О возникновении разных мат. теорий и прочее

[Oleg Zubelevich]

_hum_ в сообщении #908178 писал(а):

Тогда будем считать, что наука математика, о которой спорим, появилась только в 19 веке, когда уже определись точно с аксиоматическим методом и формализацией теории. Так?

а я ничего такого не утверждал. а насчет спора, то тут по-моему исчерпывающий ответ уже прозвучал:

arseniiv в сообщении #908163 писал(а):

Одно другому не мешает. И потому, и поэтому — обе импликации верны. К тому же, соответствие опыту легче определить объективно, чем «появление на основе», и определение первого не требует знания истории в, возможно, уже не восстанавливаемых подробностях.

В общем, вы верите в абсолютность там, где её нет, так потом не удивляйтесь, что люди не всегда вас понимают.

мне добавить нечего

[_hum_]

Oleg Zubelevich. ОК. Не буду Вас и arseniiv переубеждать. В принципе, я писал для Xaositect.

[Munin]

_hum_ в сообщении #908153 писал(а):

Так вот первоосновы математики - такие как теория множеств, геометрия, математическая логика, теория чисел - это первый уровень схваченных человеческим умом базовых объектов и отношений.

Ваша ошибка в том, что далеко не первый. Первый - это простые бытовые понятия: стул, кирпич, стакан, вода, солнце, небо, лампочка. А теория множеств, матлогика, теория чисел, геометрия во всём своём разнообразии - это уже очень высокие уровни абстракции.

Oleg Zubelevich в сообщении #908171 писал(а):

плохо согласуется с историей математики.

И с диаматом, кстати. Типичная история: псевдо-философ думает, что можно написать "исходим из диамата", а дальше - произвольный набор букв.

_hum_ в сообщении #908153 писал(а):

Я вел речь только про то, что евклидова геометрия (как теория) возникла не на уровне 2), а пришла в голову из реальности.

Ну, это ещё туда-сюда. Но остальные геометрии (тысячи их!) - уже совсем не из реальности.

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #908153 писал(а):

Чтобы не было недопонимания, давайте я еще раз изложу свое текущее представление (хотя оно большей частью интуитивное, потому как никогда глубоко этой проблемой не занимался)

Ну тогда я, пожалуй, тоже изложу свою точку зрения.

В истории математики в некоторый момент произошел переход от того, что математика изучает некоторую идеализацию реального мира к тому, что математика изучает формальные модели, не обязательно непосредственно инерпретируемые в реальности. Мыслить об этих моделях можно по разному - как о некотором идеальном мире/мирах (платонизм), как о мысленных конструкциях математика, которые можно передавать с помощью языка (интуиционизм), как о формальных манипуляциях, смысл которым придается отдельно от самих манипуляций (формализм). Если пытаться очертить временной период, то начинается этот переход с признания комплексных чисел, создания неевклидовых геометрий и многомерных алгебр, и заканчивается кризисом оснований конца 19 - начала 20 века.

Математика до переходного периода занимается несколькими теориями, которые действительно появились на основе опыта и изучают некоторые идеальные объекты, отношения между которыми похожи на реальные. В рассуждениях без явного указания используются очевидные факты, основанные на представлениях о реальном мире - Евклид не доказывает, например, что две окружности в построении равностороннего треугольника на данном отрезке действительно пересекутся, а Ньютон не обсуждает существование площадей фигур.

Математика в переходный период характеризуется осознанием того, что если существуют несколько похожих "идеальных миров", нужно обязательно фиксировать все неявные предположения, которые мы приносим из мира реального, и если их немного менять, то можно получать что-то новое и интересное. В процессе этого старые теории постепенно заменяются на более формализованные, в которых нельзя уже просто в процессе доказательства, нигде не упоминая, использовать некое утверждение, которое кажется очевидным - все очевидные утверждения надо выписывать и они не незыблемы, их можно менять. Процесс этот доходит до самых основ и появляется необходимость зафиксировать те законы, по которым мы вообще получаем из одних утверждений другие, и самые базовым понятия мышления - появляется математическая логика и теория множеств. Старые теории, сохранив те же названия, "перековываются" под эти новые основания и отделяются от своей интерпретации в реальном мире.

Современная математика основана на этих формальных переосмыслениях теорий и начинает изучать собственно сами теории или, что то же самое, различные структуры, которые получаются фиксацией аксиом. Отправными точками являются математическая логика и построенные в процессе кризиса оснований формальная арифметика, гильбертовы основания геометрии, теория множеств, формальная конструкция действительных чисел, а также те теории, которые начали процесс отделения и которые удаляют или заменяют в некоторые законы - современная геометрия и современная алгебра.

Я утверждаю, что в современный период математические теории появлялись как формальные теории.

_hum_ в сообщении #908153 писал(а):

3) фиксировать в реальности какие-то новые объекты и отношения (пример - формирование понятия алгоритма и создание конструктивной математики).

Понятие алгоритма возникло как не менее 3 независимых формальных теорий, которые, как потом было доказано, эквивалентны.
Чёрч получил $\lambda$-исчисление как остаток одной из своих теорий множеств после того, как он убрал оттуда логические операторы, приводящие к парадоксам типа расселовского. Он заметил, что в этом остатке можно формализовать натуральные числа и предложил функции, определяемые в этой теории, считать некоторым определением понятию "конструкция".
Понятие рекурсивной функции возникло как расширение понятия примитивно-рекурсивной функции, введенного Гёделем при доказательстве его теоремы о неполноте и основано на изучении предложенных Эрбраном систем равенств, по сути определение Эрбрана и Гёделя очень похоже на определение формальной системы в логике. Причем пришли Эрбран с Гёделем как раз проверкой того, сходится ли модель с опытом - после появления понятия примитивно рекурсивной функции Аккерман предложил пример "рекурсии, которая не является примитивной", то есть не примитивно рекурсивной функции, которую все согласились считать вычислимой.
И только Тьюринг строит свое определение как модель человека, который занимается некоторым рутинным вычислением, но при этом явно говорит, что все аргументы в пользу того, что именно это определение нужно считать определением вычислимости являются нематематическими.

[_hum_]

Xaositect в сообщении #908234 писал(а):

Математика в переходный период характеризуется осознанием того, что если существуют несколько похожих "идеальных миров", нужно обязательно фиксировать все неявные предположения, которые мы приносим из мира реального, и если их немного менять, то можно получать что-то новое и интересное.

А Вы не задавались вопросом, почему можно ожидать получить что-то новое и интересное? :)

Xaositect в сообщении #908234 писал(а):

Я утверждаю, что в современный период математические теории появлялись как формальные теории.

Немного непонятно, как все-таки понимать это утверждение, как то, что:

1) в современной математике всякая теория представляется как формальная система;

или

2) в современном периоде развития математики появлялись только теории, не имеющие никакой относящейся к реальности содержательной интерпретации (то есть, изучающие объекты и отношения только самой математики)?

Если 1), то это очевидно. Если же 2), то спорно - та же теория вычислимости возникла именно после того, как было наконец формализовано взятое из повседневности понятие алгоритма. Да и теория вероятностей тоже подпадает под теорию, созданную для "изучения реальности", а не для изучения самой математики.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #908063 писал(а):

Я почитал в Википедии про Айера, и не нашёл ничего небанального.

Айер был просто ответом на Вашу реплику о том, что философия это религия. Он критиковал теологию и этику методами аналитической философии.
Кстати, религия начинается с идеи абсолюта. Абсолютизировать можно научный метод познания, можно абсолютизировать идею относительности знания. А можно абсолютизировать идею отказа от абсолютизации каких-либо идей. Вообщем, иногда человек думает, что освободился от религии, а на самом деле он просто соорудил еще одного идола для поклонения.

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #908271 писал(а):

Если же 2), то спорно - та же теория вычислимости возникла именно после того, как было наконец формализовано взятое из повседневности понятие алгоритма.

В том-то и дело, что нет. Для того, чтобы формализовать понятие вычислимости, была собрана из кусков уже существующих формальных теорий новая теория вычислимости.

-- Вт сен 16, 2014 01:19:14 --

_hum_ в сообщении #908271 писал(а):

Да и теория вероятностей тоже подпадает под теорию, созданную для "изучения реальности", а не для изучения самой математики.

И для теории вероятностей была Колмогоровым приспособлена теория меры.

[_hum_]

Xaositect в сообщении #908274 писал(а):

В том-то и дело, что нет. Для того, чтобы формализовать понятие вычислимости, была собрана из кусков уже существующих формальных теорий новая теория вычислимости.

Ну, какая разница, из чего была собрана. Главное, появилась новая теория с новым понятием, новыми аксиомами. (Вы ведь не станете говорить, что если дом построен из кирпичей старого дома, то его нельзя считать новым).

Xaositect в сообщении #908274 писал(а):

И для теории вероятностей была Колмогоровым приспособлена теория меры.

Теория меры не покрывает теорию вероятностей, поскольку в последнюю вводится еще и понятие независимости и рассматриваются предельные теоремы для мер.

[Oleg Zubelevich]

_hum_ в сообщении #908280 писал(а):

Теория меры не покрывает теорию вероятностей, поскольку в последнюю вводится еще и понятие независимости и рассматриваются предельные теоремы для мер.

так это и есть теория меры, просто термины другие и интерпретации

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #908172 писал(а):

arseniiv, смотрите, как выглядело бы "чисто из головы". Вот сидит математик и решает, а ну-ка заведу себе формальную систему. И полагает "от балды", хай будет так:
- алфавит символов
$\mathbb{A} = \{L,T,o\}$
- аксиома $oLToo$
Правила вывода

1) если $xLTy$ - теорема, то теорема и $xLToy$
2) если $xLTy$ - теорема, то теорема и $xoLToy$

Все. Отдает физику, и говорит, смотри сам, нужно тебе или нет. А физик, почесав репу, начинает придумывать интерпретации символам: если я, например, под символом $ L$ буду понимать обозначение плоскости, $o$ - точки, под $T$ - отношение "принадлежать", то что у меня получится... Ага, получится ерунда. Значит, надо как-то по-другому интерпретировать.
Вот это чистый путь из головы математика в физику.

Что вы хотели этим сказать? (Так-то ясно, что это за теория.)

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #908280 писал(а):

Ну, какая разница, из чего была собрана. Главное, появилась новая теория с новым понятием, новыми аксиомами. (Вы ведь не станете говорить, что если дом построен из кирпичей старого дома, то его нельзя считать новым).

Она не просто из кирпичей построена, там целые этажи перетащены.
Вот была у Черча теория не для вычислимости, а для логики. В ней он доказал какие-то утверждения. Теория оказалась противоречивой, он некоторые конструкции из нее убрал, противоречие пропало, но многие утверждения остались.
А потом он подумал, что в ней интерпретируется арифметика Пеано и то, что получается, можно взять за определение вычислимой конструкции. Взял эту теорию и назвал определимые в ней функции вычислимыми. А утверждения остались.
Вопрос - когда утверждения стали отражать отношения между объектами в реальном мире, соответствующие понятию вычислимости?

[_hum_]

Oleg Zubelevich в сообщении #908282 писал(а):

так это и есть теория меры, просто термины другие и интерпретации

ну, а условная вероятность как представляется в теории меры?

-- Вт сен 16, 2014 02:08:25 --

Xaositect, еще раз, какая разница, кто там эти этажи до этого момента и для каких целей использовал. Главное, что появилась законченная отдельная теория, в которой формализовалось понятие алгоритма, понятие вычислимости.

[Xaositect]

Так утверждения же одни и те же.
Какие отношения между объектами реальности они отражают?

[_hum_]

arseniiv в сообщении #908288 писал(а):

Что вы хотели этим сказать? (Так-то ясно, что это за теория.)

Извините, вы знакомы с понятием формальной системы, с понятием интерпретации формальной системы?

[arseniiv]

Я знаком и вижу, что ваша теория имеет одной из интерпретаций $(\mathbb N,<)$. Что вы хотели сказать тем пассажем с воображаемой ситуацией с математиком и физиком?

_hum_ в сообщении #908271 писал(а):

А Вы не задавались вопросом, почему можно ожидать получить что-то новое и интересное? :)

Вопрос не ко мне, но я отмечу, что он, скорее, из области исследования человеческого мозга и плюс культуры.