Проверка способности ChatGPT решать математические задачи

[Rasool]

Rasool в сообщении #1697506 писал(а):

Rasool в сообщении #1697483 писал(а):

Я сам решил задачку по-простецки: взял точку O с одной рациональной (например, ординатой, равной нулю) и одной иррациональной (абсциссой) координатами. Потом провел прямую, параллельную оси абсцисс и с рациональной ординатой и начал проводить лучи из точки O и точек с рациональными координатами на этой прямой. Потом можно рассмотреть бесконечное множество таких прямых.

Упс, кажется я ошибся, если рассматривать точки с рациональными координатами на оси абсцисс. Можно в качестве точки O взять точку с обеими иррациональными координатами - x и y.

Вот для сравнения решение из самого Кванта:

[VoloCh]

Я не очень опытный юзер ИИ, но ни ЧатГПТ5 ни ДипСик не решили задачу, с которой (как мне кажется) может справится школьник 7-11 классов.

Построить таблицу, в первой строке которой стоят цифры, а во второй строке число раз, сколько цифра над ним встречается в этой таблице.

UPD. ЧатГПТ5 справился после указания на ошибку в перночальном решении. Думал 5 минут.

[wrest]

VoloCh
А мне дипсик выдал мгновенно:
Единственная таблица, удовлетворяющая условиям, выглядит так (точки для красоты):

Цифра:..... 0 1 .2 3 4 5 6 7 8 9
Количество: 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1

Ну видимо дипсик решил что в первой строке должны быть все цифры и не повторяться, так что это конечно не единственная.

Значит ли это, дипсик запоминает свои диалоги? Ну то есть вы у него спросили, он запомнил и мне (другому юзеру) выдал уже верный ответ?

[VoloCh]

wrest в сообщении #1699530 писал(а):

VoloCh
А мне дипсик выдал мгновенно:
Единственная таблица, удовлетворяющая условиям, выглядит так (точки для красоты):

Цифра:..... 0 1 .2 3 4 5 6 7 8 9
Количество: 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1

Ну видимо дипсик решил что в первой строке должны быть все цифры и не повторяться, так что это конечно не единственная.

Значит ли это, дипсик запоминает свои диалоги? Ну то есть вы у него спросили, он запомнил и мне (другому юзеру) выдал уже верный ответ?

Хм. похоже... но я дипсик парил наверное месяца два назад и ЧатГпт тоже. Все было плохо. Дипсик даже после 10 указаний на ошибку не справился.
А сейчас я попробовал ГПТ5...
Правда я не много по другому давал условие. я писал в первой строке "некоторые" цифры, а сейчас он воспринял, как "все цифры"

И кстати мне дипсик сейчас выдал другой ответ (правда, не писал что он "единственный")

Цифра:..... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Количество: 1 7 3 2 1 1 1 2 1 1

​​

[zgemm]

А можно ли доказать, что кроме этих двух решений тут нет больше решений? И может ли это какая-либо модель такое доказательство сделать?

[ozheredov]

wrest в сообщении #1699530 писал(а):

вы у него спросили, он запомнил и мне (другому юзеру) выдал уже верный ответ?

Я думаю, этой задаче 100 лет в обед (что ничуть не уменьшает ее потрясающей изящности). Так что наверняка между Вашим и его запросом в базу данных как-то просочилось решение.

[icosahedron2]

Цитата:

Let $p$ be a prime number. Let $s(p)$ be the number of pairs $(a, b)$ such that $1 \le a \le b \le p - 1$ and $\prod_{i = a}^b i \equiv 1 \pmod{p}$. Let $S(p)$ be the cardinality of the set $\{i! \bmod p | 1 \le i \le p - 1\}$. Prove that $S(p) \ge \frac{p^2}{2s(p) + p}$.

DeepSeek писал(а):

Step 1. Reformulate the Definitions

Let $p$ be a prime. Define:

· $s(p)$ : number of pairs $(a, b)$ with $1 \le a \le b \le p - 1$ such that
$\prod_{i = a}^b i \equiv 1 \pmod{p}$.
· $S(p)$ : number of distinct residues modulo $p$ among the factorials
$\{1!, 2!, \dots, (p-1)!\}$.

Note that $0! = 1$, and since $1! = 1$, we can extend the set to include 0! . Thus, the set of factorials becomes:

$\{0!, 1!, 2!, \dots, (p-1)!\}$.

This set still has exactly $S(p)$ distinct elements.

---

Step 2. Rewrite $s(p)$ in Terms of Factorials

For $1 \le a \le b \le p - 1$, observe:

$\prod_{i = a}^b i = \frac{b!}{(a-1)!}$.

So the condition becomes:

$$\frac{b!}{(a-1)!} \equiv 1 \pmod{p} \quad \Leftrightarrow \quad (a-1)! \equiv b! \pmod{p}$$

.

Let $i = a - 1$ and $j = b$ . Then:

· $0 \le i \le p - 2$
· $ i + 1 \le j \le p - 1 $

So $s(p)$ counts the number of pairs $(i, j)$ with $0 \le i < j \le p - 1$ such that:

$i! \equiv j! \pmod{p}$.

---

Step 3. Count the Repeated Values

Let $n = S(p)$, the number of distinct values among $\{0!, 1!, \dots, (p-1)!\}$ . Denote these distinct values by $v_1, v_2, \dots, v_n$.

For each $k = 1, 2, \dots, n$, let $f_k$ be the number of indices $i \in \{0, 1, \dots, p-1\}$ such that $i! \equiv v_k \pmod{p}$ . Then:

$$\sum_{k=1}^n f_k = p$$

.

The number of pairs $(i, j)$ with $i < j$ such that $i! \equiv j! \pmod{p}$ is:

$$s(p) = \sum_{k=1}^n \binom{f_k}{2} = \sum_{k=1}^n \frac{f_k(f_k - 1)}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n f_k^2 - \sum_{k=1}^n f_k \right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n f_k^2 - p \right)$$

.

Multiplying both sides by 2:

$$2s(p) = \sum_{k=1}^n f_k^2 - p \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^n f_k^2 = 2s(p) + p$$

.

---

Step 4. Apply the Cauchy–Schwarz Inequality

We have:

·

$$\sum_{k=1}^n f_k = p $$

·

$$ \sum_{k=1}^n f_k^2 = 2s(p) + p $$

By the Cauchy–Schwarz inequality:

$$\left( \sum_{k=1}^n f_k \right)^2 \le n \cdot \sum_{k=1}^n f_k^2$$

.

Substituting the known values:

$$p^2 \le n \cdot (2s(p) + p) \quad \Rightarrow \quad n \ge \frac{p^2}{2s(p) + p}$$

.

Since $ n = S(p) $, we conclude:

$$S(p) \ge \frac{p^2}{2s(p) + p}$$

.

[lel0lel]

VoloCh в сообщении #1699543 писал(а):

И кстати мне дипсик сейчас выдал другой ответ (правда, не писал что он "единственный")

Снова другой выдаёт:

 0   0   0   0   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
10  10  10  10  10  13  2   3   1   1   1   1   1   1 

Похоже, он не так прост, как пытается казаться)

 0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  7  13   2   1   1   1   2   1   1 

[Klein]

Такое решение ChatGPT Thinking выдал. Доказать , что sin(10 deg) иррациональное число.

[nnosipov]

Кажется, DeepSeek научился решать уравнение $x^4+y^2=xy^2+y$ в натуральных числах (зафиксирована одна удачная попытка). Просьба еще раз прогнать эту задачу на других доступных AI.

[Mikhail_K]

nnosipov в сообщении #1707815 писал(а):

Кажется, DeepSeek научился решать уравнение $x^4+y^2=xy^2+y$ в натуральных числах (зафиксирована одна удачная попытка). Просьба еще раз прогнать эту задачу на других доступных AI.

Во вложении - решение ChatGPT. В оффтопе - его ход мыслей при построении решения.

(Оффтоп)

Решение уравнения Диофанта
Нам нужно решить уравнение x^4 + y^2 = x y^2 + y для натуральных чисел. Начнем с x=1: получаем y=1, так что (1,1) — решение. Если x ≥ 2, уравнение становится квадратичным относительно y. Простой анализ показывает, что x=1 дает единственное решение, но для x ≥ 2 нужно решать более подробно.

Решение уравнения
Для решения уравнения приходится работать с дискриминантом D = 1 + 4(x-1) x^4, и нужно, чтобы D было совершенным квадратом. Это напоминает задачу с уравнением Пелля. Также введены ограничения для y: для y существует диапазон от x^{3/2} до x^2 - 1. Точные значения y должны лежать в этом интервале, что помогает сузить решение.

Проверка решений для x>2
Когда x ≥ 3, решений, похоже, уже нет. Проверю несколько значений x вручную. Для x=1, 1 решение: (1,1). Для x=2, дискриминант не является полным квадратом. То же для x=3, x=4, и x=5. Однако, для x=6, дискриминант становится полным квадратом, что приводит к решению.

Проверка решений для x→15
Исходя из вычислений, для x = 1 и x = 6 мы нашли решения: (1, 1) и (6, 16). Для всех других значений x (от 7 до 13) дискриминанты не являются полными квадратами, и решений нет. Похоже, что решения ограничены только (1, 1) и (6, 16). Необходимо доказать, что других решений нет.

Анализ уравнения для x и y
Приняв y = 1 + t(x-1), мы получаем выражение для x^4 - x и пытаемся упростить уравнение. Получается, что для t ≥ 1, левая часть равенства и правая часть все сходятся к решениям. Нужно доказать, что решения только для малых значений t. Сейчас проверим вычисления для конкретных значений t.

Проверка решений для t и x
При t = 1 и t = 2 мы видим, что решение не существует для предполагаемых x ≥ 1. Однако для x = 6 и t = 3 мы находим решение. Это подтверждает, что t ≈ sqrt(x) и возможно, что x = 6 является уникальным для целого t. Это нужно тщательно проверить для других малых x.

Рассматриваем решение для t и x
Для неравенства t^2(x-1)^2 < 3x^3 мы получаем, что t ≈ c√x. Это ограничивает возможные значения t. Дальше показываю, что вероятно для x ≥ 7 нет целых решений. Исходя из анализа, рассмотрен способ факторизации, который подтверждает, что y делит x^4, и вывод о четвёрках для его степеней.

Рассматриваем подходы к решению
Использую предположение, что y = a^4, и рассматриваю x = a*b. Получаю уравнение на b. Для A = 1 и A = 2 получаем решения, но для A ≥ 3 решений нет. Также анализирую, что для больших A значение B ограничено, что дает конечное количество решений.

Рассматриваем ограничения для B
Для B в интервале от A до A^{5/3}, и при A≥3, анализирует, когда значение B может быть ограничено от 4 до 6 для A=3. Также из уравнения получается, что для больших значений A только небольшие значения B приводят к решениям, с ограничением для A=1,2.

Рассматриваю решение для B
Исследую, как для A ≥ 3, значение B должно быть в ограниченном диапазоне между A+1 и A^{5/3}. Для A = 2 проверяется, что единственное решение — B = 3. Дальше рассматриваю, что для больших значений A такие решения для B, скорее всего, невозможны, пока не найду общий способ доказательства.

Simplifying the equation
I'm starting with the equation x^4 + y^2 = xy^2 + y, trying to break it down. One angle is looking at y dividing x^4, possibly understanding how prime factors work out. I tried different values for A and B, but things are still a bit messy. I'll need to keep refining my approach.

Reworking the bounds
Okay, the equation B(A^5 - B^3) = A^4 - 1 gives us some clues. If I break it down, I see B^3 < A^5, which means B is less than A^{5/3}. But more refinement is needed. I'll consider modulo small numbers and inequalities, then maybe explore monotonicity for validation. It’s tricky!

Testing the function
I'm working through the function f(B) for fixed A ≥ 3. I've found the derivative and identified a potential local minimum at B = (A^5/4)^{1/3}. Next, I'm checking how f(A) behaves for specific values. For A ≥ 2, f(A) seems to be negative — like for A=3. I need to explore further using B=A or A+1 to refine things.

Testing for valid solutions
I'm testing if a solution exists for A ≥ 3. By approximating B as A^{5/3} - epsilon, I’m checking for inconsistencies using gaps between cubes and fourth powers. The gap between B^3 and A^5 seems to be large enough for a contradiction. I need to explore further with rigor, especially comparing integer values.

Expanding lower bounds
I’m testing the lower bound with B ≈ A^{5/3}. By comparing the cubic differences and factorizing, I’m working towards finding a contradiction if B ≤ A. The inequalities suggest the product could be large enough to invalidate the assumption that B is smaller than or equal to A. I'll refine this.

Refining bounds for B
I’m trying to prove that B must be the integer part of A^{5/3}, based on some inequalities. I showed that if B is smaller than the floor of t, we hit a contradiction. So B must be the integer part of A^{5/3}, but I must further verify if it fits within the bounds I derived. I'll continue refining this.

Bounding B and solving equation
I'm trying to show that for A ≥ 3, no B satisfies the equation B(A^5 - B^3) = A^4 - 1. I initially assumed B ≈ A^{5/3}, but that didn't lead to a contradiction. Now I'll focus on breaking down the bounds more clearly to check whether there might be a solution for larger values of A or not.

Simplifying the approach
I'm focusing on showing that for A ≥ 3, no integer B satisfies the equation. I'll first establish that B must be greater than A, and then show that the difference between consecutive cubes exceeds A^3. This should help eliminate potential candidates and prove that no solutions exist for A ≥ 3. Let's refine these steps further!

[ozheredov]

nnosipov

Как отличить "Научился решать" от "Загуглил и списал готовое решение"? Есть вариант под шаманить коэффициенты при степенях (в идеале сделав их максимально нечеловеческими), но чтобы решение в целых числах было?

[Mikhail_K]

ozheredov в сообщении #1707821 писал(а):

Как отличить "Научился решать" от "Загуглил и списал готовое решение"?

Это вопрос к mihaild. Я думаю, что в основном ИИ не гуглят, а сами решают предложенные им задачи. Хотя иногда и гуглят - но например ChatGPT, когда обращается к поиску в интернете, отражает этот факт в своих "мыслях".

[nnosipov]

ozheredov в сообщении #1707821 писал(а):

Как отличить "Научился решать" от "Загуглил и списал готовое решение"?

Так загуглить-то тоже нужно суметь. То решение, что выложено, оно отличается от того, что deepseek сочинил. Впрочем, похоже, deepseek не может повторить свое правильное решение --- только одна удачная попытка на десяток неудачных.

К сожалению, не могу посмотреть то, что на картинках (не прогружаются). Но, судя, по офтопу, там нет правильного решения.

[ozheredov]

Mikhail_K

Под гуглением я подразумеваю воспроизведение длинного готового паттерна из обучающей базы. Грубо говоря, если говорить об аппроксимации по точкам

x|y
1|10
2|20
3|30
4|40

, то пара вопрос-ответ "Найди отклик на $x=2$ => 20" будет гуглением, а пара "Найди отклик на $x=1.2345$ => 12.345" будет свидетельством того, что научился решать.

-- 31.10.2025, 16:27 --

nnosipov в сообщении #1707825 писал(а):

Так загуглить-то тоже нужно суметь.

С этим полностью согласен. В качестве эдванст сёрча нейронки вполне себя зарекомендовали.