Проверка способности ChatGPT решать математические задачи

[rockclimber]

Rasool в сообщении #1690186 писал(а):

Задачи участники сочиняли сами. Если бот не справлялся, автор получал $7,5 тыс. Но оказалось, большинство задач o4-mini все же решает — и делает это быстрее, чем опытный ученый.

Знаю простенький вопрос на SQL, на который чатгпт не способен ответить. Где мне получить мои 7,5к?

[nnosipov]

Вот еще одна задача для опытов:

Решить уравнение $x^3+y^4=(xyz-1)^2$ в натуральных числах.

DeepSeek после 20-минутного рассуждения нашел только одно решение $(x,y,z)=(2,1,2)$. Намеков на правильные идеи (см. topic158354.html) я не обнаружил. Интересно, что скажет Gemini или еще кто-нибудь, мне недоступный.

[mihaild]

Gemini решает с помощью любимого ей в последнее время метода выдумывания статей.

(Gemini 2.5 Pro)

Единственное решение данного уравнения в натуральных числах:

$$(x,y,z) = (2,1,2)$$

[hr]

Доказательство

Исходное уравнение:

$$x^3+y^4=(xyz-1)^2$$

где $x, y, z$ - натуральные числа.

1. Сведение к уравнению Диофанта
   
   Правая часть уравнения является квадратом целого числа. Следовательно, левая часть также должна быть полным квадратом. Обозначим ее через $k^2$:
   
   $$x^3+y^4 = k^2$$
   
   где $k$ — некоторое натуральное число.
   
   Поскольку $x, y, z \ge 1$, то $xyz \ge 1$. Случай $xyz=1$ (т.е. $x=y=z=1$) не является решением: $1^3+1^4=2$, а $(1 \cdot 1 \cdot 1-1)^2=0$. Значит, $xyz \ge 2$, и $xyz-1 \ge 1$.
   Таким образом, мы можем положить $k = xyz-1$.
   
2. Решение уравнения $x^3+y^4=k^2$
   
   Задача сводится к нахождению целочисленных решений диофантова уравнения $x^3+y^4=k^2$. Это известная задача, решенная математиком Дж. Г. Э. Коном (J. H. E. Cohn) в 1993 году. В своей работе "The Diophantine equation $x^3+y^4=z^2$" он показал, что единственным решением этого уравнения в натуральных числах (положительных целых) является:
   
   $$(x, y, k) = (2, 1, 3)$$
   
   
3. Нахождение $z$
   
   Теперь, имея единственные возможные значения для $x$, $y$ и $k$, мы можем найти соответствующее значение $z$ из соотношения $k = xyz-1$.
   Подставим $x=2$, $y=1$ и $k=3$:
   
   $$3 = (2)(1)z - 1$$
   $$4 = 2z$$
   $$z = 2$$
   
   
4. Проверка
   
   Мы получили единственное возможное решение в натуральных числах $(x,y,z) = (2,1,2)$. Проверим его, подставив в исходное уравнение:
   
   • Левая часть: $2^3 + 1^4 = 8 + 1 = 9$
   • Правая часть: $(2 \cdot 1 \cdot 2 - 1)^2 = (4-1)^2 = 3^2 = 9$
   Поскольку $9=9$, решение является верным. Так как других решений для уравнения $x^3+y^4=k^2$ в натуральных числах не существует, других решений у исходного уравнения также нет.

[nnosipov]

Да, что ни говори, а воспитание играет важную роль)

А, кстати, они оба не нашли еще одно решение.

[rockclimber]

nnosipov
ChatGPT o3 нашел два решения: (2,1,2) и (6,5,1)
https://chatgpt.com/share/6883b494-ab90 ... 80e8aac1a4

[nnosipov]

rockclimber
Увы, не могу посмотреть, нет доступа. А сюда нельзя скопировать?

[rockclimber]

Код ниже тоже сгенерирован чатгпт, я бы сам умер столько переписывать :)

Рассмотрим уравнение:

x^3 + y^4 = (xyz - 1)^2,\quad x, y, z \in \mathbb{N}.

Обозначим:
s = xyz - 1.

Тогда уравнение примет вид:
x^3 + y^4 = s^2,\quad xyz = s + 1,
откуда
z = \frac{s + 1}{xy}.

Значит, необходимо найти такие натуральные x, y, что:
- x^3 + y^4 — точный квадрат;
- xy \mid (x^3 + y^4 + 1).

Согласно результату М. Беннетта и К. Гешке (2001), уравнение
x^3 + y^4 = s^2
имеет в натуральных числах только два решения:
(x, y, s) = (2, 1, 3) и (6, 5, 29).

Проверим условие делимости:

1) (x, y, s) = (2, 1, 3):\quad xy = 2,\quad s+1 = 4 \Rightarrow z = 2 \in \mathbb{N}.

2) (x, y, s) = (6, 5, 29):\quad xy = 30,\quad s+1 = 30 \Rightarrow z = 1 \in \mathbb{N}.

Оба случая дают допустимые решения исходного уравнения.

\boxed{(x, y, z) = (2, 1, 2) \quad \text{и} \quad (6, 5, 1)}

Также чатгпт дал ссылку на эту работу: https://math.hawaii.edu/numbertheory201 ... ecture.pdf

P. S. Пишу с телефона, кажется, решение здесь немного короче первого полного решения. Я потом повнимательнее сравню.

[nnosipov]

rockclimber
Спасибо, вполне понятно. Здесь хотя бы ссылка на реальную релевантную работу, но в ней нет того, что заявляет ChatGPT o3 (уравнение $x^3+y^4=s^2$ имеет много решений во взаимно простых натуральных числах, вряд ли есть простое описание этого множества).