Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[lim0n]

venco в сообщении #475994 писал(а):

(Решение Задачи №290)

Неверно.

[lim0n]

(Решение Задачи №249)

VAL в сообщении #471952 писал(а):

Задача №249
Интересно, уйдет ли из употребления первая часть этого слова, в связи известным переименованием?
Ну а вторая часть, точно уходит. Именно в связи с этим все его и знают.
Мы привыкли ссылаться на на то, что наш - какой-то особенный.

Менталитет. По второму пункту -- роман Т.Сёмушкина и одноимённый художественный фильм "Алитет уходит в горы" (1949).

Задача №292для любителей математики
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Yu_K тут]

Решите уравнение $y^3-59xy^2+1151x^2y-7429x^3=0$ относительно $y$ и назовите фамилию известной актрисы (один из корней).

[Yu_K]

venco в сообщении #472734 писал(а):

(Решение Задачи №256)

+

(Оффтоп)

Небольшая дискуссия по поводу разреза куба была здесь http://dxdy.ru/topic26965-30.html?hilit=%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B3%D0%B5%D0%BC - там ошибочный результат. А додекаэдр не будем резать?

venco в сообщении #473004 писал(а):

(Решение Задачи №255)

+

(Оффтоп)

Очень хотелось как-то дать ссылку на видео с северным сиянием и такая вот головоломка придумалась.

[Yu_K]

(Решение Задачи №292)

Дитрих

Задача №293.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Каким уравнением связаны радиусы четырех окружностей внутри треугольника? Малые окружности касаются сторон и большой окружности вписанной в треугольник.

[lim0n]

Yu_K в сообщении #476217 писал(а):

Решение Задачи №292

Верно.

[venco]

(Решение Задачи №293)

Yu_K в сообщении #476217 писал(а):

Задача №293.

Каким уравнением связаны радиусы четырех окружностей внутри треугольника? Малые окружности касаются сторон и большой окружности вписанной в треугольник.

$x_a+x_b+x_c=x_ax_bx_c$
где
$x_a=\frac{2\sqrt{rr_a}}{r-r_a}$ и т.п.

Задача №294
Что это за слова: 512017, 7812, 51041

[Yu_K]

venco в сообщении #476283 писал(а):

(Решение Задачи №293)

А можно более эстетичную формулу и покороче.

[venco]

Yu_K в сообщении #476311 писал(а):

venco в сообщении #476283 писал(а):

(Решение Задачи №293)

А можно более эстетичную формулу и покороче.

(Покороче)

$2r=\left(\sqrt{r_a}+\sqrt{r_b}+\sqrt{r_c}\right)^2-r_a-r_b-r_c$
или
$r=\sqrt{r_a r_b}+\sqrt{r_b r_c}+\sqrt{r_c r_a}$

[Yu_K]

venco в сообщении #476283 писал(а):

(Решение Задачи №293)

с уточнением

venco в сообщении #476357 писал(а):

(Покороче)

+

(Решение Задачи №259)

Такой вариант $\sqrt{7}+\sqrt{3}$
если правильный - могу привести картинку

Задача №295.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Для произвольного треугольника площади $S$ построены внешний и внутренний треугольника Наполеона имеющие площади $S_1$,$S_2$- каким соотношением связаны площади этих трех треугольников?

[Yu_K]

(Решение Задачи №156)

Матожидание максимума равно

$$\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\binom{N}{k}$$

матожидание минимума равно

$$\frac{1}{N^2}$$

Задача №296.

Загадка. САМА - ПЛАМЕННАЯ, А СЕРДЦЕ - КАМЕННОЕ.

[venco]

Yu_K в сообщении #476498 писал(а):

(Решение Задачи №156)

Матожидание максимума равно

$$\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\binom{N}{k}$$

матожидание минимума равно

$$\frac{1}{N^2}$$

А упростить?

-- Сб авг 20, 2011 08:38:25 --

(Решение Задачи №295)

Yu_K в сообщении #476370 писал(а):

Задача №295.
Для произвольного треугольника площади $S$ построены внешний и внутренний треугольника Наполеона имеющие площади $S_1$,$S_2$- каким соотношением связаны площади этих трех треугольников?

$S_1-S_2=S$

(Решение Задачи №296)

Yu_K в сообщении #476498 писал(а):

Задача №296.

Загадка. САМА - ПЛАМЕННАЯ, А СЕРДЦЕ - КАМЕННОЕ.

Вишня.

Задача №297.
N игроков играют в игру с призом.
Каждый бросает честную монету, и если орёл выпадает ровно у одного, то он выигрывает приз, и игра заканчивается. Иначе все у кого выпала решка, выбывают из игры, а оставшиеся повторяют броски. Если у всех оказалась решка, то приз не выигрывает никто.
Какова вероятность того, что приз никто не выиграет?

[Yu_K]

venco
Попробуем упростить...
А что по 259?

venco в сообщении #476535 писал(а):

(Решение Задачи №295)

+

venco в сообщении #476535 писал(а):

(Решение Задачи №296)

-
Нет это не вишня.

[venco]

Yu_K в сообщении #476560 писал(а):

venco
А что по 259?

Сейчас не могу проверить - но выглядит похоже.

[Yu_K]

venco
По поводу упрощения ответа
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2FN*sum+%28-1%29^%28k%2B1%29%2Fk*binom%28N%2Ck%29+from+k%3D1+to+N[/url]
т.е. через производную от http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html или
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html через гармонические числа можно записать ответ в рекуррентной форме - матожидание длины максимума будет

$$M_n=\frac{1}{n^2}+M_{n-1}\frac{n-1}{n}, M_1=1$$

[Yu_K]

(Решение Задачи №297)

Задача №297.
N игроков играют в игру с призом.
Каждый бросает честную монету, и если орёл выпадает ровно у одного, то он выигрывает приз, и игра заканчивается. Иначе все у кого выпала решка, выбывают из игры, а оставшиеся повторяют броски. Если у всех оказалась решка, то приз не выигрывает никто. Какова вероятность того, что приз никто не выиграет?

$$P_n=\frac{1+\sum_{k=2}^{n-1}\binom{k}{n}P_k}{2^n-1}$$

$$P_2=\frac{1}{3}$$

Задача №298.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Ломаная на плоскости строится из произвольно ориентированных отрезков единичной длины. Число звеньев наращивается до первого самопересечения ломаной с самой собой. Определить среднее число звеньев такой ломаной.

-- Вс авг 21, 2011 08:48:50 --

(Решение Задачи №164)

Задача №164
Найти сопротивление между соседними вершинами всех пяти платоновых тел, если каждое ребро имеет единичное сопротивление.
тетраэдр -- 1/2
куб -- 7/12
октаэдр -- 5/12
додекаэдр -- 19/30
икосаэдр -- 11/30

Задача №299.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил lim0n тут]

Посвящается этому марафону и якобы некоторым образом связано с теорией эволюции.

1, 13, 2, 1, 5, 3, 2, 1, 4, 4, 7, 3, 1, 5, 3, 5, ?, ?