Методика преподавания полярной системы координат

[Shtorm]

Алексей К., спасибо. Было интересно почитать

Алексей К. в сообщении #716055 писал(а):

"Что толку, что ты мне нарисовал какие-то координатные линии, --- прямые, окружности?" --- говорит ему профессор.

Я, кстати, на лекции не говорю своим студентам, что нужно (можно) расчерчивать полярную сетку в виде концентрических окружностей и пучка прямых. Говорю просто: откладываем угол от полярной оси и на полученном луче откладываем расстояние равное $r$. Если $r$ отрицателен, то откладываем в обратную сторону (зеркально отображаем относительно полюса). И только на практическом занятии мельком могу сказать, что можно расчертить вот таким образом, но это вовсе не обязательно. Пусть читатели этого сообщения не судят меня строго - ведь аудиторные часы у бакалавров сократили очень сильно (а у меня к тому же гуманитарии).

Алексей К. в сообщении #716055 писал(а):

Так в методичке и напишите.

Честно говоря, у меня не было намерения написать методичку по данной теме. Но после Ваших слов такое желание возникло.

[profrotter]

Восьмилепестковая роза задаётся уравнением $r=|\sin(4\varphi)|, r\geq 0, \varphi\in[0,2\pi]$. А ваша запись $r=\sin(4\varphi)$ к полярной системе координат просто никакого отношения не имеет по причине своей некорректности. Зачем забивать студентам голову этими несюразностями?

И такой вопрос. Что будет называться в вашей грядущей методичке системой координат?

[ewert]

Shtorm в сообщении #715769 писал(а):

Итак, параметризуем кривую $r=\sin(4\varphi)$. Получаем:

$$\begin{cases}x(t)=\sin(4t)\cos(t),\\y(t)=\sin(4t)\sin(t).\end{cases}$$

Это не эквивалентное преобразование: во второй записи угол по умолчанию произволен, в первой -- отнюдь.

А не зачту потому, что такие шибко начитанные студенты при вычислении, например, интеграла $\int\limits_0^{\pi}\sqrt{1+\cos x}\,dx$ с лёгкостью получают ноль. По ровно той же причине -- из-за неумения думать.

Алексей К. в сообщении #716055 писал(а):

попросите их нарисовать кривую $r=5\varphi$ в полярной системе координат, без всяких там декартовостей, иксов, игреков, прямых перпендикулярных. И Вы легко заткнёте им пасть:

Заткнёте, но лишь по одной причине -- они онемеют от недоумения: в полярных координатах (как и в любых других) ничего не рисуют, в полярных координатах задают.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #716074 писал(а):

Я, кстати, на лекции не говорю своим студентам, что нужно (можно) расчерчивать полярную сетку в виде концентрических окружностей и пучка прямых.

Зря же. Ортогональные семейства кривых — это красиво.

[Shtorm]

profrotter в сообщении #716132 писал(а):

Восьмилепестковая роза задаётся уравнением $r=|\sin(4\varphi)|, r\geq 0, \varphi\in[0,2\pi]$. А ваша запись $r=\sin(4\varphi)$ к полярной системе координат просто никакого отношения не имеет по причине своей некорректности...

Уравнение $r=|\sin(4\varphi)|$ будет задавать 8-лепестковую розу, но и уравнение $r=\sin(4\varphi)$ также будет задавать 8-лепестковую розу. Разница будет в порядке вычерчивания лепестков в разных четвертях (если наложить на полярную систему декартову и смотреть по четвертям). Если по модулю - лепестки будут следовать друг за другом в порядке возрастания угла, то без модуля лепестки будут чередоваться то в одной четверти, то в другой, как я выше и показал. Касательно некорректности: Открываем Ефимов Н.В. "Краткий курс аналитической геометрии" глава 3, параграф 14, пункт 47 и читаем:

Ефимов Н.В. писал(а):

Пусть $\rho=f(\theta)$ - полярное уравнение некоторой линии. Та же линия в декартовых координатах может быть определена параметрическими уравнениями

$$\begin{cases}x=f(\theta)\cos \theta,\\y=f(\theta)\sin \theta.\end{cases}$$

Чтобы получить эти уравнения, достаточно в формулах x = $\rho \cos \theta, y = $\rho \sin \theta (см. пункт 15) заменить $\rho$ функцией $f(\theta)$.

Теперь сравните мою формулу без модуля с формулой полярного уравнения, которое приводит Ефимов. Вопрос Вам - моё уравнение противоречит уравнению Ефимова? Нет, никоим образом не противоречит уравнению Ефимова. Или Вы имели ввиду именно неотрицательность $r$? Тогда Вам ответ такой: во-первых, ни в каких книгах не сказано, что к понятию обычной области определения функции или уравнения линии ещё нужно добавить область определения неотрицательных $r$. То есть, ещё дополнительно из области определения нужно выкинуть те значения $\varphi$ при которых $r$ отрицателен. Такого нигде нет. Это с одной стороны. С другой стороны: Вы видели в вышеприведённой цитате, как нужно параметризовывать и переходить к декартовым координатам. Если мы это сделаем с моим уравнением, которое без модуля - то получим 8 лепестков. Я Вам доказал корректность моего уравнения для 8-лепестковой розы?

profrotter в сообщении #716132 писал(а):

И такой вопрос. Что будет называться в вашей грядущей методичке системой координат?

Если указан способ, позволяющий устанавливать положение точек плоскости заданием чисел, то говорят, что на плоскости введена система координат.

-- Сб апр 27, 2013 15:48:39 --

ewert в сообщении #716148 писал(а):

Это не эквивалентное преобразование: во второй записи угол по умолчанию произволен, в первой -- отнюдь.

Для уравнения $r=\sin(4\varphi)$ использовался $\varphi \in [0;2\pi]$ и для параметрических уравнений использовался $t \in [0;2\pi]$. Если же Вы имели ввиду выбрасывать те углы при которых $r$ отрицателен - то см. выше.

ewert в сообщении #716148 писал(а):

А не зачту потому, что такие шибко начитанные студенты при вычислении, например, интеграла $\int\limits_0^{\pi}\sqrt{1+\cos x}\,dx$ с лёгкостью получают ноль. По ровно той же причине -- из-за неумения думать.

(Вычисление интеграла)

$\int\limits_0^{\pi}\sqrt{1+\cos x}\,dx=\int\limits_0^{\pi}\sqrt{1+\cos(2\cdot \frac {x}{2})}\,dx=\int\limits_0^{\pi}\sqrt{1+\cos^2(\frac {x}{2})-\sin^2(\frac {x}{2})}\,dx=$
$=\int\limits_0^{\pi}\sqrt{2\cos^2(\frac {x}{2})}\,dx=\sqrt{2}\int\limits_0^{\pi}\cos(\frac {x}{2})\,dx=2\sqrt{2}$

[GAA]

8-лепестковая роза — это геометрическое множество точек плоскости.
(1) Если при определении системы координат используются ограничения $\rho \ge 0, 0 \le \varphi < 2 \pi$, то она [роза] задается, например, уравнениями $\rho = \pm \sin(4\varphi)$.
(2) Если предполагается, что $-\infty<\rho< +\infty, 0 <\varphi < 2\pi$, то она задаётся $\rho = \sin (4 \varphi)$.

В учебном процессе ограничения (1), как правило, используются по умолчанию. Поэтому, если специально в задаче не оговорено, что $-\infty<\rho< +\infty$, то не только ewert, но и я, и все кого я знаю — задание не зачтут. Вы, в принципе, можете в своём учебном курсе указать, что $-\infty<\rho< +\infty$, и тогда будете принимать ответы вроде того, что привели выше. Но это не удобно, о чём я писал выше в теме.


Повторяемся. О модуле уже писал Someone.

Shtorm в сообщении #716254 писал(а):

Или Вы имели ввиду именно неотрицательность $r$? Тогда Вам ответ такой: во-первых, ни в каких книгах не сказано, что к понятию обычной области определения функции или уравнения линии ещё нужно добавить область определения неотрицательных $r$. То есть, ещё дополнительно из области определения нужно выкинуть те значения $\varphi$ при которых $r$ отрицателен.

Да, нужно выкинуть! По определению полярной системы координат с ограничениями $\rho \ge 0, 0 \le \varphi < 2 \pi$.

Повторюсь, в отдельных случаях опускают ограничения $\rho \ge 0, 0 \le \varphi < 2 \pi$. В книге Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, на с. 22 (Глава 1, §4) написано:

Цитата:

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат $(\rho, \varphi)$ было взаимно однозначным, обычно считают, что $\rho$ и $\varphi$ изменяются в следующих границах

$0 < \rho < +\infty$, $0 \le \varphi < 2 \pi. \qquad \qquad (1.15)$

Замечание. В некоторых задачах, связанных с непрерывным перемещением точки по плоскости, требуется непрерывное изменение полярных координат точки. В таких задачах удобнее отказаться от ограничений для $\rho$ и $\varphi$, указанных в соотношениях (1.15). Если, например, рассматривается вращение точки по окружности против часовой стрелки ($\rho = const$), то естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать, при большом числе оборотов, значения, большие $2\pi$. Если же рассматривается движение точки по прямой, проходящей через полюс ($\varphi = const$), то естественно считать, что при переходе через полюс её полярный радиус меняет знак.

Но если это из контекста не ясно, то ограничения явно оговаривают. Некорректность Вашего примера в отсутствии этих пояснений. Мы не Ваши студенты, поэтому не знаем, о чём Вы договаривались на лекции (занятии).

Shtorm, предупреждение за разжигание флейма или невежество. Учитывая имеющееся предупреждение за троллинг и за невежество, — недельный бан.

[profrotter]

Shtorm в сообщении #716254 писал(а):

Если указан способ, позволяющий устанавливать положение точек плоскости заданием чисел, то говорят, что на плоскости введена система координат.

Я считаю, что вот от этого и надо отталкиваться. Система координат на плоскости связана со способом, которым ставится в соответствие пара чисел и точка на плоскости. В общепринятом понимании полярная система координат предполагает наличие опорной точки (полюса) и опорного луча, проходящего через опорную точку. Положение каждой точки на плоскости характеризуется её расстоянием от полюса и углом, откладываемым от опорного луча против часовой стрелки. (Иначе -- радиус-вектором точки.) Координата $r$ в полярной системе координат имеет смысл расстояния (меры) и никак не может быть объявлена отрицательной.

Можно говорить и о другой системе координат, похожей на полярную. Она предполагает наличие опорной точки и луча. Положение точки на плоскости в ней характеризуется следующим образом. Сначала проводится числовая прямая через опорную точку и точку плоскости. Нулевая отметка числовой прямой совмещена с опорной точкой. Второй координатой является угол между опорным лучом и числовой прямой $\varphi\in [0,\pi]$. На числовой прямой можно откладывать положительные и отрицательные координаты $r$. Полагаю следует смириться с тем, что термин "полярная система координат" уже "забит", а эту систему координат следует назвать как-то иначе. Модифицированная полярная и тд. и тп.

Иначе получится как в той цитате:

ИСН в сообщении #425258 писал(а):

Один студент © тоже пренебрегал общепринятыми обозначениями. И вот как-то раз зашёл он буфет выпить чашечку кофе, а вместо этого его окатили помоями из ведра.

[Munin]

(О слове «мера» в определении участника profrotter)

profrotter в сообщении #716321 писал(а):

Координата $r$ в полярной системе координат имеет смысл расстояния (меры)...

Оговорка: метрики?

[ewert]

(О слове «мера» в определении участника profrotter)

Munin в сообщении #716402 писал(а):

profrotter в сообщении #716321 писал(а):

Координата $r$ в полярной системе координат имеет смысл расстояния (меры)...

Оговорка: метрики?

Оговорка да, но ни разу не метрики, а просто расстояния. Нефиг тут разводить пхилософию на пустом месте.

[profrotter]

(О слове «мера» в определении участника profrotter)

Munin в сообщении #716402 писал(а):

Оговорка: метрики?

Ну это уже очень тонкий момент. Если расстояние понимать как длину отрезка прямой, то можно замахнуться на "меру". Может быть правильнее говорить о метрике. Я в этом тонком моменте не специалист - вам виднее. Всё-равно она положительная.

[ewert]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #716435 писал(а):

Если расстояние понимать как длину отрезка прямой, то можно замахнуться на "меру". Может быть правильнее говорить о метрике.

Ни то, ни другое не правильно. Мера неуместна потому, что речь о двумерном пространстве, в котором это ни разу не мера. Метрика -- потому, что это не метрика в смысле метрических пространств, да и в римановом смысле тоже.

Вы совершенно правильно употребили термин "расстояние" в обычном, житейском смысле; но потом зачем-то приплели ещё и и загадочную "меру". Видимо, для пущей учёности; ну это лишнее.

[Munin]

(О слове «мера» в определении участника profrotter)

profrotter в сообщении #716435 писал(а):

Ну это уже очень тонкий момент.

Нет, меру и метрику нехорошо путать. И то и другое - обобщение "сантиметров", но совсем разные по сути.

ewert в сообщении #716439 писал(а):

Вы совершенно правильно употребили термин "расстояние" в обычном, житейском смысле...

да, и оно же правильно в строгом. Расстояние между двумя точками - число, вычисляемое через метрику - функцию (евклидово пространство, разумеется, метрическое). А я, наоборот, плохо выразился.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #716467 писал(а):

да, и оно же правильно в строгом.

нет, оно (с формальной точки зрения) категорически неверно. Хотя бы потому, что отсчитывается от некоей выделенной точки, в то время как при общем подходе все точки обязаны быть равноправными. С какой стороны ни подкрути.

Но эти все ньюанецы, разумеется, не имеют никакого отношения к полярностям.

[GAA]

Уже два раза в этой ветке (_Ivana и profrotter) предлагается модификация полярной системы координат, в которой $-\infty< r<+\infty$, $0<\varphi<\pi$ (или, что эквивалентно $-\pi/2<\varphi<\pi/2$). Поучительно было бы привести пример, в котором такая система плодотворна или, по крайней мере, удобна. Т.е. пример, в котором были бы существенны и взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и координатами такой альтернативной системы полярных координат, и отрицательность радиуса. Просто примеры задания кривой, типа конхоиды Никомеда, пожалуйста, не предлагать, поскольку взаимно однозначное соответствие, на мой взгляд, там не важно (не играет существенной роли).

- - - Добавлено через 18 часов. - - -

В качестве демонстрации «чего не предлагать» приведу банальный пример строфоиды. Уравнение кривой в прямоугольной декартовой системе координат обычно записывают в виде $y^2=x^2 \frac{a+x}{a-x}$. На рис. 1 (a) приведен график этой кривой в ПДСК. В полярной системе координат уравнение имеет вид $r = -\frac{a\cos2\varphi}{\cos\varphi}$, при соответствующих границах координат (см. ниже).

На рис. 1(b)–(d) приведены изображения кривой «в полярной системе координат» для различных договоренностей о границах изменения координат:

(b) $0 \le r < +\infty$, $0 \le \varphi < 2\pi$;
(c) $-\infty < r < +\infty$, $-\pi/2 \le \varphi < \pi/2$;
(d) $-\infty < r < +\infty$, $-\pi/2 \le \varphi < 3\pi/2$.

Область, ограниченная петлёй строфоиды, заштрихована.
В случае (b) нет непрерывного изменения полярного радиуса от угла, в случае (с) — есть.

Вложение:

strophoid.png

Вычислим площадь области ($D$), ограниченную петлей.

В случае (b) $D = \{0 < \rho < r, 3\pi/4< \varphi < 5\pi/4 \}$, площадь петли

$$S = \iint_D \rho d \rho d \varphi = \int_{3\pi/4}^{5\pi/4} d \varphi \int_0^r \rho d \rho = a^2(2-\pi/2).$$

В случае (c) $D = \{r < \rho < 0, -\pi/4< \varphi < +\pi/4 \}$, площадь петли

$$S = \iint_D |\rho| d \rho d \varphi = -\iint_D \rho d \rho d \varphi = -\int_{-\pi/4}^{+\pi/4} d \varphi \int_r^0 \rho d \rho = a^2(2-\pi/2).$$

«Платой за непрерывность» является необходимость отслеживать области, где якобиан имеет определенный знак.

В случае (d) $D = \{r < \rho < 0, -\pi/4< \varphi < +\pi/4 \} \bigcup \{0 < \rho < r, 3\pi/4< \varphi < 5\pi/4 \}$.

$$\iint_D |\rho| d \rho d \varphi = 2 a^2(2-\pi/2).$$

В данном случае петля «учтена» дважды. Конечно, в этой задаче никто не допустит такую ошибку, достаточно посмотреть на рисунок кривой в ПДСК (как я писал выше, в простейших задачах затруднений не возникает).

Хотелось бы увидеть примеры, где ограничения (с) не только дают «хорошую параметризацию», но и выгодно отличаются от ограничений (d) в плане уменьшения шанса допустить ошибку, или интересные с точки зрения приложений. А этот пример я привел исключительно для того, чтобы избавить участников от набора неинтересного примера.

[ewert]

(Оффтоп)

GAA в сообщении #716472 писал(а):

Поучительно было бы привести пример, в котором такая система плодотворна

Да она запросто могла бы быть плодотворна или там удобна -- в каких-то конкретных задачках. И, более того, где-то наверняка плодотворна. Проблема не в этом. А в том, что есть общепринятое понятие "системы координат". Когда положение точки определяется координатами более-менее взаимно однозначно. Более-менее, поскольку всегда возможны исключительные случаи; ну так тогда все эти случаи специально и оговариваются.

(я тут ещё чего-то хотел добавить, но, поразмысливши, решил, что это бессмысленно -- всё здесь уже было высказано)

Да, кстати: profrotter, если не ошибаюсь, решительно никакой альтернативщины конкретно здесь не предлагал.