Методика преподавания полярной системы координат

[mihailm]

И не жалко вам время тратить

Shtorm в сообщении #721090 писал(а):

...Ну разве я не прав?

Неа.
Заботьтесь о своих студентах в первую очередь, а о чужих пусть их преподы заботятся)))

[Shtorm]

mihailm, а вот кстати, Вы на своих лекциях, нигде не упоминаете кинематическое описание "полярных роз"?

[mihailm]

Нет, я и не знаю что это такое.
Розочки у меня были в контрольной кажется в таком виде: "Нарисовать один лепесток кривой $r=3\cos(5\varphi+\frac{\pi}{7})$ и посчитать его площадь".
Цифры генерились и каждого был свой вариант, образец контрольной всегда вывешивался за пару дней до нее. По моему этого примера (если студент осознанно его делал) хватает для любого студента технических специальностей по этой теме. На практике на полярную систему тратилось минут 30 (при первом знакомстве, ну и потом неско раз по чуть-чуть)

[GAA]

Shtorm в сообщении #721090 писал(а):

И в дополнение к сказанному:
Таким образом, использование отрицательного полярного радиуса - создаёт гладкое непротиворечивое математическое описание для плоских кривых, начиная от их построения на рисунке и заканчивая нахождением площади фигуры или части фигуры.

Повторяемся.
1. В связи с организационными вопросами.
Ответ уже был: «давать студентам нормальные задания». Если в курсе используются различные полярные системы координат, то либо задания в которых из контекста ясно, либо указывать явно возможные значения полярного радиуса.

С улиткой Паскаля тоже нет проблем — просто задавайте её уравнение в декартовой системе координат. Если Вас смутил знак в моём ответе, то просто поменяйте знак перед $ax$ в уравнении кривой в системе координат $x$,$y$.

Предложение сделать стандартной систему координат с допустимыми отрицательными значениями радиуса приведет к еще большим трудностям для студентов. Студенты учатся по стандартным учебникам и сборникам задач. В учебниках и задачниках по анализу предполагается, что $r \ge 0$. Рассмотрим стандартное упражнение 2424.4 из книги Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», издание 1997 г.
Найти площадь фигуры ограниченной линиями

$\varphi = r- \sin r$, $\varphi = \pi.$

Если считать, что $r \ge 0$, то ответ совпадет с ответом, приведенным в книге. Если нет, то не совпадет. [Переписывать все книги и дорого, и никому не интересно. Да и опечаток будет море.]

2. По сути.
Если не предполагать, что $r \ge 0$, то возникают (незначителдьные) сложности при использовании книг, и пределы интегрирования расставлять неудобно. Поэтому никого Вы не склоните на свою сторону.

[Denis Russkih]

Хотелось бы задать профессионалам один вопрос (наверное, глупый).

Здесь все хором утверждают, что студентов такими вещами грузить не нужно, а профессиональные математики и так это знают. У меня от этого возникает когнитивный диссонанс. Профессиональных математиков находят в капусте сразу с готовыми знаниями?.. Если нет, то в какой конкретно момент в голове человека, занимающегося математикой, рождается это знание?

Когда лично вы поняли, что $r$ при желании можно считать отрицательным, и это не ошибка?.. Если вас никто никогда не знакомил специально с этой информацией? Вы не прочли об этом в учебнике, не услышали от преподавателя. Но вы это знаете, и уверены в этом знании на 100%. Вопрос — КАК? :)

Как математик понимает, что значение $2^\infty$ искать бессмысленно, а вот отрицательное $r$ в принципе можно использовать, если это потребуется? :)

Меня уже давно мучает этот вопрос. С одной стороны вдохновенные певцы математики кричат, что нет никаких догм, а есть лишь договорённости, и при желании можно написать что угодно, оформить как угодно. С другой стороны — попробуй написать $2^\infty$ и сразу получишь по рукам. :)

Лично меня вымораживает такая ситуация, попросту дезориентирует. Как математики различают, что выражение $2^\infty$ — это безусловное табу на все времена, а вот $r < 0$ просто не принято использовать, поскольку неудобно?

[mihailm]

Denis Russkih в сообщении #721170 писал(а):

...Здесь все хором утверждают, что студентов такими вещами грузить не нужно, а профессиональные математики и так это знают. У меня от этого возникает когнитивный диссонанс. Профессиональных математиков находят в капусте сразу с готовыми знаниями?.. Если нет, то в какой конкретно момент в голове человека, занимающегося математикой, рождается это знание?...

Это знание - результат работы, математик несколько иначе относится к математическим теориям (чем инженер или например физик), для него они представляют самостоятельный интерес (без какого либо использования). Например, получив для изучения полярную систему координат он обязан ее покрутить и так и сяк, понять почему там синус, а тут косинус, можно ли их поменять? циферки добавить? почему не тангенс? Все это прокручивается и в голове и на бумаге и на компьютере (этот процесс может быть растянут на годы) - в итоге ситуация становится ясной и понятной (для математика), никакой мистики.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #721170 писал(а):

С другой стороны — попробуй написать $2^\infty$ и сразу получишь по рукам. :)

Почему? Придать этой зверушке содержательный смысл нетрудно (он будет таким же, как и подобной зверушки $2^{-\infty}$), только это не более чем развлечение, причём малополезное.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #721121 писал(а):

не упоминаете кинематическое описание "полярных роз"?

mihailm в сообщении #721136 писал(а):

Нет, я и не знаю что это такое.

Это описание кривой с помощью механического движения геометрической точки - отсюда и название от слова Кинематика - раздела Механики. Один из самых ярких примеров - это циклоида. Фиксированная точка, расположенная на ободе катящегося колеса - описывает траекторию, которая и будет являться циклоидой. Кривые Гвидо Гранди - Розы, получаются при гармоническом колебании точки на отрезке, который вращается относительно своего центра. Поэтому лепестки роз, соответствующие отрицательным значениям полярного радиуса вполне законны в розах.

-- Ср май 08, 2013 23:08:55 --

Это кстати и является ответом на мой вопрос: "Почему же ни в одном справочнике и учебнике не пишется, что в зависимости от принятого договора - в этой розе может быть $k$ - лепестков, а может и $2k$ - лепестков, а всегда, если пишут в уважаемой книге - то всегда $2k$ - лепестков, для чётных $k$"

[profrotter]

Shtorm в сообщении #721347 писал(а):

в зависимости от принятого договора - в этой розе может быть

Shtorm, не хочу никого обижать, но Вы снова путаете курицу и яйцо. Сначала следует задать систему координат - определиться с правилами, которые ставят в соответствие двум числам точки плоскости. Потом уже писать уравнения кривых. Вы же исходите из уравнения кривой и демострируете, что в разных системах координат оно будет давать разные кривые. Ну да - будет, более того в некоторых системах координат используемые вами выражение окажутся, строго говоря, некорректными.

Первичны не эти ваши "полярные уравнения", а система координат. Криволинейных систем координат можно придумать тьму-тмущую, ваша же софистика крепка благодаря терминологическому фаршу.

И ещё: само по себе название "отрицательный полярный радиус" следует исключить. Радиус по определению положителен.

[Shtorm]

profrotter в сообщении #721374 писал(а):

Вы же исходите из уравнения кривой и демострируете, что в разных системах координат оно будет давать разные кривые.

Мы в этой теме только и рассматриваем полярную систему координат и связанную с ней декартову систему. Этим системам соответствует и способ описания уравнений кривых. Еще рассматриваем параметрическое задание кривой, которое реализуется в декартовой системе. Движение геометрической точки инвариантно в вышеописанных системах. То есть, траектория движущейся точки - а значит и вся кривая, инвариантна относительно данных систем координат. В соответствии с кинематическим описанием - мы и получаем уравнение данной кривой. Должно наблюдаться полное соответствие между кинематическим описанием и аналитическим заданием кривой.

profrotter в сообщении #721374 писал(а):

И ещё: само по себе название "отрицательный полярный радиус" следует исключить. Радиус по определению положителен.

Вот один из камней преткновения! Давайте всё-таки различать радиус и полярный радиус. Радиус - это расстояние, а расстояние по определению всегда положительно. Полярный радиус - это одна из полярных координат. А координаты, как известно, могут иметь различные знаки.

Приведу очень ценную фразу из учебника "Аналитическая геометрия" Ильин В.А., Позняк В.Г. 2004 г. стр. 23

Цитата:

Закон изменения величин $\rho$ и $\varphi$ выясняется в каждом конкретном случае

Так вот в данном конкретном случае - я имею ввиду кривые Гвидо Гранди, отрицательный полярный радиус возникает при подстановке в правую часть уравнения положительных значений углов. И эти отрицательные значения просто необходимы доя правильного задания кривых Гвидо Гранди.

[Алексей К.]

profrotter в сообщении #721374 писал(а):

И ещё: само по себе название "отрицательный полярный радиус" следует исключить. Радиус по определению положителен.

Поздно исключать.
Уже слишком устоялось, и все спокойно принимают при нужде отрицательный радиус, полярный, или даже "неполярный".

Когда определяется полярный радиус точки --- никому в голову не приходит указывать вариант с отрицательным значением (тем более, если речь идёт о модуле комплексного числа).

Когда речь идёт о полярном уравнении кривой, лениво называть входящее туда выражение, например, "функцией, входящей в полярное уравнение кривой", или "правой частью оного", или как-то ещё. Все привыкли называть эту штуку "полярным радиусом", и мало кому приходит в голову требовать неотрицательности.

Наконец, когда люди в задачах по геометрии предпочитают подменить кривизну радиусом, они нередко определяют радиус, как величину, обратную кривизне, с естественным сохранением её знака.

(Пример без ссылок и подробностей)

См., например, теорему Декарта, частный случай задачи Аполлония, которую в интернетах отыскать с ходу не удалось: всё найденное нацелено на правило знаков Декарта. В её формулировках иногда говорят: "А если мы искусственно припишем радиусам отрицательные значения, то получим другое решение". Но эта "искусственность" вполне естественна --- там радиус наследует знак кривизны.

(Оффтоп)

Кто-то может возразить: мол кривизна --- величина, обратная радиусу, и, стало быть...
Я уже неделю старательно воздерживаюсь от создания "аналогичной темы", о различных определениях кривизны, и с вопросом --- почему её до сих пор не создал Shtorm? Почему его не возмущают удивляют разные определения кривизны --- с модулем в числителе и без такового? Сколько "авторитетов" в книгах и справочниках делает это по-разному! Почему Shtorm терпит такой бардак в методике преподавания кривизны плоской кривой?

Воздерживаюсь, потому что боюсь вовлечь себя в многописание, совсем для меня сейчас неуместное (дело не только в подросшей рассаде). Сейчас к этому вопросу подошли критически близко. Но я всё же постараюсь пока удержаться. Здесь же это --- криминальный оффтопик

[Munin]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #721549 писал(а):

Я уже неделю старательно воздерживаюсь от создания "аналогичной темы", о различных определениях кривизны, и с вопросом --- почему её до сих пор не создал Shtorm? Почему его не возмущают удивляют разные определения кривизны --- с модулем в числителе и без такового? Сколько "авторитетов" в книгах и справочниках делает это по-разному! Почему Shtorm терпит такой бардак в методике преподавания кривизны плоской кривой?

Не рискуйте своей репутацией курволога...

[Xaositect]

Цитата:

Меня уже давно мучает этот вопрос. С одной стороны вдохновенные певцы математики кричат, что нет никаких догм, а есть лишь договорённости, и при желании можно написать что угодно, оформить как угодно. С другой стороны — попробуй написать $2^\infty$ и сразу получишь по рукам. :)

Лично меня вымораживает такая ситуация, попросту дезориентирует. Как математики различают, что выражение $2^\infty$ — это безусловное табу на все времена, а вот $r < 0$ просто не принято использовать, поскольку неудобно?

Критерий очень простой - если вы можете объяснить, что некая последовательность значков означает, то вы можете ее использовать. Естественно, если в объяснении используются другие непонятные значки, то их тоже надо объяснить, и так далее, до некоторого минимума, который "знаком всем".
Вот когда Вы лично написали $2^{\infty}$, мы по контексту предположили, что Вы не знаете, что эта последовательность значков означает, и оказались правы. А если это написано в кратком объяснении вычисления какого-то предела, то, наверное, человек, который это писал, знал, что он имеет в виду и что это некоторая распространенная и понятная адресату вольность в обозначениях.

[Алексей К.]

(to Munin)

Алексей К. в сообщении #721549 писал(а):

Я уже неделю старательно воздерживаюсь от создания "аналогичной темы",

Munin в сообщении #721607 писал(а):

Не рискуйте своей репутацией...

Риска не вижу. Тема о кривизнах мне представляется интересной и даже важной. Я на форуме 7 лет, и вроде ни разу её не поднял. А ведь лет 15 тому назад стоило мне встретить живого математика (заехамши в Москву и даже далеко, в Питер; форумов или не было, или я их не открыл) --- я непременно приставал к нему с этими вопросами. Судя по тому, что на нашем форуме я об этом не спрашивал, я к 2006 г. составил для себя чёткие ответы на эти вопросы, и уверенно заявлял (себе), что такой-то "геометрический авторитет" не прав.

Меня в этом позабавило чисто внешнее сходство с данной темой (тут знак полярного радиуса --- там знак кривизны), при том, что тема о полярном радиусе мне представляется нестоящимвыеденногояйцапустяком, а тема о неотрицательном определении $k(t)=\dfrac{\left|y''x'-x''y'\right|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$ -- интересной и даже важной (отчего я выше и закавычил "аналогичность").

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #716220 писал(а):

Shtorm в сообщении #716074 писал(а):

Я, кстати, на лекции не говорю своим студентам, что нужно (можно) расчерчивать полярную сетку в виде концентрических окружностей и пучка прямых.

Зря же. Ортогональные семейства кривых — это красиво.

Согласен. Но времени катастрофически не хватает. А теперь с переходом на бакалавриат времени стало ещё меньше.
Гораздо важнее чем красота концентрических окружностей и пучка прямых - умение наносить точки c координатами $(r,\varphi)$ и знание - как выглядят замечательные кривые. И как видно из темы - умение грамотно сопоставлять замечательную кривую и её построение по точкам.