Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #691362 писал(а):

Бесконечность триплетов (2,4) и (4,2) в ряду простых чисел.
...
В выборе модуля ПСВ мы не ограничены. Следовательно, число триплетов (2,4) и (4,2) среди простых чисел бесконечно.

Ваши доказательства о бесконечности близнецов, триплетов и.т.д. обычно заканчиваются этой фразой. Нельзя ли это доказать?

[vorvalm]

Руст
Спасибо. Я извиняюсь, что сославшись на тему "Цепочки простых чисел",
не привел исключения. Это касается тех случаев, когда первые члены
прогрессий равны $p_{r+1}.$
В этом случае число членов прогрессии увеличивается на 1.

[vorvalm]

vicvolf
Спасибо. Вы меня озадачили. Мне кажется, что это можно доказать методом
математической индукции по порядковому номеру модуля ПСВ.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #771473 писал(а):

vicvolf
Спасибо. Вы меня озадачили. Мне кажется, что это можно доказать методом
математической индукции по порядковому номеру модуля ПСВ.

Ну, допустим, что количество таких триплетов в ПСВ бесконечно, но не все они простые.

[Руст]

vorvalm в сообщении #771370 писал(а):

Руст
Спасибо. Я извиняюсь, что сославшись на тему "Цепочки простых чисел",
не привел исключения. Это касается тех случаев, когда первые члены
прогрессий равны $p_{r+1}.$
В этом случае число членов прогрессии увеличивается на 1.

Арифметическая прогрессия может содержать и отрицательные простые члены, например при $p_r=5$
-113, -83, -53, -23, 7, 37,67,97, 127,157.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #771505 писал(а):

Ну, допустим, что количество таких триплетов в ПСВ бесконечно, но не все они простые.

Но вас же не смущает то, что среди бесконечности натуральных чисел существует
бесконечность простых чисел.

[vorvalm]

Руст в сообщении #771520 писал(а):

Арифметическая прогрессия может содержать и отрицательные простые члены, например при $p_r=5$
-113, -83, -53, -23, 7, 37,67,97, 127,157.

Спасибо за замечательный и, наверное, уникальный пример.
В свое оправдание могу сказать, что когда разрабатывалась тема "Цепочки простых чисел",
то рассматривались только натуральные простые числа.
Для того, чтобы внести дополнения в эту тему по отрицательным числам,
необходимо время.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #771532 писал(а):

vicvolf в сообщении #771505 писал(а):

Ну, допустим, что количество таких триплетов в ПСВ бесконечно, но не все они простые.

Но вас же не смущает то, что среди бесконечности натуральных чисел существует
бесконечность простых чисел.

Нет это меня не смущает Но из бесконечности множества натуральных чисел не следует бесконечность множества простых чисел. Ведь Евклид доказывал бесконечность множества простых чисел во множестве натуральных чисел.

-- 06.10.2013, 22:16 --

Руст в сообщении #771520 писал(а):

Арифметическая прогрессия может содержать и отрицательные простые члены, например при $p_r=5$
-113, -83, -53, -23, 7, 37,67,97, 127,157.

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #771694 писал(а):

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Это определение взято, очевидно, из Бухштаба. Но в приведенном примере

Руст в сообщении #771520 писал(а):

-113, -83, -53, -23, 7, 37,67,97, 127,157.

отрицательные простые числа выступают в роли вычетов прогессии (класса).

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #771835 писал(а):

vicvolf в сообщении #771694 писал(а):

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Это определение взято, очевидно, из Бухштаба. Но в приведенном примере

Руст в сообщении #771520 писал(а):

-113, -83, -53, -23, 7, 37,67,97, 127,157.

отрицательные простые числа выступают в роли вычетов прогессии (класса).

Это общее определение простых чисел, которое дается еще в школьной программе. А то, что Вы рассматриваете - это расширение понятия простого числа. Тогда так и надо писать.

-- 07.10.2013, 10:08 --

vicvolf в сообщении #771694 писал(а):

vorvalm в сообщении #771532 писал(а):

vicvolf в сообщении #771505 писал(а):

Ну, допустим, что количество таких триплетов в ПСВ бесконечно, но не все они простые.

Но вас же не смущает то, что среди бесконечности натуральных чисел существует
бесконечность простых чисел.

Нет это меня не смущает Но из бесконечности множества натуральных чисел не следует бесконечность множества простых чисел. Ведь Евклид доказывал бесконечность множества простых чисел во множестве натуральных чисел.

Вообще из бесконечности множества естественно не следует бесконечность подмножества.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #771505 писал(а):

Ну, допустим, что количество таких триплетов в ПСВ бесконечно, но не все они простые.

Я извиняюсь за малосодержательный ответ на этот вопрос.
Но по существу сам вопрос поставлен некорректно.
Число различных групп вычетов (кортежей) в любой ПСВ не бесконечно,
но вполне определено, если они там существуют.
Число их определяется формулой

$N(K)=A_n\varphi_n(M),\;\;M=p_r\#,\;\;n$ - число вычетов в группе.

Подробности можно найти выше. В это число входят группы, состоящие как из взаимно
простых, так и из простых вычетов. Наша задача выделить хотя бы одну группу из простых
вычетов, которая должна находится в интервале ($p_{r+1},p^2_{r+1}$)
Эта технология изложена в этой теме.
И если такая группа есть в любой ПСВ, то по индукции это распространяется
на ПСВ при $M\rightarrow\infty$.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #771908 писал(а):

Наша задача выделить хотя бы одну группу из простых вычетов, которая должна находится в интервале ($p_{r+1},p^2_{r+1}$)
И если такая группа есть в любой ПСВ, то по индукции это распространяется на ПСВ при $M\rightarrow\infty$.

Допустим Вы доказали, что одна такая группа есть на интервале ($p_{r+1},p^2_{r+1}$) любого ПСВ. Следовательно, она - простая. При $M\rightarrow\infty$ Вы показываете, что одна такая группа на этом интервале остается. А почему таких групп на этом интервале станет бесконечно?

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #771942 писал(а):

А почему таких групп на этом интервале станет бесконечно?

У меня сейчас личные проблемы. Отвечу позже.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #771942 писал(а):

А почему таких групп на этом интервале станет бесконечно?

Я этого не утверждал. И такая постановка вопроса не имеет смысла, т.к. сам интервал конечен.
Этот вопрос надо рассматривать в динамике, т.е.при $p_r\rightarrow\infty$. За стартовую примем ПСВ($M_1$)
при $M_1>7\#$, т.к. при $M_1\leqslant 7\#$ интервал Ip простых чисел ПСВ выходит за пределы $0,5M.$
ПСВ - это сепаратор, который переводит по одному простые числа из интервала Ip в модуль.
Иначе, чтобы увеличить модуль, надо взять первое после 1 простое число из интервала Ip.
Если мы установили, что в интервале Ip есть данная группа вычетов в любой ПСВ($M_1$),
то эта же группа останется и в интервале ПСВ($M_2$), и в интервале ПСВ($M_3$)....
пока минимальный вычет группы $a_{\min}>p_{r}$ и только когда $a_{\min}\leqslant p_r$ данная группа перестает существовать в ПСВ.
Но в этом случае в интервале Ip должна уже быть другая группа, которая при определенном модуле
так же "уйдет" из ПСВ. Таким образом, с увеличением модуля ПСВ группы вычетов из интервала Ip
"перетекают" по одному вычету в модуль и этот процесс бесконечен.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #773716 писал(а):

vicvolf в сообщении #771942 писал(а):

А почему таких групп на этом интервале станет бесконечно?

Этот вопрос надо рассматривать в динамике, т.е.при $p_r\rightarrow\infty$. За стартовую примем ПСВ($M_1$)
при $M_1>7\#$, т.к. при $M_1\leqslant 7\#$ интервал Ip простых чисел ПСВ выходит за пределы $0,5M.$

Если Ip-это интервал простых $p_{r+1},p^2_{r+1}$, то $p^2_{r+1}<M/2$ будет только для $p_r=11$ и $M=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11=2310$, так как в этом случае $13^2=169<2310/2=1155$. При $p_r=7$ - $p^2_{r+1}=121>210/2=105$