О возникновении разных мат. теорий и прочее

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #908481 писал(а):

То есть, из его теории вероятностей ее вообще можно выбросить, заменив всюду, где она встречается, просто на отношение вероятностей. (Это вроде называется консервативное расширение теории.)

Это не его теория вероятностей, это самая обычная теория вероятностей с полвека уж точно. Да, консервативное расширение — ну так и матанализ, например, вполне себе консервативное расширение теории множеств (если начинать с неё, а это ведь обычно естественно, потому что там сплошь и рядом всякие области и функции).

Кстати, вероятность — это условная веростность по отношению к достоверному событию, так что можно даже и первую определять через вторую.

_hum_ в сообщении #908481 писал(а):

В общем, я не слишком большой знаток теории формальных систем, потому мне сложно строго объяснить, почему нельзя две теории считать одинаковыми, даже если одну можно выразить средствами другой

Теории с разными наборами аксиом разные просто по определению. Но за это отличие не стоит так яростно цепляться. Вам сложно объяснить, почему нельзя, потому что оснований у этого запрета нет.

_hum_ в сообщении #908481 писал(а):

(То есть, даже сам Колмогоров считал, что теория вероятностей не совпадает с теорией меры!)

Вы, скорее всего, поняли слова не так. Сами же заметили, что условная вероятность и, следовательно, и независимость выразимы в терминах теории меры. Он мог иметь в виду, что для мер вообще независимость не так интересна (не знаю, это предположение), как для тех, которые используются для расчёта вероятностей, т. е. это не математическая разница, а разница в типичном употреблении.

Кстати, теория вероятностей действительно не совпадает с теорией меры, потому что теория вероятностей у́же — она рассматривает не любые, а сигма-аддитивные конечные меры.

[Otta]

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

Otta, я же вам привел выше циату из Вики.

И что, от этой цитаты изменилось определение условной вероятности? Моя ремарка касалась только этого.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #908514 писал(а):

ну так и матанализ, например, вполне себе консервативное расширение теории множеств

Ух-ты. Если это правда, тогда нет никаких теорий кроме теории множеств и логики :) А значит, при чисто формальном подходе к определению понятия математическая теория "с водой выплескивается ребенок".
И еще, если вы говорите, что каждая аксиома меняет теорию, так я могу из одной теории понаклепать кучу, просто теоремы в одной полагая аксиомами в другой.

Мне вот интуитивно кажется, что все-таки нельзя считать одинаковые теории в

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

вариант 1 - ввести первично-неопределяемое понятие $a$, ввести первично-неопределяемое понятие $b$, и связать их аксиомой $P(a,b)$,
вариант 2 - ввести первично-неопределяемое понятие $a$, ввести производное понятие $b$ $::=$ объект, для которого выполняется $P(a,b)$

потому что при первом случае интерпретация прямая - объектам предметной области однозначно сопоставляются первично-неопределяемые объекты формальной, а при втором варианте получается, что часть объектов сопоставляется с первично-неопределяемыми, а часть с формулами теории.

То есть, если запретить сопоставление при интерпретации объектов предметной области всему, что не совпадает с первично-неопределяемыми понятиями, то все будет ОК - получатся разные теории :)
Что вы думаете по этому поводу?

-- Вт сен 16, 2014 19:27:54 --

Otta в сообщении #908517 писал(а):

И что, от этой цитаты изменилось определение условной вероятности? Моя ремарка касалась только этого.

А то, что есть разные подходы - в одном условная вероятность вводится, как вы привыкли, а в другом - как первично-неопределяемое понятие, которое связано через аксиому умножения.

И в задачах наподобие шаров вы неявно используете второй подход, потому как первый вам позволяет только считать условную по полученной совместной, ноне наоборот (наоборот получается уже пользование теоремой, которая связывает условную и обычную).

[Otta]

_hum_ в сообщении #908520 писал(а):

а в другом - как первично-неопределяемое понятие, которое связано через аксиому умножения.

Дайте, пожалуйста, определение этого первично-неопределяемого )) понятия.

Я, кстати, много как привыкла.

[_hum_]

Otta, не понял вашей ремарки.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

И еще, вы не ответили - верно ли, что тот же мат. анализ может быть выражен средствами теории множеств и логики? И если да, почему бы его тоже не считать просто теорией множеств?

Потому что, хоть и консервативное, но расширение. Теория другая. И почему бы не назвать её тогда. (И, кстати, ничто не мешает называть разными именами даже одно и то же.)

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

но с интуитивной точки зрения, они не совсем равносильны (о чем вам опять же говорит и Википедия, и Скороход с Колмогоровым).

Да не о том они говорят. К тому же, интуиция у каждого своя.

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

Грубого говоря, выразимость одной теории в другой не отражает интуитивного представления об одинаковости теорий. Может, есть тут знатоки, которые помогут формализовать тот момент, что же именно нужно требовать от соотношения теорий, чтобы их одинаковость в математическом смысле отражала интуитивное представление об одинаковости.

Не надо интуитивных представлений, пожалуйста. Есть равенство теорий как конструкций из языка, формул, аксиом и правил вывода. Есть (синтаксическое) консервативное расширение, из которого можно вытянуть нужное отношение эквивалентности $\sim_T$ на теориях. С другой стороны, у теории есть модели, и основанные уже на моделях понятия, и можно отношение эквивалентности $\sim_M$ построить другое, притом $T_1\mathrel{\sim_M}T_2\Rightarrow T_1\mathrel{\sim_T}T_2$, но не обязательно в обратную сторону. (Надеюсь, не ошибаюсь, и кто-нибудь поправит, если что.)

Заметка: _hum_, ваше «из теории множеств и логики» избыточно. Теория множеств уже содержит логику (обычно классическую первого порядка).

_hum_ в сообщении #908520 писал(а):

Ух-ты. Если это правда, тогда нет никаких теорий кроме теории множеств и логики

Снова неверный вывод.

_hum_ в сообщении #908520 писал(а):

И еще, если вы говорите, что каждая аксиома меняет теорию, так я могу из одной теории понаклепать кучу, просто теоремы в одной полагая аксиомами в другой.

Так просто у вас не получится, потому что не из всякой теоремы теории выводится хоть одна её аксиома.

_hum_ в сообщении #908520 писал(а):

потому что при первом случае интерпретация прямая - объектам предметной области однозначно сопоставляются первично-неопределяемые объекты формальной, а при втором варианте получается, что часть объектов сопоставляется с первично-неопределяемыми, а часть с формулами теории.

Вам придётся разобраться с тем, что понимается под интерпретацией теории. В теории, во-первых, нет никаких объектов. Термы в формулах есть, а объектов всё равно нет.

_hum_ в сообщении #908520 писал(а):

Что вы думаете по этому поводу?

Что Munin прав насчёт того, что вам надо сильнее стараться при формулировке сообщений.

[Otta]

_hum_
Что такое $P(A|B)$? Например, если $\Omega =[0,4], A=[0, 2], B=[1,4]$. Чего не хватает, доопределите сами.

[_hum_]

Otta, не так. Если есть вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ и выделенное событие $A$, то условная вероятность - это какая-то отдельная самостоятельная вероятностная мера $P_A$ (на совсем другом) пространстве $(\Omega_A, \mathcal{F}_A)$, где $\Omega_A =\Omega\cap A $, $ \mathcal{F}_A = \mathcal{F}\cap A = \{B_A = B\cap A | B\in \mathcal{F} \}$ . И считается, что они состоят в связи $P(AB) = P(B) P_A(B_A)$

В таком варианте даже задачи наподобие:
пусть $\xi$ -случайная величина, равномерно распределенная на $[0,1]$. Если $\xi = x$, то подбрасывается монета, у которой вероятность появления герба равна $x$, а решетки - $(1-x)$. Пусть $\nu$ - число появлений герба при $n$ независимых подбрасываниях такой монеты. Спрашивается, чему равна условная вероятность $P(\nu = k | \xi = x)$?
выглядят "легко решаемыми". Надо просто взять прямую интерпретацию для условной вероятности: $P(\nu = k | \xi = x) = C_n^k x^k (1-x)^{(n-k)}$, не привязываясь к основной вероятности.

[Otta]

_hum_ в сообщении #908534 писал(а):

И считается, что они состоят в связи $P(AB) = P(B) P_A(B_A)$

То есть это именно эта мера?

[_hum_]

Otta в сообщении #908536 писал(а):

То есть это именно эта мера?

Если речь о $P_A$, то да.

[Otta]

_hum_
Не надо мне задач наподобие, Вы не ответили на post908527.html#p908527

Давайте говорить конкретно.

-- 16.09.2014, 22:14 --

_hum_ в сообщении #908540 писал(а):

Если речь о $P_A$, то да.

Отлично. То есть во-первых, выясняется, что определение существует, то есть понятие не "первично-неопределяемое"

_hum_ в сообщении #908534 писал(а):

Если есть вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ и выделенное событие $A$, то условная вероятность - это какая-то отдельная самостоятельная вероятностная мера $P_A$ (на совсем другом) пространстве $(\Omega_A, \mathcal{F}_A)$, где $\Omega_A =\Omega\cap A $, $ \mathcal{F}_A = \mathcal{F}\cap A = \{B_A = B\cap A | B\in \mathcal{F} \}$ . И считается, что они состоят в связи $P(AB) = P(B) P_A(B_A)$

Во-вторых, совпадает с данным всеми остальными ранее, более того, даже соблюдены все необходимые строгости и формальности.

[_hum_]

Otta в сообщении #908542 писал(а):

_hum_
Не надо мне задач наподобие, Вы не ответили на post908527.html#p908527

Давайте говорить конкретно.

Ответил в post908540.html#p908540

А задача для того, чтобы лучше объяснить, о чем я говорю. Вот как бы вы к ее решению подходили бы при вашем подходе?

[Otta]

_hum_ в сообщении #908544 писал(а):

Ответил в post908540.html#p908540

Там Вы отвечали на другой пост. Ответьте на тот, что я прошу.

Otta в сообщении #908527 писал(а):

Что такое $P(A|B)$? Например, если $\Omega =[0,4], A=[0, 2], B=[1,4]$. Чего не хватает, доопределите сами.

[_hum_]

Otta в сообщении #908546 писал(а):

_hum_ в сообщении #908544 писал(а):

Ответил в post908540.html#p908540

Там Вы отвечали на другой пост. Ответьте на тот, что я прошу.

Otta в сообщении #908527 писал(а):

Что такое $P(A|B)$? Например, если $\Omega =[0,4], A=[0, 2], B=[1,4]$. Чего не хватает, доопределите сами.

Ответ - это $P(A|B)$.

Ваш вопрос из той же оперы, что и

"Что такое $P(A)$? Например, если $\Omega =[0,4], A=[0, 2], B=[1,4]$?"

[Oleg Zubelevich]

_hum_ в сообщении #908534 писал(а):

Если есть вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ и выделенное событие $A$, то условная вероятность - это какая-то отдельная самостоятельная вероятностная мера $P_A$ (на совсем другом) пространстве $(\Omega_A, \mathcal{F}_A)$, где $\Omega_A =\Omega\cap A $, $ \mathcal{F}_A = \mathcal{F}\cap A = \{B_A = B\cap A | B\in \mathcal{F} \}$ . И считается, что они состоят в связи $P(AB) = P(B) P_A(B_A)$

это уже как-то немного смешно начинает становиться, вот это особенно: "на совсем другом". Сузили меру с сигма-алгебры на сигма-подалгебру и вот уж прямо так "на совсем другом". Ну вот очень Вам хочется поспорить и наплевать о чем