Что такое дифференциал?

[Padawan]

Переношу сюда обсуждения смысла значка $d$ в формуле $a=\dfrac{dv}{dt}$.

ewert в сообщении #361156 писал(а):

Padawan в сообщении #361153 писал(а):

А в одномерном случае дифференциал это тоже число.

Ни боже ж мой. Это линейная функция, а не число.

Как Вы решите такую задачу: "Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите $\sqrt{1.001}$"? Или такую: "Чему равно $dx^3$, если $x=1$, $dx=2$ ? Может быть Вы считаете, что эти задачи не имеют смысла или некорректно сформулированы?

-- Вт окт 12, 2010 00:21:34 --

Хотя, всё это слова. Дифференциал, значение дифференциала. Функция, значение функции. Какая разница, нельзя весь математический язык полностью формализовать. Потому что как только что-то формализуешь, так сразу появляются ограничения в выразительности языка.

[caxap]

topic34634

[Padawan]

Да, так уже оскомину набило. Можно тему закрывать.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #361162 писал(а):

Как Вы решите такую задачу: "Заменяя приращение функции дифференциалом,

Очень просто: Вы меня спровоцировали на неадекватный (в этом месте) ответ, вот и всё решение.

[Профессор Снэйп]

Нас учили, что дифференциал --- это "линейная часть приращения функции". То есть если $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ --- дифференцируемая функция, то при всех $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $df(x_0)$ --- такое линейное отображение из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^m$, что $\| f(x) - df(x_0)(x-x_0) \| = o(\| x - x_0 \|)$ при $x \to x_0$. А производная --- матрица этого отображения

У меня лично такое ощущение, что понятие "дифференциал" надо счесть устаревшим и не использовать его в курсах матанализа.

[AD]

Профессор Снэйп в сообщении #361266 писал(а):

У меня лично такое ощущение, что понятие "дифференциал" надо счесть устаревшим и не использовать его в курсах матанализа.

За. Только если чуть-чуть высунуть голову за математический факультет, то сразу выяснится, что все, кроме математиков, этим понятием свободно пользуются, а еще непрерывно перемежают буквы $df$, $\partial f$ и $\delta f$, которые какбэ символизируют.

Как бы объяснить математикам, что они символизируют?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #361266 писал(а):

$df(x_0)$ --- такое линейное отображение из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^m$, что $\| f(x) - df(x_0)(x-x_0) \| = o(\| x - x_0 \|)$ при $x \to x_0$. А производная --- матрица этого отображения

$df(x_0)(x-x_0)$ -- формально неверная запись. Правильно: $df(x_0,x-x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, независимо от размерностей. И называть производную "матрицей отображения" -- тоже нехорошо. На самом деле производная -- это само отображение, а её матрица составляется из "частных производных" (одномерный случай выделяется лишь тем, что есть естественный изоморфизм).

[Munin]

ewert в сообщении #361278 писал(а):

$df(x_0)(x-x_0)$ -- формально неверная запись. Правильно: $df(x_0,x-x_0)\ldots$

Ну, это смотря в какой системе обозначений. Если $f$ - функция двух аргументов, то её можно воспринимать как функцию первого аргумента, принимающую значение во множестве функций второго аргумента, и тогда положить $f(x)(y)=[f(x)](y)\equiv f(x,y).$ Несколько непривычно, но и всё, криминала нет.

[caxap]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #361299 писал(а):

то её можно воспринимать как функцию первого аргумента, принимающую значение во множестве функций второго аргумента

каррирование

[Munin]

(Оффтоп)

Оно самое.

[master]

Padawan в сообщении #361162 писал(а):

Переношу сюда обсуждения смысла значка $d$ в формуле $a=\dfrac{dv}{dt}$.

$\Delta x = x_1 - x_2 , \Delta x \to 0, \Delta x = dx$

[AD]

master в сообщении #361670 писал(а):

$\Delta x = x_1 - x_2 , \Delta x \to 0, \Delta x = dx$

Поясните. Вот, например, $x_1=1$, $x_2=2$. Тогда $\Delta x=x_1-x_2=-1\to0$?? А вот это "$\Delta x=dx$" ... Зачем два разных обозначения тогда, если они равны? Или это снова какое-то "1=2 при достаточно больших значениях 1"?

Вот когда называют дифференциал оператором - это мне понятно. И тогда понятие дифференциала и производной для функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ отождествляются каноническим изоморфизмом $\mathbb{R}\leftrightarrow\mathbb{R}^*$, то есть тогда это понятие абсолютно лишнее.

Но как всяким механикам и прочем физикам удается понимать это на таком уровне, как master вот сейчас сказал? Как научить математиков тому же самому, и стоит ли оно того?

[Padawan]

master в сообщении #361670 писал(а):

$\Delta x = dx$

Да. Но это только для независимой переменной А то, что $dx\to 0$ тут не причем.

-- Ср окт 13, 2010 17:41:02 --

AD
$df\operatorname{=}\limits^{\text{опр}}f'\Delta x$

[ewert]

AD в сообщении #361673 писал(а):

Вот когда называют дифференциал оператором - это мне понятно.

А мне -- нет. Поскольку это просто неверно. Дифференциал -- это всего лишь бесконечно маленькое приращение. Это все знают. Даже некоторые математики. И даже многие студенты.

[caxap]

А что строго значат буковки $d$ в дифурах типа $\tg x \,dx-\ctg x\, dy=0$ (дифур из Эльсгольц "Дифуры и вар. исчисление")