Вопросы о дифференциале

[kp9r4d]

Deggial, выделено из предыдущей малосодержательной дискуссии

Мне вот какое дело непонятно. Дифференциал, который в определении дифференцируемой функции (матрица Якоби) и дифференциал, который под интегралом (который вводится просто как формальный символ для удобства записи) сущности, по сути, разные. Тем не менее правилом решения уравнений с разделяющимися переменными как-то без особых оговорок пользуются, ну или я где-то оговорки пропустил.
А ещё не понятно когда дают определение второго дифференциала как «дифференциал от первого дифференциала». Что такое дифференциал функции в точке — понятно, это такой-то линейный оператор, но дифференциал линейного оператора тогда тривиальным образом должен совпадать с самим этим линейным оператором. То есть второй дифференциал, это всё-таки не «дифференциал от дифференциала», а уже третяя сущность — альтернативная запись второго члена ряда Тейлора функции $f(x+th)$ как функции от $t$.
Но, во-первых, кажется интуитивно что их всё-таки что-то должно объединять, а во-вторых у нас на лекциях часто допускают вольности с дифференциалами подменяя одни сущности другими, лишь на том основании, что они записываются одинаковыми значками (например то самое решение дифуров с разделяющимися переменными), может есть всё-таки где-нибудь есть чуть более последовательное изложение всех этих дифференциалов?

[Nemiroff]

Дубль два

Nemiroff в сообщении #853061 писал(а):

Давайте сделаем так.

Идёте сюда
post361153.html
сюда
topic16893.html
и особенно вот сюда
topic37201.html

[kp9r4d]

Nemiroff
Я прочитал, и мне до сих пор понятнее не стало (спустя пол-года), что занятно, в учебниках, которые пытаются выдерживать математическую строгость (в том же Зориче I, например), определенние второго дифференциала функции многих переменных (а, скорее всего, даже и одной переменной, просто я не помню), предусмотрительно не даётся (однако используется в упражнениях) из-за вот этой вот всей путаницы, которая, вполне возможно, лишь у меня в голове.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #854609 писал(а):

Что такое дифференциал функции в точке — понятно, это такой-то линейный оператор, но дифференциал линейного оператора тогда тривиальным образом должен совпадать с самим этим линейным оператором.

Дифференциал -- это не оператор, а значение оператора (называемого производной) на некотором векторе, интерпретируемом как приращение аргумента. Т.е. значение дифференциала зависит от двух аргументов: от точки наблюдения и от приращения. Вы почему-то считаете, что второе дифференцирование ведётся по приращению, хотя сами же и понимаете, что такая деятельность вполне бесполезна. Разумеется, речь идёт о дифференцировании того оператора по точке. В результате вторым дифференциалом оказывается некоторая квадратичная форма (т.е. формально получается билинейная, но для приложений требуется лишь её сужение до квадратичной).

Да, по поводу Зорича. Он действительно не даёт понятия дифференциалов высших порядков, хотя и весьма активно ими пользуется при выводе формулы Тейлора для функции нескольких переменных. Почему он предпочитает не называть их по имени -- не знаю; возможно, потому, что понятие билинейных и вообще полилинейных форм всё-таки достаточно сложное, и на первом курсе (к которому он обращается) ещё недоступно.

[g______d]

ewert в сообщении #917531 писал(а):

Дифференциал -- это не оператор, а значение оператора (называемого производной) на некотором векторе

Мне казалось, что дифференциал отображения -- это отображение между касательными пространствами (известно как определяемое), а не значение этого отображения. Например, $dx^i$ -- это дифференциал функции $x^i$, который является отображением между касательным пространством к исходному объекту (области в $\mathbb R^n$ или гладкому многообразию) в касательное пространство к области значения функции $x^i$. Область значения -- это $\mathbb R$, касательное пространство к которому можно отождествить с ним же. Получаем отображение, которое в качестве аргумента принимает касательный вектор, а выдаёт число. Это согласуется с другим определением $dx^i$ как базиса в кокасательном пространстве, двойственного к $\frac{\partial}{\partial x^i}$.

ewert в сообщении #917531 писал(а):

Почему он предпочитает не называть их по имени -- не знаю;

Подозреваю, что он не любит называть по имени объекты, которым он не дал нормального (инвариантного) определения. Последнее довольно сложно для второго дифференциала. В частности, он не является тензором. Определение, насколько я помню, где-то выписывал Oleg Zubelevich, но это сильно не помогло.

-- Пт, 10 окт 2014 23:23:07 --

kp9r4d в сообщении #854609 писал(а):

Дифференциал, который в определении дифференцируемой функции (матрица Якоби) и дифференциал, который под интегралом (который вводится просто как формальный символ для удобства записи) сущности, по сути, разные.

Ну опять же, если интеграл понимать как интеграл от дифференциальной формы, то эти определения совпадают с пугающей точностью. См. выше.

[Nemiroff]

Ещё горячая.
http://math.blogoverflow.com/2014/11/03 ... s-dx/?cb=1

[VanD]

Попробую развеять сомнения с точки зрения геометрии. Поправьте, если ошибаюсь.

1. Гладкая функция и гладкое отображение, что бы кто не говорил, понятия принципиально разные и, соответственно, понятия дифференциала для них принципиально разные. Функция сопостовляет геометрической точке чило (на множестве чисел при этом никакая структура не фиксирована). Отображение сопостовляет геометрической точке геометрическую точку, на образе фиксированы топология и гладкая структура.

2. Дифференциал функции в точке - ковектор - это линейная функция от касательных векторов в этой точке. Касательные векторы, неформально говоря, представляют собой линеаризованные кривые в точке (формальные определения можно найти в любом учебнике). Дифференциал функции в точке - линеаризованная функция в том смысле, что он линейно действует на касательных векторах в этой самой точке, возвращая число. Ковекторное поле (то есть каждой точке сопоставлен ковектор $df$ в этой точке) иногда называют поднятием функции на касательное расслоение.

3. Дифференциал отображения - линейный оператор, который вектор скорости кривой на прообразе переводит в вектор скорости к образу этой кривой (в соответствующих точках). Формально его действие можно рассматривать через матрицу Якоби отображения. Формально если $y = F(x)$ - координатная запись отображения в соответствующей паре карт, то пологать $dy = dF(x)$ нельзя - это мнемоническая запись. По факту здесь заключается попытка приравнять формы (через такие пары карт) на разных многообразиях, что не имеет смысла. Действие дифференциала отображения описывается именно его матрицей - матрицей Якоби.

4. $dx^i$ в общем случае не обязан быть как таковым дифференциалом какой-либо функции (например, если $u$ - угловая координата на окружности, то $du$ ничей не дифференциал, так как единственный претендент - функции, координатная запись которых $f(u) = u + C$, но такие даже по непрерывности не склеятся в неохваченной этой картой точке, что уж говорить о гладкости, то есть глобально заданной гладкой функции, такой что $df = du$ на окружности нет).

5. Второй дифференциал функции - не инвариантный объект, он не тензор и меняется не по тензорному закону (кроме точек, где первый дифференциал равен 0, чем и пользуется теория Морса, если я не ошибаюсь). Но разложение в ряд Тейлора в фиксированной системе координат использует именно его и высшие дифференциалы.

6. Понятия частной производной как таковой на многообразии нет. Это всегда либо касательный вектор, либо вычисление компонент тензора в фиксированной системе координат. Таким образом, рассматривать отдельно частные производные функции, отдельно от дифференциала - бессмысленно, они не представляют ценности геометрически (то есть, в инвариантном смысле).

7. Второй градиент (в смысле $\nabla\nabla$) - это уже дело другое - он инвариантный со всех сторон, но несёт уже другой смысл.
Таким образом, говоря о высших дифференциалах, понятия градиента и дифференциала совпадают только для самих функций, но различаются для дифференциалов функций. (Градиент берётся только от тензорных полей, так что взять его от высших дифференциалов функции и не получится).

[g______d]

VanD в сообщении #926305 писал(а):

Гладкая функция и гладкое отображение, что бы кто не говорил, понятия принципиально разные и, соответственно, понятия дифференциала для них принципиально разные. Функция сопостовляет геометрической точке чило (на множестве чисел при этом никакая структура не фиксирована).

Если рассматривается просто функция -- тогда да, структура не фиксирована. А если гладкая функция, то нужна уже гладкая структура на $\mathbb R$. Если не верите, попробуйте дать определение гладкой функции из $M$ в $\mathbb Q$.

Другое дело, что функции образуют кольцо, а всякие векторные/тензорные поля образуют модули над этим кольцом, но я не вижу, где Вы этим пользуетесь.

VanD в сообщении #926305 писал(а):

Ковекторное поле (то есть каждой точке сопоставлен ковектор $df$ в этой точке) иногда называют поднятием функции на касательное расслоение.

Никогда не слышал. Ну и по смыслу поднятие должно сохранять информацию об исходном объекте, а операция $d$ все константы отображает в нуль.

VanD в сообщении #926305 писал(а):

Формально если $y = F(x)$ - координатная запись отображения в соответствующей паре карт, то пологать $dy = dF(x)$ нельзя - это мнемоническая запись. По факту здесь заключается попытка приравнять формы (через такие пары карт) на разных многообразиях, что не имеет смысла.

Имеет, если звёздочку поставить где нужно.

VanD в сообщении #926305 писал(а):

$dx^i$ в общем случае не обязан быть как таковым дифференциалом какой-либо функции

Обязан. Выражение $dx^i$ подразумевает, что определена функция $x^i$, и $dx^i$ определено ровно там, где определена функция $x^i$. Наоборот, если $u$ -- угловая координата, то утверждение о том, что $du$ определено глобально, является вольностью речи (хотя и общепринятой). Оно определено только там, где $u$ является определённой и однозначной, т. е. на окружности без точки. А дальше есть единственное продолжение по непрерывности, которое будет гладкой $1$-формой.

VanD в сообщении #926305 писал(а):

Понятия частной производной как таковой на многообразии нет. Это всегда либо касательный вектор, либо вычисление компонент тензора в фиксированной системе координат. Таким образом, рассматривать отдельно частные производные функции, отдельно от дифференциала - бессмысленно, они не представляют ценности геометрически (то есть, в инвариантном смысле).

Этого я не понял. Есть производная функции по направлению векторного поля, прямое обобщение понятия частной производной, очень даже инвариантное. Вот частной производной тензора, вообще говоря, нет, это да.

VanD в сообщении #926305 писал(а):

Второй градиент (в смысле $\nabla\nabla$) - это уже дело другое - он инвариантный со всех сторон, но несёт уже другой смысл.

Можете сказать определение, пожалуйста?

[VanD]

g______d в сообщении #926318 писал(а):

Если рассматривается просто функция -- тогда да, структура не фиксирована. А если гладкая функция, то нужна уже гладкая структура на $\mathbb R$. Если не верите, попробуйте дать определение гладкой функции из $M$ в $\mathbb Q$

Не верно. Гладкая структура на $\mathbb R$ для гладкой функции именно не фиксирована. Иначе попробуйте дать определение касательного вектора как дифференцирования в точке. Будет непонятно что получаться. Для гладкости же нужно чтобы просто формально координатное представление функции в любых координатах было гладким. Проблема эта у многих ещё со школы, все привыкли запись вида $y = f(x)$ называть функцией и никакую другую, а функция это именно $f(x)$, без приравнивания в координатах $x$ и $y$, там и $y$-то никакого нет на самом деле. Функция действует на точку так же, как ковектор на вектор в том смысле, что множество образов одинаковое и в обоих случаях без структур. Если Вы говорите о гладком отображении $M$ в $\mathbb Q$, то это именно отображение. Так же можно рассмотреть отображение $M$ в $\mathbb R$, но это не то же самое, что функция.

g______d в сообщении #926318 писал(а):

Ну и по смыслу поднятие должно сохранять информацию об исходном объекте, а операция $d$ все константы отображает в нуль.

Не вижу противоречия.

g______d в сообщении #926318 писал(а):

Имеет, если звёздочку поставить где нужно.

Если говорить о кодифференциале, это совсем другая история, он форм тоже не приравнивает, он переносит форму с образа на прообраз так же, как дифференциал не приравнивает векторов, а переносит вектора только уже с прообраза на образ. Речь же шла о дифференциале - это принципиально разные операторы. Приведённая же запись смысла не имеет.

g______d в сообщении #926318 писал(а):

Обязан. Выражение $dx^i$ подразумевает, что определена функция $x^i$, и $dx^i$ определено ровно там, где определена функция $x^i$. Наоборот, если $u$ -- угловая координата, то утверждение о том, что $du$ определено глобально, является вольностью речи (хотя и общепринятой). Оно определено только там, где $u$ является определённой и однозначной, т. е. на окружности без точки. А дальше есть единственное продолжение по непрерывности, которое будет гладкой $1$-формой.

Это в корне не верно. Компоненты тензоров не являются функциями - это принципиальный момент, они сами по себе зависят не только от точки, но и от системы координат. Окружность можно покрыть 2 угловыми картами с координатами $u$ и $v$, и при переходе от одной к другой $du$ преобразуется в $dv$. Это отнюдь не вольность речи.

g______d в сообщении #926318 писал(а):

Этого я не понял. Есть производная функции по направлению векторного поля, прямое обобщение понятия частной производной, очень даже инвариантное. Вот частной производной тензора, вообще говоря, нет, это да.

Имелось в виду, что нет смысла говорить о понятии частной производной функции на многообразии.

g______d в сообщении #926318 писал(а):

Можете сказать определение, пожалуйста?

Ну формально должна быть фиксирована афинная связность, а так определение абсолютно классическое: для тензора $T = T^{i_1...i_p}_{j_1...j_q}\partial_{i_1}\otimes...\otimes\partial_{i_p}\otimes dx^{j_1}\otimes...\otimes dx^{j_q}$ будет $\nabla T = (\frac{\partial T^{i_1...i_p}_{j_1...j_q}}{\partial x^k} + \Gamma^{i_1}_{\alpha k} T^{\alpha...i_p}_{j_1...j_q} + ... + \Gamma^{i_p}_{\alpha k} T^{i_1...\alpha}_{j_1...j_q} - \Gamma^{\alpha}_{j_1 k} T^{i_1...i_p}_{\alpha...j_q} - ... - \Gamma^{\alpha}_{j_q k} T^{i_1...i_p}_{j_1...\alpha})\partial_{i_1}\otimes...\otimes\partial_{i_p}\otimes dx^{j_1}\otimes...\otimes dx^{j_q}\otimes dx^{k}$
Здесь $\Gamma^{i}_{jk}$ - символы Кристоффеля афинной связности. Собственно, $\nabla \nabla$ это просто применение к результату.

[g______d]

VanD в сообщении #926356 писал(а):

Иначе попробуйте дать определение касательного вектора как дифференцирования в точке.

Линейное отображение $v\colon C^{\infty}(M)\to \mathbb R$, такое что $v(fg)=g(x)v(f)+f(x)g(f)$, так, что ли? Ну тогда всё равно придётся определять $C^{\infty}(M)$, что это такое?

Т. е. понятно, что в определении функции никакая структура на $\mathbb R$ не фиксирована. Но теперь попробуйте хотя бы отличить непрерывную функцию от разрывной, не используя топологии на $\mathbb R$ (Вы же говорите, что там никакая структура не фиксирована).

VanD в сообщении #926356 писал(а):

Не вижу противоречия.

Поднятие -- это что-то, что можно опустить обратно и получить исходный объект. Другим словами, инъекция. Отображение $d$ инъекцией не является. Если Вы считаете иначе, приведите пример, где его, как Вы говорите, называют поднятием.

VanD в сообщении #926356 писал(а):

Компоненты тензоров не являются функциями - это принципиальный момент, они сами по себе зависят не только от точки, но и от системы координат.

При фиксированной системе координат они являются функциями. Точно так же, как 1-форма $dx^i$ зависит от того, какую координату Вы обозначили через $x^i$.

VanD в сообщении #926356 писал(а):

при переходе от одной к другой $du$ преобразуется в $dv$.

Ну и отлично. И этот переход определён не на всей окружности, а только там, где определены одновременно $u$ и $v$, т. е. на окружности без двух точек. Разумеется, можно их склеить в одну 1-форму, но обозначать склеенную форму через $du$ или $dv$ является именно вольностью речи.

-- Вт, 04 ноя 2014 00:06:34 --

VanD в сообщении #926356 писал(а):

Ну формально должна быть фиксирована афинная связность

Если аффинная связность фиксирована, то исходный вопрос вообще снимается, т. к. эта операция переводит тензоры в тензоры. Интересовало именно определение второго дифференциала как инвариантного объекта (не обязательно тензора) без фиксации дополнительных структур.

[VanD]

g______d в сообщении #926362 писал(а):

Но теперь попробуйте хотя бы отличить непрерывную функцию от разрывной, не используя топологии на $\mathbb R$

При определении непрерывной функции топология на образе никак не используется да и нет там её. Непрерывная в точке $x$ функция определяется самым обычным образом. $\forall$ $ \mathcal{E} > 0$ $\exists$ $\tau$ - элемент топологии на $M$, содержащий точку $x$, такой что $\forall y$ из $\tau$ $|f(x) - f(y)| < \mathcal{E}$. Конечно, можно сказать, что топология на образе неявно использована и в этом определении, но она не служит там никаким целям помимо этого определения и её можно не фиксировать, иначе будет получаться, что ковектор на векторе всегда возвращает элемент топологического пространства, да и понятия действительного числа как такового нет, безотносительно топологии, но это уже перебор.
Попробуйте в своём определении вектора заменить координаты на образе, если у Вас там гладкая структура фиксирована, что тогда будет с компонентами, например?

g______d в сообщении #926362 писал(а):

Поднятие -- это что-то, что можно опустить обратно и получить исходный объект. Другим словами, инъекция. Отображение $d$ инъекцией не является. Если Вы считаете иначе, приведите пример, где его, как Вы говорите, называют поднятием.

Примера действительно не смогу сходу привести, да и за источник, где видел, сейчас не готов ручаться.

g______d в сообщении #926362 писал(а):

Разумеется, можно их склеить в одну 1-форму, но обозначать склеенную форму через $du$ или $dv$ является именно вольностью речи

Речь шла именно о том, что нельзя полагать, что обозначение $dx^i$ обязывает существовать гладкую функцию $f$ на многообразии, такую что в координатах $x^i$ будет $dx^i = df$. Здесь как всегда считается, что функция задана в каждой точке всего многообразия, не только в какой-нибудь карте, иначе много чего лишнего попадало бы под понятие функции на многообразии.

g______d в сообщении #926362 писал(а):

Интересовало именно определение второго дифференциала как инвариантного объекта (не обязательно тензора)

Определение второго дифференциала уже до нас всех было и переопределять его я не собирался)

[g______d]

VanD в сообщении #926370 писал(а):

При определении непрерывной функции топология на образе никак не используется да и нет там её.

VanD в сообщении #926370 писал(а):

$\forall y$ из $\tau$ $|f(x) - f(y)| < \mathcal{E}$

А, т. е. топологию не используем, но зато вовсю пользуемся структурой нормированного пространства на $\mathbb R$.

VanD в сообщении #926370 писал(а):

Попробуйте в своём определении вектора заменить координаты на образе, если у Вас там гладкая структура фиксирована, что тогда будет с компонентами, например?

Для определения вектора нам нужна структура кольца на $\mathbb R$, которая про замене координат не сохранится.

Тем не менее, информация о гладких структурах на $\mathbb R$ содержится в кольце $C^{\infty}(M)$. Гладкими функциями на $\mathbb R$ будут ровно те функции, которые в композиции с любой гладкой функцией на $M$ дадут гладкую функцию на $M$. Если про $\mathbb R$ известно, какие функции на нём являются гладкими, то это однозначно задаёт гладкую структуру.

VanD в сообщении #926370 писал(а):

Речь шла именно о том, что нельзя полагать, что обозначение $dx^i$ обязывает существовать гладкую функцию $f$ на многообразии, такую что в координатах $x^i$ будет $dx^i = df$.

Это правда. Но $dx^i$ само определено не на всём многообразии, а на координатной окрестности, на которой $x^i$ имеет смысл. И эта $x^i$ будет гладкой функцией на открытом подмножестве $M$, и на области своего определения $dx^i$ является дифференциалом гладкой функции на открытом подмножестве многообразия.

VanD в сообщении #926370 писал(а):

Здесь как всегда считается, что функция задана в каждой точке всего многообразия, не только в какой-нибудь карте, иначе много чего лишнего попадало бы под понятие функции на многообразии.

Да, я не точно выразился. Когда я говорил "$x^i$ является функцией", я имел в виду "является гладкой функцией на открытом подмножестве $M$", а не на всём $M$. Но, ещё раз повторю, $dx^i$ точно так же является не 1-формой на $M$, а только 1-формой на открытом подмножестве $M$.

VanD в сообщении #926356 писал(а):

Если говорить о кодифференциале, это совсем другая история, он форм тоже не приравнивает, он переносит форму с образа на прообраз так же, как дифференциал не приравнивает векторов, а переносит вектора только уже с прообраза на образ. Речь же шла о дифференциале - это принципиально разные операторы. Приведённая же запись смысла не имеет.

Я имел в виду pullback, а не кодифференциал.

-- Вт, 04 ноя 2014 01:01:43 --

VanD в сообщении #926370 писал(а):

Определение второго дифференциала уже до нас всех было

Инвариантое?

[VanD]

g______d в сообщении #926381 писал(а):

Тем не менее, информация о гладких структурах на $\mathbb R$ содержится в кольце $C^{\infty}(M)$. Гладкими функциями на $\mathbb R$ будут ровно те функции, которые в композиции с любой гладкой функцией на $M$ дадут гладкую функцию на $M$. Если про $\mathbb R$ известно, какие функции на нём являются гладкими, то это однозначно задаёт гладкую структуру.

Не понятно, зачем на образе фиксировать гладкую структуру? Формально можно и так считать, но всегда с оговорками, да и это просто лишняя сущность, не нужная в данном случае. Начнутся проблемы в духе, действие ковекторного поля на векторное в каждой точке - не функция, либо и ковектор отображает вектора в гладкое многообразие, но координат там заменить нельзя и т. д. Разьве понятие гладкой функции без этого не обойдётся? Не вижу никакой проблемы определять, как функция, формально координатное представление $f(x)$ которой в каждой карте, гладкое. Тогда как ещё и на образе нельзя заменять координаты, иначе всё поедет.

g______d в сообщении #926381 писал(а):

Гладкими функциями на $\mathbb R$ будут ровно те функции, которые в композиции с любой гладкой функцией на $M$ дадут гладкую функцию на $M$.

Здесь опять же у вас под $\mathbb R$ понимается гладкое многообразие (со стандарной, видимо, гладкой структурой), а не просто множество действительных чисел, ну и соответственно отображения $M$ в гладкое многообразие $\mathbb R$.

g______d в сообщении #926381 писал(а):

Это правда. Но $dx^i$ само определено не на всём многообразии, а на координатной окрестности, на которой $x^i$ имеет смысл. И эта $x^i$ будет гладкой функцией на открытом подмножестве $M$, и на области своего определения $dx^i$ является дифференциалом гладкой функции на открытом подмножестве многообразия.

Здесь под $dx^i$ понимается представление некоторого инвариантного объекта в конкретной системе координат, тогда как $x^i$ не годится на такую же роль. Зачем рассматривать само $dx^i$ отдельно от того, что это представление некоторого инвариантного объекта, не совсем понятно. Грубо говоря, оно у Вас получается заданным на гладком многообразии $\mathbb R^n$, то есть произошла подмена рассматриваемого обекта другим.

g______d в сообщении #926381 писал(а):

VanD в сообщении #926370

писал(а):
Определение второго дифференциала уже до нас всех было

Инвариантое?

Нет, какое уж есть. Не второго дифференциала функции на многообразии, а второго дифференциала конкретного координатного представления.

[g______d]

VanD в сообщении #926397 писал(а):

функция, формально координатное представление $f(x)$ которой в каждой карте, гладкое.

Последнее слово "гладкое" -- что оно означает? Вам всё равно придётся определять гладкую функцию на области в $\mathbb R^n$.

VanD в сообщении #926397 писал(а):

Здесь опять же у вас под $\mathbb R$ понимается гладкое многообразие (со стандарной, видимо, гладкой структурой), а не просто множество действительных чисел, ну и соответственно отображения $M$ в гладкое многообразие $\mathbb R$.

Нет. Ну или я неправильно понял комментарий. Предположим, что мы откуда-то свыше знаем, какие функции на $M$ являются гладкими. Формально это означает, что в кольце всех функций из $M$ в $\mathbb R$ выделено подкольцо гладких функций, которое обозначили через $C^{\infty}(M)$. Я утверждаю, что отсюда восстанавливается гладкая структура на $\mathbb R$. Действительно, назовём функцию $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ гладкой, если для любой функции $g\in C^{\infty}(M)$ композиция $f\circ g$ также принадлежит $C^{\infty}(M)$. Таким образом, мы восстановим кольцо $C^{\infty}(\mathbb R)$, и оно однозначно задаёт гладкую структуру на $\mathbb R$.

VanD в сообщении #926397 писал(а):

Здесь под $dx^i$ понимается представление некоторого инвариантного объекта в конкретной системе координат, тогда как $x^i$ не годится на такую же роль.

Степень инвариантности $x^i$ и $dx^i$ абсолютно одинакова. Первое является скалярной функцией на открытом подмножестве $M$, второе -- её внешним дифференциалом и ничем больше. 1-форма, заданная на открытом подмножестве $M$, не более и не менее инвариантна, чем скалярная функция, заданная на том же открытом подмножестве $M$.

VanD в сообщении #926397 писал(а):

Зачем рассматривать само $dx^i$ отдельно от того, что это представление некоторого инвариантного объекта, не совсем понятно. Грубо говоря, оно у Вас получается заданным на гладком многообразии $\mathbb R^n$, то есть произошла подмена рассматриваемого обекта другим.

Я не рассматриваю $dx^i$ отдельно от чего-либо и не вижу подмены понятий. Координатная окрестность -- открытое подмножество $M$. Карта -- набор скалярных функций на координатной окрестности (с определёнными свойствами, чтобы они составляли гомеоморфизм на подобласть $\mathbb R^m$). $x^i$ -- одна из таких скалярных функций. $dx^i$ -- её внешний дифференциал, являющийся 1-формой на $M$. Никакого другого более инвариантного определения $dx^i$ нет и не может быть, пока мы говорим о чём-то, ассоциированном с координатой $x^i$.

Если есть две карты, $\{x^i\}$ и $\{y^i\}$, то между $dx^i$ и $dy^i$ нет никакой связи, это разные 1-формы. Точно так же, как $x^i$ и $y^i$ -- разные функции.

[VanD]

g______d в сообщении #926409 писал(а):

Последнее слово "гладкое" -- что оно означает? Вам всё равно придётся определять гладкую функцию на области в $\mathbb R^n$.

Формально, существуют все пределы (частные производные) во всех точках всех порядков.

g______d в сообщении #926409 писал(а):

Действительно, назовём функцию $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ гладкой

У Вас, видимо (я опять же гну линию, что мол раз слово было "функция"), $\mathbb R$-прообраз и $\mathbb R$-образ разные объекты как таковые. Образ - просто множество чисел. На нём нет ни топологии, ни, тем более, гладкой структуры. После того как Вы формально определили понятие действительного числа, разности и порядка, вы можете вычислять $|f(x) - f(y)|$ и сравнивать с $\mathcal{E}$. Так определяется непрерывность. Фомрально, это определение совпадёт с определением непрерывности, если считать, что на множестве $\mathbb R$ фиксирована стандартная топология, но это не значит, что мы в действительности считаем $\mathbb R$-образ топологическим пространством.

И опять же, как быть с тем, что тогда действие ковекторного поля на векторное в каждой точке, либо не функция на многообразии, либо ковектор отображает вектора в гладкое многообразие, но на образе нельзя заменять координаты. Да и просто подход, состоящий в том что ковектор на векторе возвращает не число, а геометрическую точку, довольно странный и необоснованный.

g______d в сообщении #926409 писал(а):

Степень инвариантности $x^i$ и $dx^i$ абсолютно одинакова. Первое является скалярной функцией на открытом подмножестве $M$, второе -- её внешним дифференциалом и ничем больше. 1-форма, заданная на открытом подмножестве $M$, не более и не менее инвариантна, чем скалярная функция, заданная на том же открытом подмножестве $M$.

Тут согласен.

g______d в сообщении #926409 писал(а):

Если есть две карты, $\{x^i\}$ и $\{y^i\}$, то между $dx^i$ и $dy^i$ нет никакой связи, это разные 1-формы. Точно так же, как $x^i$ и $y^i$ -- разные функции.

Если рассматривать их безотносительно склеек, то конечно, они никак не связаны. Но, как мне кажется, в том и смысл гладкого многообразия, чтобы рассматривать карты только посредством гладких склеек.