероятность можно и такую, какую Вы хотели.

Да, я зануда, я знаю.

[_hum_]

Otta, вы меня извините, но либо прямо говорите - неправ здесь и здесь, потому что ..., либо прекращайте, ибо ваше "догадайся сам", меня ставят в тупик и злят, а мне не хотелось бы начать вам грубить. Ок?

[Otta]

_hum_

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #908628 писал(а):

Otta, вы меня извините, но либо прямо говорите - неправ здесь и здесь,

Казалось бы, куда прямей. Я Вам привожу два фрагмента Вашего текста, один бессмысленный абсолютно, а второй осмысленный. Что они отличаются, видно невооруженным глазом. Вы оба выдали за равномерное распределение вероятности, причем после того, когда Вам сказали, - про первый - что это не так, были очень возмущены и даже попытались обвинять в троллинге, приведя при этом совершенно другое второе определение. Теперь Вы собираетесь начать грубить. Ну начинайте. Ок? Только некрасиво судить о вещах тонких, не зная в совершенстве простых.

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Otta в сообщении #908631 писал(а):

Что они отличаются, видно невооруженным глазом. Вы оба выдали за равномерное распределение вероятности

Otta, вы бы внимательнее следили за дискуссией, особенно когда начинаете кого-то обвинять.

Я отвечал на разные вопросы. Один был ответом на вопрос о том, на каком измеримом пространстве задано равномерное распределение, ибо вы изволили съехидничать, упрекнув, что я не определил это пространство, а сразу начал говорить про равномерное распределение:

Otta в сообщении #908587 писал(а):

Нету распределений! Не можно вводить никакие распределения, пока нет вероятностного пространства!

Другой же - что такое вообще равномерное распределение, на опять ваше взятое с потолка заявление, что я не знаю, что это такое:

Otta в сообщении #908608 писал(а):

Нет, я в курсе, что такое равномерное распределение. А Вы нет.

[Otta]

_hum_
Вы знаете, я слежу за дискуссией даже внимательней, чем Вы думаете.
Разрешите уточняющий вопрос: для Вас понятие распределения и случайной величины синонимы? или Вы их различаете?

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Ну, раз вы не признаете свои ошибки, то мне не о чем больше с вами говорить. Тем более ничего полезного от беседы с вами вынести не удалось - лишь раздражение от примитивных вопросов и позиции - "мне не понятно, значит, ты дурак". Всего доброго.

[Someone]

_hum_ в сообщении #908481 писал(а):

Someone, не знаю как точно выразиться. Смотрите, в варианте Oleg Zubelevich условная вероятность - это просто сокращенное обозначение для соответствующего отношения. То есть, из его теории вероятностей ее вообще можно выбросить, заменив всюду, где она встречается, просто на отношение вероятностей. (Это вроде называется консервативное расширение теории.)
А в теории вероятностей условная вероятность играет отдельную самостоятельную роль. И не выбрасывают ее именно потому, что в предметной области (по крайней мере в классической интерпретации) вероятность и условная вероятность - это два самостоятельных объекта (наш разум способен их определять по-отдельности. Что прекрасно видно на примере решения задачи).

На примере решения задачи ничего такого не видно. Наоборот, тот факт, что условная вероятность выражается через "безусловную", означает, что условная вероятность не является самостоятельным понятием. С другой стороны, "безусловная" вероятность на самом деле ничем не отличается от условной, поскольку $P(B)=P_{\Omega}(B)$. Поэтому понятие на самом деле одно, а то, что термин "условная вероятность" существует, связано просто с удобством употребления его при решении задач — в тех случаях, когда условные вероятности могут быть найдены из соображений, не использующих полное вероятностное пространство, либо просто заданы.

_hum_ в сообщении #908410 писал(а):

Из корзины, в которой два черных и один белый шар, последовательно вытягивают два. Какова вероятность, что первый будет черный, а второй белый?

Обычо ее решают так:

пусть $A$ - событие "первый вытянутый шар черный", $B$ - событие "второй вытянутый шар белый". Тогда, пользуясь классическим определением вероятности и тем, что вытаскивание первого шара физически никак не влияет на то, что происходит при вытаскивании второго, можем заключить, что $P(A) = 2/3$ (вытянуть черный из двух черных и одного белого), $P_A(B) = 1/2$ (вытянуть белый из оставшихся после наступления события $B$ одного черного и одного белого). Откуда по теореме умножения вероятностей вероятноcть искомого события $P(AB) = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3$.

Во-первых, на этом примере не видно никакого различия между "безусловной" и условной вероятностью: обе вычисляются с помощью так называемого "классического определения вероятности": вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов (при условии, что все исходы равновозможны).
Во-вторых, вероятностное пространство здесь не построено, поэтому лежащие за этими вычислениями и рассуждениями обстоятельства скрыты в тени.

Множество элементарных исходов здесь состоит из $6$ элементов: $\Omega=\{(\text{Ч}_1,\text{Ч}_2),(\text{Ч}_1,\text{Б}),(\text{Ч}_2,\text{Ч}_1),(\text{Ч}_2,\text{Б}),(\text{Б},\text{Ч}_1),(\text{Б},\text{Ч}_2)\}$.
Сигма-алгебра событий $\mathcal F$ состоит из $2^{\lvert\Omega\rvert}=64$ подмножеств множества $\Omega$.
Вероятность определяется классическим определением вероятности: $P(A)=\frac{\lvert A\rvert}{\lvert\Omega\rvert}$.
События: $A=\{(\text{Ч}_1,\text{Ч}_2),(\text{Ч}_1,\text{Б}),(\text{Ч}_2,\text{Ч}_1),(\text{Ч}_2,\text{Б})\}$ и $B=\{(\text{Ч}_1,\text{Б}),(\text{Ч}_2,\text{Б})\}$.
Так как в данном случае $B\subseteq A$, то $AB=B=\{(\text{Ч}_1,\text{Б}),(\text{Ч}_2,\text{Б})\}$.
Вероятности: $P(A)=\frac{\lvert A\rvert}{\lvert\Omega\rvert}=\frac 46=\frac 23$, $P(AB)=\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert\Omega\rvert}=\frac 26=\frac 13$, $P_A(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1/3}{2/3}=\frac 12$, откуда, естественно, получаем $P(AB)=P(A)P_A(B)=\frac 23\cdot\frac 12=\frac 13$.

Собственно, и "безусловная", и условная вероятности определяются одинаково: это есть отношение меры множества благоприятных исходов к мере множества всех возможных исходов.
В случае "безусловной" вероятности мера множества всех исходов равна $1$ и потому скрывается в тени (но в классическом определении в качестве "меры" служит число элементов, и там всё видно).
Для условной вероятности $P_A(B)$ множество возможных исходов — это $A$ с мерой $P(A)$, а множество благоприятных исходов — $AB$ с мерой $P(AB)$. Вот и получаем $P_A(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$.

arseniiv в сообщении #908514 писал(а):

Кстати, теория вероятностей действительно не совпадает с теорией меры, потому что теория вероятностей у́же — она рассматривает не любые, а сигма-аддитивные конечные меры.

И ещё нужно учитывать, что у этих теорий разные области "интересов": то, что интересно в теории вероятностей, может быть не интересным в теории меры, и наоборот.

_hum_ в сообщении #908534 писал(а):

Otta, не так. Если есть вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ и выделенное событие $A$, то условная вероятность - это какая-то отдельная самостоятельная вероятностная мера $P_A$ (на совсем другом) пространстве $(\Omega_A, \mathcal{F}_A)$, где $\Omega_A =\Omega\cap A $, $ \mathcal{F}_A = \mathcal{F}\cap A = \{B_A = B\cap A | B\in \mathcal{F} \}$ . И считается, что они состоят в связи $P(AB) = P(B) P_A(B_A)$

Нет. Условная вероятность — это функция $P_A(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$, относящаяся к вероятностному пространству $(\Omega,\mathcal F,P_A)$.
Кстати, Вы не находите, что последняя формула в процитированном отрывке какая-то странная? И потом эта формула несколько раз цитируется, и никто этой странности не замечает…

_hum_ в сообщении #908651 писал(а):

Ну, раз вы не признаете свои ошибки, то мне не о чем больше с вами говорить. Тем более ничего полезного от беседы с вами вынести не удалось - лишь раздражение от примитивных вопросов и позиции - "мне не понятно, значит, ты дурак". Всего доброго.

Что, настолько сильно не понравился вопрос?

Otta в сообщении #908527 писал(а):

_hum_
Что такое $P(A|B)$? Например, если $\Omega =[0,4], A=[0, 2], B=[1,4]$. Чего не хватает, доопределите сами.

Вы ведь утверждаете, что условная вероятность — это самостоятельное понятие, независимое от "безусловной". Вот Вас и попросили на этом примере определить условную вероятность, не прибегая к "безусловной" вероятности. И что Вы сделали?

_hum_ в сообщении #908585 писал(а):

Oleg Zubelevich, у меня нет проблем с тем, чтобы сделать это так, как вы ожидаете. Например, для равномерного распределения на $[0,10]$, то есть, $\lambda(\cdot)/10$:

$$P(A|B) = \lambda([1,2])/\lambda([1,4]) = 1/3. $$

Правильно. Протащили равномерное распределение на отрезке и написали определение условной вероятности через "безусловную". Стало быть, у вас в отношении условной вероятности нет ничего внятного, кроме обычного определения $P_A(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$.
Так где независимое определение "самостоятельного" понятия?

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #908618 писал(а):

Очень скомкано. Как строится $\sim_T$? И как может быть так, чтобы из $\sim_T$ не вытекало $\sim_M$? И какой, по-вашему, вывод из всего этого? Что по отношению $\sim_T$ теория вероятностей эквивалентна подразделу теории меры, а по $\sim_M$ нет?

Я передумал насчёт построения и вообще нужности раздумий о возможности построения этих эквивалентностей. Лучше не предлагать ничего на выбор (всё равно не угадаешь), а чтобы вы сами и построили определение «одинаковости» теорий сразу на свой вкус — когда угодно. И тогда уже можно будет посмотреть, насколько оно полезно, а так-то всё равно безразлично…

[_hum_]

Someone в сообщении #908663 писал(а):

На примере решения задачи ничего такого не видно. Наоборот, тот факт, что условная вероятность выражается через "безусловную", означает, что условная вероятность не является самостоятельным понятием.

Ну, как же не самостоятельным, если я вам в задаче даю сразу две цифры - причем абсолютно независимые друг от друга, в том смысле, что одна определяется независимо от того, как определялась другая. Наиболее отчетливо это видно на уже приводимом мною примере:

_hum_ в сообщении #908534 писал(а):

пусть $\xi$ -случайная величина, равномерно распределенная на $[0,1]$. Если $\xi = x$, то подбрасывается монета, у которой вероятность появления герба равна $x$, а решетки - $(1-x)$. Пусть $\nu$ - число появлений герба при $n$ независимых подбрасываниях такой монеты. Спрашивается, чему равна условная вероятность $P(\nu = k | \xi = x)$?

Здесь из априорных соображений сразу ясно, какой должна быть условная вероятность ($P(\nu = k | \xi = x) = C_n^k x^k (1-x)^{(n-k)}$), безо всяких ссылок на безусловную!

Кстати, как вы думаете, $P(\nu = k | \xi = x) $ изменится, если, например, в этом опыте $\xi$ вместо равномерного распределения станет иметь другое? :) Вас все еще это не наводит на мысль, что условная вероятность - вполне самостоятельное понятие?

Someone в сообщении #908663 писал(а):

Во-первых, на этом примере не видно никакого различия между "безусловной" и условной вероятностью: обе вычисляются с помощью так называемого "классического определения вероятности": вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов (при условии, что все исходы равновозможны).

Конечно, потому что пример примитивный. В нем очевидно, что элементарные события (с учетом полного различения шаров) равновозможны, а потому можно даже вообще без условной вероятности обойтись. Что, собственно, вы и демонстрируете. А вот было бы что-нибудь наподобие "если вытянут первым белый, то возвращаем назад, а если черный, то нет", то было бы не так уже очевидно, как эту формулу классической вероятности применять без того, чтобы задействовать условную вероятность. И опять же, взгляните на двухэтапный эксперимент с монеткой в задаче выше и попробуйте к ней применить свои рассуждения об отсутствии разницы между условной и безусловной вероятностями.

Someone в сообщении #908663 писал(а):

Во-вторых, вероятностное пространство здесь не построено, поэтому лежащие за этими вычислениями и рассуждениями обстоятельства скрыты в тени.

(Я его построил. Просто не такое, как у вас (не различал все шары). Но это не значит, что оно неправильное :)).

В общем, зачем повторять заново одно и то же. Суть в том, что имеет место быть ситуация, когда одну и ту же теорию (теорию вероятностей) можно сформулировать в двух вариантах:

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

вариант 1 - ввести первично-неопределяемое понятие $a$, ввести первично-неопределяемое понятие $b$, и связать их аксиомой $P(a,b)$,
вариант 2 - ввести первично-неопределяемое понятие $a$, ввести производное понятие $b$ $::=$ объект, для которого выполняется $P(a,b)$

Вариант 2 - это классический колмогоровский подход. Вариант 1 - это подход, которого придерживаются те, кому приходится работать с "априорными вероятностями" (тот же Bruno_de_Finetti). Но чисто формально они, действительно, равносильны.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #908663 писал(а):

Нет. Условная вероятность — это функция $P_A(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$, относящаяся к вероятностному пространству $(\Omega,\mathcal F,P_A)$.

Ну, это кому как. Поскольку для любого $B\in \mathcal{ F}$ верно $P_A(B) = P_A(B_A)$, где $B_A = B\cap A$, то можно считать (как многие и делают) и что $P_A$ - мера на $(\Omega,\mathcal F)$ и что $P_A$ - мера на более узком $(\Omega_A, \mathcal{ F}_A)$. Второй подход, как по мне, красивее тем, что отражает суть условной вероятности - на практике мы точно так же в голове строим новый более простой экперимент и более простую вероятностную модель (в задаче с шариками - это эксперимент, по вытягиванию одного шарика из двух на втором этапе).

Someone в сообщении #908663 писал(а):

Кстати, Вы не находите, что последняя формула в процитированном отрывке какая-то странная?

Вы насчет описки $P(B)$ вместо $P(A)$?

Насчет равномерного и иже с ним, надеюсь, я на все уже ответил и н ебудем к этому возвращаться.

И почему все игнорируют главный вопрос, с чего все и началось:

Так существует теория вероятностей как отдельная теория, или это только подраздел теории меры? И если второе, тогда почему нельзя то же самое сказать про теорию меры - что она просто подраздел функционального анализа?

[Nemiroff]

_hum_ в сообщении #908670 писал(а):

Так существует теория вероятностей как отдельная теория, или это только подраздел теории меры?

Без "или". Теория вероятностей — это теория вероятностей. Она вполне себе формулируется на языке теории меры и интерпретируется в её терминах.

[_hum_]

Nemiroff в сообщении #908671 писал(а):

Без "или". Теория вероятностей — это теория вероятностей. Она вполне себе формулируется на языке теории меры и интерпретируется в её терминах.

Нет, принципиально было в контексте дискуссии, является ли она новой (возникшей в 20 веке) математической теорией, или это просто "те же яйца, только вид сбоку".