Проверка способности ChatGPT решать математические задачи

[Rasool]

Rasool в сообщении #1697506 писал(а):

Rasool в сообщении #1697483 писал(а):

Я сам решил задачку по-простецки: взял точку O с одной рациональной (например, ординатой, равной нулю) и одной иррациональной (абсциссой) координатами. Потом провел прямую, параллельную оси абсцисс и с рациональной ординатой и начал проводить лучи из точки O и точек с рациональными координатами на этой прямой. Потом можно рассмотреть бесконечное множество таких прямых.

Упс, кажется я ошибся, если рассматривать точки с рациональными координатами на оси абсцисс. Можно в качестве точки O взять точку с обеими иррациональными координатами - x и y.

Вот для сравнения решение из самого Кванта:

[VoloCh]

Я не очень опытный юзер ИИ, но ни ЧатГПТ5 ни ДипСик не решили задачу, с которой (как мне кажется) может справится школьник 7-11 классов.

Построить таблицу, в первой строке которой стоят цифры, а во второй строке число раз, сколько цифра над ним встречается в этой таблице.

UPD. ЧатГПТ5 справился после указания на ошибку в перночальном решении. Думал 5 минут.

[wrest]

VoloCh
А мне дипсик выдал мгновенно:
Единственная таблица, удовлетворяющая условиям, выглядит так (точки для красоты):

Цифра:..... 0 1 .2 3 4 5 6 7 8 9
Количество: 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1

Ну видимо дипсик решил что в первой строке должны быть все цифры и не повторяться, так что это конечно не единственная.

Значит ли это, дипсик запоминает свои диалоги? Ну то есть вы у него спросили, он запомнил и мне (другому юзеру) выдал уже верный ответ?

[VoloCh]

wrest в сообщении #1699530 писал(а):

VoloCh
А мне дипсик выдал мгновенно:
Единственная таблица, удовлетворяющая условиям, выглядит так (точки для красоты):

Цифра:..... 0 1 .2 3 4 5 6 7 8 9
Количество: 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1

Ну видимо дипсик решил что в первой строке должны быть все цифры и не повторяться, так что это конечно не единственная.

Значит ли это, дипсик запоминает свои диалоги? Ну то есть вы у него спросили, он запомнил и мне (другому юзеру) выдал уже верный ответ?

Хм. похоже... но я дипсик парил наверное месяца два назад и ЧатГпт тоже. Все было плохо. Дипсик даже после 10 указаний на ошибку не справился.
А сейчас я попробовал ГПТ5...
Правда я не много по другому давал условие. я писал в первой строке "некоторые" цифры, а сейчас он воспринял, как "все цифры"

И кстати мне дипсик сейчас выдал другой ответ (правда, не писал что он "единственный")

Цифра:..... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Количество: 1 7 3 2 1 1 1 2 1 1

​​

[zgemm]

А можно ли доказать, что кроме этих двух решений тут нет больше решений? И может ли это какая-либо модель такое доказательство сделать?

[ozheredov]

wrest в сообщении #1699530 писал(а):

вы у него спросили, он запомнил и мне (другому юзеру) выдал уже верный ответ?

Я думаю, этой задаче 100 лет в обед (что ничуть не уменьшает ее потрясающей изящности). Так что наверняка между Вашим и его запросом в базу данных как-то просочилось решение.

[icosahedron2]

Цитата:

Let $p$ be a prime number. Let $s(p)$ be the number of pairs $(a, b)$ such that $1 \le a \le b \le p - 1$ and $\prod_{i = a}^b i \equiv 1 \pmod{p}$. Let $S(p)$ be the cardinality of the set $\{i! \bmod p | 1 \le i \le p - 1\}$. Prove that $S(p) \ge \frac{p^2}{2s(p) + p}$.

DeepSeek писал(а):

Step 1. Reformulate the Definitions

Let $p$ be a prime. Define:

· $s(p)$ : number of pairs $(a, b)$ with $1 \le a \le b \le p - 1$ such that
$\prod_{i = a}^b i \equiv 1 \pmod{p}$.
· $S(p)$ : number of distinct residues modulo $p$ among the factorials
$\{1!, 2!, \dots, (p-1)!\}$.

Note that $0! = 1$, and since $1! = 1$, we can extend the set to include 0! . Thus, the set of factorials becomes:

$\{0!, 1!, 2!, \dots, (p-1)!\}$.

This set still has exactly $S(p)$ distinct elements.

---

Step 2. Rewrite $s(p)$ in Terms of Factorials

For $1 \le a \le b \le p - 1$, observe:

$\prod_{i = a}^b i = \frac{b!}{(a-1)!}$.

So the condition becomes:

$$\frac{b!}{(a-1)!} \equiv 1 \pmod{p} \quad \Leftrightarrow \quad (a-1)! \equiv b! \pmod{p}$$

.

Let $i = a - 1$ and $j = b$ . Then:

· $0 \le i \le p - 2$
· $ i + 1 \le j \le p - 1 $

So $s(p)$ counts the number of pairs $(i, j)$ with $0 \le i < j \le p - 1$ such that:

$i! \equiv j! \pmod{p}$.

---

Step 3. Count the Repeated Values

Let $n = S(p)$, the number of distinct values among $\{0!, 1!, \dots, (p-1)!\}$ . Denote these distinct values by $v_1, v_2, \dots, v_n$.

For each $k = 1, 2, \dots, n$, let $f_k$ be the number of indices $i \in \{0, 1, \dots, p-1\}$ such that $i! \equiv v_k \pmod{p}$ . Then:

$$\sum_{k=1}^n f_k = p$$

.

The number of pairs $(i, j)$ with $i < j$ such that $i! \equiv j! \pmod{p}$ is:

$$s(p) = \sum_{k=1}^n \binom{f_k}{2} = \sum_{k=1}^n \frac{f_k(f_k - 1)}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n f_k^2 - \sum_{k=1}^n f_k \right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n f_k^2 - p \right)$$

.

Multiplying both sides by 2:

$$2s(p) = \sum_{k=1}^n f_k^2 - p \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^n f_k^2 = 2s(p) + p$$

.

---

Step 4. Apply the Cauchy–Schwarz Inequality

We have:

·

$$\sum_{k=1}^n f_k = p $$

·

$$ \sum_{k=1}^n f_k^2 = 2s(p) + p $$

By the Cauchy–Schwarz inequality:

$$\left( \sum_{k=1}^n f_k \right)^2 \le n \cdot \sum_{k=1}^n f_k^2$$

.

Substituting the known values:

$$p^2 \le n \cdot (2s(p) + p) \quad \Rightarrow \quad n \ge \frac{p^2}{2s(p) + p}$$

.

Since $ n = S(p) $, we conclude:

$$S(p) \ge \frac{p^2}{2s(p) + p}$$

.

[lel0lel]

VoloCh в сообщении #1699543 писал(а):

И кстати мне дипсик сейчас выдал другой ответ (правда, не писал что он "единственный")

Снова другой выдаёт:

 0   0   0   0   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
10  10  10  10  10  13  2   3   1   1   1   1   1   1 

Похоже, он не так прост, как пытается казаться)

 0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  7  13   2   1   1   1   2   1   1 

[Klein]

Такое решение ChatGPT Thinking выдал. Доказать , что sin(10 deg) иррациональное число.