Лучший учебник по математическому анализу [литература]

[Doil-byle]

Padawan в сообщении #567576 писал(а):

Там неудобно проверять аксиому непрерывности

Почему, можно доказать, что любая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел в поле вещественных чисел. Потом можно тоже доказать для фундаментальных последовательностей вещественных чисел. Вроде бы не очень сложно получается. Основная ценность такого способа введения вещественных чисел в том, что он почти бесплатно даёт ещё и теорию пределов.

[apriv]

Padawan в сообщении #567576 писал(а):

apriv в сообщении #567570 писал(а):

Например, определение вещественных чисел по Кантору гораздо проще.

Через классы эквивалентности фундаментальных последовательностей? Там неудобно проверять аксиому непрерывности (теорему о точной верхней грани).

Пусть $(a_i)$ — фундаментальная последовательность вещественных чисел. Выберем для каждого $i$ какую-нибудь фундаментальную последовательность рациональных чисел $(b_{ij})$, сходящуюся к $a_i$. Значит, для каждого $i$ найдется $n(i)$ такое, что разность $|a_i-b_{ij}|<1/2^i$ для всех $j>n(i)$. Положим $c_i=b_{i,n(i)}$. Это новая последовательность рациональных чисел, она фундаментальна (поскольку для любого $\varepsilon>0$ найдется $k$ такое, что для $i,j>k$ выполнено одновременно $|b_{i,n(i)}-a_i|<\varepsilon/3$ и $|a_i-a_j|<\varepsilon/3$, откуда $|c_i-c_j|=|b_{i,n(i)}-b_{j,n(j)}|<\varepsilon$) и эквивалентна последовательности вещественных чисел $(a_i)$. Класс последовательности $(c_i)$ и является пределом $(a_i)$. Поэтому поле $\mathbb R$ полно. Это и называется «аксиомой непрерывности», да?

[Padawan]

apriv
Аксиома непрерывности: если $A,B\subset\mathbb R$, $A\neq\varnothing, B\neq\varnothing$, и $a\leqslant b$ для любых $a\in A$, $b\in B$, то cуществует $c\in \mathbb R$ такое, что $a\leqslant c\leqslant b$ для любых $a\in A$, $b\in B$.

Можно заменить на равносильное утверждение о том, что любое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань.

-- Сб май 05, 2012 17:22:45 --

Всё-таки чисто технически способ через сечения -- самый быстрый. Хотя способ через фундаментальные последовательности более естественный, не спорю. Но еще более естественный способ -- через бесконечные десятичные дроби (способ Вейерштрасса).

Вот, я описывал построение http://dxdy.ru/topic36352.html. Правда, вместо сечений у меня "неполные сечения".

[apriv]

Padawan в сообщении #567602 писал(а):

Всё-таки чисто технически способ через сечения -- самый быстрый.

Ага, шестьдесят страниц ужаса, и вещественные числа готовы.

Padawan в сообщении #567602 писал(а):

Но еще более естественный способ -- через бесконечные десятичные дроби (способ Вейерштрасса).

Это принципиально не отличается от способа Кантора (бесконечная десятичная дробь это фактически и есть фундаментальная последовательность специального вида), но добавляет проблем (нужно бороться с девятками в периоде). А способ Кантора, кстати, допускает обобщения на другие ситуации.

[Padawan]

apriv
Да не нужны никакие обобщения пока. Стоит узкая задача -- исходя из имеющихся рац. чисел, построить систему действительных чисел, удовлетворяющую определенному набору аксиом.
Давайте, опишите построение, только без всяких очевидно и т.д., и увидите, какая это тягомотина, проверять, что произведение фундаментальных последовательностей фундаментальна, проверять корректность определения операций. Это на словах все просто.

[apriv]

Padawan в сообщении #567615 писал(а):

apriv
Да не нужны никакие обобщения пока. Стоит узкая задача -- исходя из имеющихся рац. чисел, построить систему действительных чисел, удовлетворяющую определенному набору аксиом.

Я все-таки думаю, что эта задача стоит в контексте изучения матанализа в целом. Это как старое противопоставление: нацеленность на решение конкретных задач хоть какими-нибудь методами vs. развитие теории, в рамках которой эти конкретные задачи станут очевидными.

-- 05.05.2012, 16:39 --

Padawan в сообщении #567615 писал(а):

и увидите, какая это тягомотина, проверять, что произведение фундаментальных последовательностей фундаментальна,

Серьезно? Всякая фундаментальная последовательность ограничена. Пусть $|a_i|, |b_i|<2^k$, тогда $|a_ib_i-a_jb_j|\leq |a_i-a_j||b_i|+|a_j||b_i-b_j|<2^k(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|)$. Начиная с некоторого места $|a_i-a_j|<1/2^{k+m+1}$ и $|b_i-b_j|<1/2^{k+m+1}$, поэтому $|a_ib_i-a_jb_j|<1/2^m$. Про сумму фундаментальных — еще проще. Про корректность определения операций ничего не нужно проверять, это уже проверили там, где определяли фактор-кольца; нужно лишь проверить, что исчезающие последовательности образуют идеал в кольце фундаментальных последовательностей. Вот и получается конструкция пополнения произвольного нормированного поля. Ну и небольшая модификация этой конструкции заодно даст поле гипервещественных чисел.

[Doil-byle]

Padawan в сообщении #567615 писал(а):

какая это тягомотина, проверять, что произведение фундаментальных последовательностей фундаментальна

Это тягомотина примерно настолько же, насколько тягомотина доказывать, что произведение сходящихся последовательностей сходится, а делать это всё равно придётся.

apriv в сообщении #567624 писал(а):

нужно лишь проверить, что исчезающие последовательности образуют идеал в кольце фундаментальных последовательностей. Вот и получается конструкция пополнения произвольного нормированного поля. Ну и небольшая модификация этой конструкции заодно даст поле гипервещественных чисел.

Я вот про это не знаю, но операции установить всё равно как-то могу. Например, суммой фундаментальных последовательностей $u_n$ и $v_n$ называется фундаментальная (пусть мы уже доказали, что она фундаментальна) последовательность $u_n+v_n$. Фундаментальные последовательности эквивалентны, если их разность сходится к нулю. Осталось доказать, что если $a_n \sim b_n, c_n \sim d_n$, то $(a_n + c_n) \sim (b_n+d_n).$ $\forall \frac{e}{2}>0, \exists N_1: \forall n>N_1 |a_n -b_n|< \frac{e}{2}.\forall \frac{e}{2}>0, \exists N_2: \forall n>N_2 |c_n -d_n|< \frac{e}{2}. N= \max(N_1, N_2). \forall n>N: (a_n+c_n)-(b_n+d_n) = (a_n-b_n) +(c_n-d_n) <e.$
Далее устанавливаем изоморфизм между классами фундаментальными последовательностей, сходящихся к рациональным числам и рациональными числами. И доказываем, что существует поле, являющееся расширением поля рациональных чисел, изоморфное полю классов фундаментальных последовательностей. Это расширение называем полем вещественных чисел. Если кто-нибудь хочет, напишу доказательство .

[Padawan]

Doil-byle
Я хочу :) А лучше заведите тему в "Вопросах преподавания" и честно распишите весь процесс построения действительных чисел при помощи фундаментальных последовательностей.

[ewert]

Padawan в сообщении #567602 писал(а):

Хотя способ через фундаментальные последовательности более естественный, не спорю. Но еще более естественный способ -- через бесконечные десятичные дроби (способ Вейерштрасса).

Это разные естественности. Способ Кантора -- наиболее универсальный и наиболее идейный. Способ, приписываемый Вейерштрассу -- наиболее прикладной.

[apriv]

Padawan в сообщении #567648 писал(а):

А лучше заведите тему в "Вопросах преподавания" и честно распишите весь процесс построения действительных чисел при помощи фундаментальных последовательностей.

Это все уже не один раз расписано в учебниках по анализу.

[Doil-byle]

Padawan
Обозначим $\tilde{R}$ поле классов фундаментальных последовательностей р. чисел. $\tilde{Q}$ - п.к.ф.п.р.ч., сходящихся к рациональным числам.
Очевидно(после того, как мы доказали теоремы о сумме, произведении, делении и эквивалентности фундаментальных последовательностей), что $\tilde{Q} \simeq Q$ . Далее, просто-напросто запихиваем $Q$ в $\tilde{R}$ вместо $\tilde{Q}$, сохраняя алгебраические операции и получаем расширение $Q$. Или Вам нужно строже? Изоморфизм-то тривиальный.

Padawan в сообщении #567648 писал(а):

А лучше заведите тему в "Вопросах преподавания" и честно распишите весь процесс построения действительных чисел при помощи фундаментальных последовательностей.

Завести тему и назвать её: "Что такое вещественное число?"
Если серьёзно, то это уж слишком. Я в техе медленно пишу, постоянно смотрю коды значков, так что у меня на это дело уйдёт уйма времени. Да и учебники же есть.

[Padawan]

apriv
Дайте ссылку.

[apriv]

ewert в сообщении #567658 писал(а):

Это разные естественности. Способ Кантора -- наиболее универсальный и наиболее идейный. Способ, приписываемый Вейерштрассу -- наиболее прикладной.

Замечу, что все эти способы построения никакого отношения к анализу не имеют. Самое естественное определение вещественных чисел такое — это полное архимедово линейно упорядоченное поле. Это определение ничуть не хуже определения натуральных чисел аксиомами Дедекинда—Пеано. При желании можно вывести существование такого поля из каких-нибудь других аксиом (например, из аксиом теории множеств, или из еще каких-нибудь), но это никак не влияет на исследование свойств такого поля и на весь матанализ, который на основе этих аксиом строится.

[Padawan]

apriv в сообщении #567671 писал(а):

При желании можно вывести существование такого поля из каких-нибудь других аксиом (например, из аксиом теории множеств, или из еще каких-нибудь)

Интересно посмотреть на подобный вывод (что существует полное архимедово упорядоченное поле), не использующий явного построения.

[ewert]

apriv в сообщении #567671 писал(а):

Самое естественное определение вещественных чисел такое — это полное архимедово линейно упорядоченное поле.

Нет, оно как раз самое неестественное. Т.е. никак не диктуемое практикой. Канторово -- диктуется, вейерштрассовское -- диктуется, даже дедекиндово хоть чем-то, да стимулировано. Аксиоматическое же не стимулировано ничем, кроме перечисленных (и, может, каких других) конструктивных попыток -- и в этом смысле практически незначимо.

-- Сб май 05, 2012 19:07:58 --

Padawan в сообщении #567676 писал(а):

Интересно посмотреть на подобный вывод (что существует полное архимоедово упорядоченное поле), не использующий явного построения.

Ну вывод-то, может, и возможен. Но важнее другое: а кому он (сам по себе) нужен?...