Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[venco]

VAL в сообщении #477559 писал(а):

(Решение Задачи №303)

venco в сообщении #477510 писал(а):

Задача №303.
Клеточное поле 2хN раскрашено в два цвета - синий и красный, так что есть путь по синим клеткам от одной короткой стороны до другой. Сколько существует варантов раскраски?

Пусть $a_n$ - число допустимых полосок длины $n$, заканчивающихся двумя синими клетками, а $b_n$ - одной синей клеткой.
Ясно, что $a_1=1, \ b_1=2, \ a_{n+1}=a_n+b_n, \ b_{n+1}=2a_n+b_n$.
Общее число вариантов - $f_n=a_n+b_n$.
Или $f_1=3, \ f_2=7, \ f_{n+1}=2f_n+f_{n-1}$.
Конечно, можно избавиться от рекуррентности, но там всякие корни из двойки вылезают...

Psw в сообщении #477561 писал(а):

(Решение Задачи №303)

venco в сообщении #477510 писал(а):

Задача №303.
Клеточное поле 2хN раскрашено в два цвета - синий и красный, так что есть путь по синим клеткам от одной короткой стороны до другой. Сколько существует варантов раскраски?

$S(N)=2S(N-1)+S(N-2)$ при $S(1)=3$, $S(2)=7$

или $S(N)=\frac 12 ( (1-\sqrt{2})^{N+1}+(1+\sqrt{2})^{N+1}))$
А если обязательно наличие 2-х цветов (полностью синяя раскраска не допустима), то еще 1 надо вычесть

Я в затруднении. С одной стороны VAL
ответил на две минуты раньше, но в таком виде (рекуррентное соотношение) я бы ответ не принял. Psw
явно ответил независимо, и опоздал именно потому, что дал полное решение. Поэтому я бы дал очко Psw, но тут уж как модератор решит.

[Psw]

venco в сообщении #477736 писал(а):

Я в затруднении. С одной стороны VAL
ответил на две минуты раньше, но в таком виде (рекуррентное соотношение) я бы ответ не принял. Psw
явно ответил независимо, и опоздал именно потому, что дал полное решение. Поэтому я бы дал очко Psw, но тут уж как модератор решит.

VAL первый запостил решение, да и про корень из 2 у него есть, так что очко по справедливости его

[venco]

Psw в сообщении #477768 писал(а):

venco в сообщении #477736 писал(а):

Я в затруднении. С одной стороны VAL
ответил на две минуты раньше, но в таком виде (рекуррентное соотношение) я бы ответ не принял. Psw
явно ответил независимо, и опоздал именно потому, что дал полное решение. Поэтому я бы дал очко Psw, но тут уж как модератор решит.

VAL первый запостил решение, да и про корень из 2 у него есть, так что очко по справедливости его

Я не возражаю.

[Yu_K]

venco в сообщении #477510 писал(а):

(Решение Задачи №298)

+
Да такой подход известен - тоже так делал. На одном "сайте головоломок" эта задача висит уже года 4 без предложений аналитического решения. Думал вдруг кто-то знает как решать аналитически. Длина некоторых ломаных при моделировании Монте Карло доходит до 60-70 кусочков.

Долг по прошлому второму варианту решения про разрез октаэдра возвращаю.
Задача №308.
1.Как относится $S_1$ к $S_{ABC}$?



2.И трехмерный аналог этой задачи. На каждом ребре тетраэдра поставлены по две точки, которые делят ребро на три равные части. Через каждую из этих точек и "противоположное" ребро проведены плоскости (12 плоскостей). Как относится объем фигуры, высекаемой в центре тетраэдра этими плоскостями, к объему всего тетраэдра?

[venco]

(Решение Задачи №304)

VAL в сообщении #477559 писал(а):

Задача №304.

Акр, кольцо, ложа, полк, порка, ранг, шпала.
Ар, баня, булат, лава, мель, пара, топор, ум, яма.
Придумайте слово, которое подходит в оба набора.

река

Задача №309.
Продолжить ряд ещё хотя бы тремя числами:
…, 123976607, 124000883, 124096823, 124216607, 124362053, 124536947, 124810853, 126007643, 126150503, 126300023, 126706067, ...

[Psw]

(Решение Задачи №309)

venco в сообщении #477975 писал(а):

Задача №309.
Продолжить ряд ещё хотя бы тремя числами:
…, 123976607, 124000883, 124096823, 124216607, 124362053, 124536947, 124810853, 126007643, 126150503, 126300023, 126706067, ...

Например 127112129, 127612129, 128112133

Задача №310.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]


Позиция возникла после 4-ого пятого хода черных. Привести ходы.

[27/08/11 10:40 BST] Исправлена ошибка в условии. Вместо "4-го" должно быть "пятого". //cepesh

[venco]

Psw в сообщении #477990 писал(а):

(Решение Задачи №309)

venco в сообщении #477975 писал(а):

Задача №309.
Продолжить ряд ещё хотя бы тремя числами:
…, 123976607, 124000883, 124096823, 124216607, 124362053, 124536947, 124810853, 126007643, 126150503, 126300023, 126706067, ...

Например 127112129, 127612129, 128112133

Неправильно.

[Psw]

venco в сообщении #477992 писал(а):

Неправильно.

(Поправка решения Задачи №309)

Тогда так 127112129, 127255049, 127404581

[venco]

Psw в сообщении #477999 писал(а):

venco в сообщении #477992 писал(а):

Неправильно.

(Поправка решения Задачи №309)

Тогда так 127112129, 127255049, 127404581

Вообще-то, по правилам, каждая попытка должна сопровождаться новой задачей. Но всё равно неправильно.

[cepesh]

Update: Вижу, что 262я уже проверена.

[VAL]

venco в сообщении #477975 писал(а):

(Решение Задачи №304)

VAL в сообщении #477559 писал(а):

Задача №304.

Акр, кольцо, ложа, полк, порка, ранг, шпала.
Ар, баня, булат, лава, мель, пара, топор, ум, яма.
Придумайте слово, которое подходит в оба набора.

река

Верно!
Но, полагаю, участники и зрители жаждут разъяснений.

-- 27 авг 2011, 06:18 --

Psw в сообщении #477990 писал(а):

Задача №310.

Позиция возникла после 4-ого хода черных. Привести ходы.

А точно, что за 4?

[venco]

VAL в сообщении #478012 писал(а):

venco в сообщении #477975 писал(а):

(Решение Задачи №304)

VAL в сообщении #477559 писал(а):

Задача №304.

Акр, кольцо, ложа, полк, порка, ранг, шпала.
Ар, баня, булат, лава, мель, пара, топор, ум, яма.
Придумайте слово, которое подходит в оба набора.

река

Верно!
Но, полагаю, участники и зрители жаждут разъяснений.

(Разъяснения)

В слова второго набора можно вставить букву ш:
шар, башня, бушлат, лаваш, шмель, парша, штопор, шум, яшма, решка.
С первым набором сложнее. Вроде во всех словах можно циклически переставить буквы, чтобы получилось другое слово, но полк приходится реверсировать:
рак, цоколь, жало, клоп, капор, гран, палаш, каре.
Если же брать любые анаграммы, то вариантов слишком много.

[VAL]

venco в сообщении #478016 писал(а):

(Разъяснения)

В слова второго набора можно вставить букву ш:
шар, башня, бушлат, лаваш, шмель, парша, штопор, шум, яшма, решка.
С первым набором сложнее. Вроде во всех словах можно циклически переставить буквы, чтобы получилось другое слово, но полк приходится реверсировать:
рак, цоколь, жало, клоп, капор, гран, палаш, каре.
Если же брать любые анаграммы, то вариантов слишком много.

(Комментарий к разъяснениям)

Все верно.
Насчет полка-клопа. Я сначала придумал две отдельные головоломки: с добавлением "ш" и с циклической перестановкой букв. А потом заметил, что "река" попадает под оба правила и решил объединить загадки. А "полк" (ответ на задание "укажите лишнее слово") убрать забыл.

[Psw]

VAL в сообщении #478012 писал(а):

Psw в сообщении #477990 писал(а):

Задача №310.

Позиция возникла после 4-ого хода черных. Привести ходы.

А точно, что за 4?

В условиях задачи допущена ошибка, вместо 4-ого хода должно быть - после 5-ого хода.

Приношу свои извинения.

(Оффтоп)

Писал глубокой ночью, точнее ранним утром

[venco]

(Решение Задачи №310)

Psw в сообщении #477990 писал(а):

Задача №310.

Позиция возникла после 4-ого пятого хода черных. Привести ходы.

[27/08/11 10:40 BST] Исправлена ошибка в условии. Вместо "4-го" должно быть "пятого". //cepesh

Kf3 Kc6
Kd4 Kf6
K:c6 d7:c6
Kc3 Kd5
K:d5 c6:d5

Задача №311.
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

В единичный квадрат вписан круг, а затем в углах вписано ешё по кругу с касанием большего круга, и так далее до бесконечности. Какова суммарная площадь получившихся кругов?