Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[cepesh]

Марафон головоломок!

Сегодня я хочу запустить марафон головоломок! Очень надеюсь, что всем будет интересно и все получат большое удовольствие от участия.

Правила марафона

• Я размещаю первую головоломку в этом сообщении. Тот, кто ее решает, должен запостить полное решение и ответ, а также разместить новую головоломку. И так далее пока будет интересно.
• Только тот, кто решил предыдующую головоломку, может разместить одну новую.
• Каждая новая попытка решения должна сопровождаться предложением очередной головоломки.
• (Пункт добавлен 13.07.11) Разрешается сопровождать решения $k$ различных задач публикацией только одной новой головоломки при условии, что эти $k$ решений и условие новой задачи содержатся в одном сообщении.
• Решение надо скрывать за тегом off вот так:
  

  [off="Решение Задачи №1"]Решение обязательно скрывать[/off]

  
  

  (Решение Задачи №1)

  Решение обязательно скрывать
• Новые головоломки надо обязательно нумеровать:
  

  [size=150]Задача №W.[/size]

• Я буду стараться следить в этой теме за порядком.

Призы

Впервые в истории форума dxdy.ru самым активным участникам марафона будут вручены призы!!!

(Приз за I место)

(Приз за II место)

(Приз за III место)

Условия конкурса:

• Подведение итогов -- 1 сентября 2011 года.
• (Пункт обновлен 5.07.11) За правильное и полное решение одной из нерешенных задач, сопровожденное условием новой задачи, участник получает 1 балл.
• Призовые места распределяются между 3 участниками, набравшими наибольшее количество баллов
• Если два участника набрали одинаковое количество баллов, приоритет отдается тому, кто набрал свои баллы раньше
• Организатор (cepesh) может принимать участие в марафоне, но не может претендовать на призовые места.

Поехали!

Задача №1.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут]

$\text{АБСУРД}$ -- это число из 6 различных цифр, отличных от 0. Когда $\text{АБСУРД}$ делят на 19, 17, 13, 11 или $\text{У}$, то в остатке получается соответственно 17, 13, 11, 7 и $\text{С}$. Найдите $\text{АБСУРД}$

(Разное)

Штрафы:
post467528.html#p467528
post467533.html#p467533
post469820.html#p469820
post471887.html#p471887
post472183.html#p472183

[photon]

(Решение Задачи №1)

a=123456:987654;

a_m=abs(mod(a,19)-17)+abs(mod(a,17)-13)+abs(mod(a,13)-11)+abs(mod(a,11)-7)+abs(mod(a,mod(floor(a./100),10))-mod(floor(a./1000),10));
j=0;
for i=find(a_m==0)
j=j+1;
a_mm(j)=a(i);
end

a_z=zeros(length(a_mm),6);

a_z(:,1)=(floor(a_mm./100000));
a_z(:,2)=mod((floor(a_mm./10000)),10);
a_z(:,3)=mod((floor(a_mm./1000)),10);
a_z(:,4)=mod((floor(a_mm./100)),10);
a_z(:,5)=mod((floor(a_mm./10)),10);
a_z(:,6)=mod(a_mm,10);

c=sort(a_z,2);

d=prod(c(:,2:end)-c(:,1:end-1),2);
a_mm(find(d))

Цитата:

ans =

204761 435706 943785

отбрасываем решения, содержащие нули, и остается только $943785$.

Задача №2
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил masuka тут]


Переложить одну спичку так, чтобы результат стал целым числом. Горизонтальную спичку трогать нельзя

[masuka]

(Решение Задачи №2)

Единица делить на корень из единицы - одной из спичек снизу переделываем V в корень.

Задача №3
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут]

Укажите все точки на земном шаре, из которых можно выйти и пройти (в указанной последовательности) один километр на север, один на восток, один на юг и вернуться в них же (в исходную точку).

[Zealint]

Не совсем понятно, как определить, решил ли участник головоломку правильно. Например, у меня другой взгляд на задачу 2.

(Решение Задачи №2)

Здесь минимум 2 решения.
(1) Левую нижнюю палку сделать вертикальной, получим $\frac{\mathrm I}{\mathrm I/ \mathrm {II}}=2$
(2) Верхнюю палку сделать горизонтальной и поставить её в самом низу, получим $\underline{\overline{\mathrm{VII}}}$

А задача 3 появилась, пока я писал ответ к задаче 2, поэтому не совсем понятно, что я теперь должен делать. Но на всякий случай предложу своё решение.

(Решение Задачи №3)

Есть только одна точка - Южный Полюс

Имею ли я право на задачу №4, не ясно. Но на всякий случай напишу.

Задача №4.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут+тут]

Представьте себе, что у вас есть три коробки. В одной лежат два чёрных шара, во второй - два белых и в третьей - один черный шар и один белый. На коробках в соответствии с их содержимым были надписи ЧЧ, ЧБ и ББ, но кто-то их перепутал, и теперь на каждой коробке стоит надпись, не соответствующая содержимому. Чтобы узнать, какие шары лежат в каждой из трёх коробок, разрешается вынимать по одному шару из коробки и, не заглядывая внутрь, возвращать его обратно. Какое минимальное число шаров нужно вынуть, чтобы с уверенностью определить содержимое всех коробок?

[masuka]

Zealint, ответ на Задачу №3 неверный :)

[cepesh]

Zealint в сообщении #465445 писал(а):

Не совсем понятно, как определить, решил ли участник головоломку правильно.

Думаю, было бы разумно возложить данную ответственность на автора задачи в рамках этой темы. Будем считать, что если ни у кого нет возражений, то задача была решена верно. Update: Либо автор сам сообщает о том, кто первым правильно решил его задачу, либо я буду через ЛС выяснять.

Zealint в сообщении #465445 писал(а):

А задача 3 появилась, пока я писал ответ к задаче 2, поэтому не совсем понятно, что я теперь должен делать

Не переживайте, главное, получите удовольствие от решения :)

[photon]

(Решение задачи № 3)

Южный полюс и бесконечное множество точек вблизи северного полюса, таких, что после прохождения 1 км на север, путник оказывается на параллели, длина которой равна $1\text{км}/n$, где $n$-натуральное число

(Решение задачи № 4)

Достаточно взять один шар из коробки с надписью ЧБ

Задача №5.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Zealint тут]

Голодный людоед поймал семерых гномиков и собрался их съесть. Он заявил им следующее: «Я запру вас на ночь в пещере, а на следующее утро построю в колонну и надену каждому красную или зелёную шапочку. Каждый гномик будет видеть, какие шапочки на стоящих перед ним, но не будет видеть свою собственную и тех, кто позади. Я буду спрашивать по очереди, начиная с последнего гномика, какого цвета на них шапочки. Тех, кто ответит неправильно, буду съедать, а ответивших верно – отпущу. То, что будет говорить каждый гном, услышат все, поэтому на мой вопрос вы должны будете ровным голосом сказать только «красная» или «зелёная», при попытках выразиться по-другому или при вариациях тона вся компания будет съедена сразу же». За ночь гномы придумали такую стратегию поведения, которая позволит большинству из них выжить. В чём она заключалась?

[cepesh]

Я обновил Правила начисления баллов и проведения марафона под вот такую концепцию.

Участник A предлагает задачу 1.

Участники B и С предлагают свои варианты решения задачи 1, плюс постят задачи 2 и 3 соответственно.

Очки начисляются первому человеку, правильно решившему конкретную задачу.

То есть если участник C ответил правильно на задачу 1, а участник B -- нет, то С получит один балл, а B -- не получит. Но зато всем остальным можно теперь решать задачи 2 и 3.

[Zealint]

masuka в сообщении #465453 писал(а):

Zealint, ответ на Задачу №3 неверный :)

(Согласен)

Я не удивлён, так как просто написал первое что пришло в голову, когда увидел ваше сообщение, отвечая на задачу 2... Разумеется, окрестность северного полюса тоже нужно брать. Но как указать их все, я не придумал. Нужно выписать уравнение?

Цитата:

(Решение задачи № 4)

Достаточно взять один шар из коробки с надписью ЧБ

(Верно, но...)

Ответ верный, но я так понял, что нужно его обосновать. Или я не прав?

-- Вт июл 05, 2011 20:07:11 --

(Решение Задачи №5)

Нужно чтобы последний гном сказал "красная", если число красных шапок перед ним нечётное или сказал "зелёная" - если чётное. Предпоследний гном, узнав, четно или нечётно число красных шапок вместе с ним, и видя всех перед собой может однозначно сказать, что на нём надето. Аналогично, услышав ответ 6-го гнома, 5-й сделает правильный выбор. И т. д.

Задача №6.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Xaositect тут+тут]

Отыскать линейное однородное рекуррентное соотношение минимального порядка для заданной последовательности чисел:

2, 28, 308, 3392, 37368, 411664, 4535088, 49960704, 550391072, 6063371968, ...

Известно, что порядок правильного ответа не больше 5, а коэффициенты соотношения - целые числа.

[cepesh]

Zealint в сообщении #465499 писал(а):

Нужно выписать уравнение?

photon выше выписал уравнение. Осталось только, чтобы masuka подтвердил правильность или опроверг.

Zealint в сообщении #465499 писал(а):

Ответ верный, но я так понял, что нужно его обосновать. Или я не прав?

Прав. photon, обоснуйте, пожалуйста ваш ответ на Задачу №4. Иначе я не смогу начислить полный балл.

[Xaositect]

(Решение задачи №6)

$x_{n} = 11 x_{n-1} + 2x_{n-3}$

Простая задачка, вариация на тему известных задач на взвешивание монеток.

Задача №7.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут+тут]

Есть девять одинаковых с виду монет, одна из которых тяжелее остальных, и весы с двумя чашками без стрелок. За какое минимальное число взвешиваний можно гарантированно определить, весит ли тяжелая монета меньше двух легких или нет?

[cepesh]

Xaositect
Не буду настаивать, но мне кажется, что Zealint попросит обосновать минимальность.

[Xaositect]

cepesh в сообщении #465556 писал(а):

Не буду настаивать, но мне кажется, что Zealint попросит обосновать минимальность.

Ой, действительно.

(Продолжение решения задачи №6)

Ну это банально. Допустим, существует соотношение порядка не больше 2: $x_n = ax_{n - 1} + bx_{n-2}$. Тогда $\begin{cases}2a + 28b = 308\\28a + 308b = 3392\end{cases}$. Решая систему, получим $a = \frac{2}{3}$, $b = \frac{230}{21}$ --- нецелые.

[cepesh]

Zealint
Принимаете решение?

[photon]

(разъяснения к задаче № 4)

cepesh в сообщении #465521 писал(а):

Прав. photon, обоснуйте, пожалуйста ваш ответ на Задачу №4. Иначе я не смогу начислить полный балл.

Берем шар из ЧБ. Если он Ч, значит, там ЧЧ (остаются ББ и БЧ в коробках ББ и ЧЧ. При этом ББ не может быть в ББ, то есть ББ лежит в ЧЧ и БЧ в ЧЧ), и если выбранная выбранная Б - то там ББ и остаются ЧЧ и БЧ в коробках с надписями ЧЧ и ББ - то есть ЧЧ лежит в ББ и БЧ в ЧЧ