Если существование -- это не квантор существования, а свойство (что по-видимому необходимо в таком случае или вы предлагаете всё переписать через кванторы с индексами системы отсчёта?), то вылезает много странных вещей.
Даже, если существование - квантор, то от "модификаторов", "индексов" у этого квантора никуда не деться. Потому что могут быть много сильно разных существований.
Во-первых. Существование в субъективной, интерсубъектной и объективной реальностях.
а) Если Вы ударите молотком по пальцу, то Вашу боль никто, кроме Вас испытать и пережить не сможет. Но если на этом основании Вам скажут, что Вашей боли
не существует, предполагаю, русский язык обогатится очередными оборотами обсценной лексики.

б) Если я Вам пришлю картинку с единорогом, то почти уверен, Вы сможете определить, что на картинке - единорог. То есть единороги существуют в интерсубъектной реальности, и даже неплохо себя чувствуют, если их не убивают, конечно, чтобы из их крови сделать зелье для оживления очередного злого волшебника.
в) А ёлка около моего офиса существует в объективной реальности. И по ней бегают вполне объективные белки.

Во-вторых, даже с совершенно абстрактными объектами математическими объектами нужны "отметки" на квантор существования.
Существуют ли параллельные прямые? Вообще говоря, не известно, пока не уточним - какой набор аксиом имеется в виду.
В евклидовой геометрии существуют, и можно провести ровно одну параллельную прямую через точку не лежащую на заданной прямой.
В геометрии Лобачевского существуют, и можно провести сколько угодно параллельных прямых через точку не лежащую на заданной прямой.
В сферической геометрии не существуют.
В-третьих. При работе с физическими моделями, возникают весьма интересные отношения между существованием чего-то, как абстракции - части модели, и существованием в объективной реальности.
Траектория Луны вокруг Земли существует или нет? Конечно, существует, можно записать уравнения на неё и решить их. То есть, как решение уравнений она существует. А в объективной реальности нет никаких траекторий, ни проволочек, ни ниточек, по которым двигаются тела.
И в четвертых, квантор существования не спрягается по времени.
Динозавры существуют в интерсубъектной реальности, а в объективной - не существуют. Но это
существование отличается существования там же, в интерсубъектной реальности, единорогов:
динозавры
существовали в объективной реальности, а единороги - нет.
Кроме того, получается, что есть две разновидности единорогов -- одни есть (возможно), но не существуют, а вторые существуют, но их нет.
А это сколько угодно. В одном смысле что-то может существовать, а в другом смысле может не существовать. Примеры выше.