Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Батороев в сообщении #1700100 писал(а):

Мне оно без надобности.

Потому, что свое доказательство 07.04.21 я считаю корректным.

(Оффтоп)

Батороев в сообщении #1513210 писал(а):

Доказательство бесконечности простых чисел близнецов.

07.04.2021 г.

Обозначения:
$p_{r}$ - простое число, где $r$ – порядковый номер числа в ряду простых чисел.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{r}\#$.

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.
Функция $\varphi_{2}(p)$ позволяет удалить два вычета из кольца вычетов простого числа.
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения: $(a_{i}-1)\cdot (a_{i}+1) \equiv 0 \pmod p$ (где $a_i$ - натуральные числа от $1$ до $(p-1)$ ) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с $p$, т.е. подразумевается удаление двух остатков: $(\pm 1)\pmod p$.


Доказательство:

Используя функцию $\varphi_{2}(p)$ и свойство ее мултипликативности, можно составить новую функцию:

$$L_{2}(p_{r}\#) = \dfrac{\varphi_{2}(p_{s}\#)\cdot p_{r}\#}{p_s\#} \eqno (1)$$

Функция $L_{2}(p_{r}\#)$ определяет количество пар простых-близнецов, расчитанное при допущении (I), что пары, взаимно простых с примориалом, расположены в нем равномерно (2).

Данная функция не учитывает количество пар простых-близнецов, не превышающих $p_{s}$, обозначим их числом $t$ (3).
Так как в действительности распределение пар, взаимно простых с примориалом, неравномерное, то функция $L_{2}(p_{r}\#)$ имеет погрешность относительно числа $(\pi_{2}(p_{r}\#)-t)$, где $\pi_{2}(p_{r}\#)$ - действительное число пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$.

Для наглядности вышесказанного развернем (1):

$L_{2}(p_{r}\#)=p_{r}\#\cdot\left(1-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}..-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-p_{r}\#\cdot \left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+..+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \eqno(4) $


В выражении (4) число в первой скобке, домноженное на $p_r\#$, соответствует $\varphi_{2}(p_{r}\#)$, т.е. числу пар, взаимно простых с примориалом. Это число достоверное.
Число во второй скобке, домноженное на $p_r\#$ соответствует числу пар, в которых хотя бы одно число кратно простым числам от $p_{r+1}$ до $p_{s}$. Это число в виду допущения (2) является причиной погрешности, поэтому может быть названо "недостоверным числом".

Перепишем (1):

$$L_{2}(p_r\#)= \varphi_{2}(p_r\#) \cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\eqno (5) $$

Дробный коэффициент в (5): $u=\dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_r\#)\cdot p_{s}\#}$ показывает, в какой пропорции в примориале количество пар простых-близнецов меньше количества пар, взаимно простых с примориалом.
Если рассмотреть действительный коэффициент $u_{0}$ для примориала $p_{r}\#$, то также можно записать зависимость:

$$\pi_{2}(p_{r}\#)-t=\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{0}$$

Расчет коэффициента $u_{0}$ на практике сопряжен с большими трудностями, связанными с точным подсчетом числа вхождений простых от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ в правую скобку выражения (4). Для очень больших примориалов задача практически невыполнимая.

Но за то, можно определить теоретические границы коэффициента $u$:

1. Максимальное теоретическое значение $u_{\max}=1\eqno (5.1)$
Наступает в случае отсутствия простых на интервале от $p_{r}$ до $\sqrt {p_{r}\#}$. Хотя примером такого примориала может служить примориал $5\#$, в котором $\pi_{2}(5\#)-t=\varphi_{2}(5\#)$, но при дальнейшем увеличении примориалов такая ситуация повториться не может (математиками доказаны значительно меньшие интервалы, на которых присутствуют простые числа). Поэтому $u_{\max}=1$ является теоретической верхней границей рассматриваемого коэффициента.

2. Для определения теоретической нижней границы коэффициента $u_{\min}$ введем еще одно допущение (II):

На интервале от $p_{r}$ до $p_{s}$ все нечетные числа - простые-близнецы. При этом $p_{s}$ максимально приближено к $\sqrt {p_{r}\#}$.

Допущение (II) предполагает равномерность распределения чисел от $p_{r}$ до $p_{s}$, поэтому использование записи коэффициента в (5) правомерно:

$$u_{\min}= \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\egno (5.2)$$

После сокращения общих членов в числителе и знаменателе, получаем:

$$ u_{\min}= \dfrac {p_{r+1}-2}{p_{r+1}}\cdot\dfrac {(p_{r+1}+2)-2}{p_{r+1}+2}... \cdot \dfrac{p_{s}-2}{p_{s}} =\dfrac {p_{r+1}-2}{p_s}=\dfrac {p_{r}}{p_{s}} \eqno (5.2.1) $$

(в (5.2.1) все числа числителя, кроме первого, сокращаются с числами знаменателя, кроме последнего).

Полученное в (5.2.1) значение $u_{\min}$ является нижней теоретической границей рассматриваемого коэффициента. Действительно, в реальности такое распределение простых-близнецов не возможно** (например, каждое третье число кратно $3$), поэтому исчезновение любого числа из ряда, описанного в допущении (II) (т.е. появлении интервалов, больших $2$) повлечет к уменьшению числа слагаемых в правой скобке (4) (или исчезновению дробей, меньших единицы в (5.2.1) ) и соответственно, увеличению коэффициента $u_{0}$ по сравнению с $u_{\min}$.

Полученная нижняя теоретическая граница $u_{\min}$ позволяет определить и нижнюю теоретическую границу количества пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$:

$$\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}-t= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{\min}\eqno (6)$$

С учетом вышесказанного:

$$\pi_{2}(p_{r}\#)>\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}\eqno (7)$$

Так как $p_{s}<\sqrt {p_{r}\#}$, то:

$$\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}-t= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}>\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{\sqrt {p_{r}\#}}\eqno (8) $$

Начиная с $p_{r}\#=7\#$, число:

$$p_{r}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{\sqrt {p_{r}\#}}=p_{r}\cdot \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3-2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac {5-2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac {7-2}{\sqrt {7}}>1$$

и монотонно возрастает, следовательно, можно записать, что начиная с $p_{r}=7\#$, с учетом неравенств (7), (8):

$$\pi_{2}(p_{r}\#)-t>1 \eqno (9)$$

Неравенство (9) утверждает, что каким бы ни было количество пар простых-близнецов до $p_{s}$, в примориале $p_{r}\#$ всегда существует, как минимум $1$ пара простых-близнецов, превышающих $p_{s}$. (10)

Т.к. простые числа бесконечны, а соответственно, бесконечны примориалы, то с учетом вывода (10) доказано, что простые-близнецы бесконечны.

Батороев в сообщении #1699998 писал(а):

Перепишем (5) в несколько ином виде:

$$\varphi_{2}(p_{s}\#)=p_s\#\cdot \left[\left(1-\dfrac {1}{p_{1}}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{1}\#)}{p_{2}\#}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{2}\#)}{p_{3}\#}-...-\dfrac {\varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-\left(...+\dfrac {\varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right)\right]\egno (6)$$

Первая круглая скобка - это количество чисел, взаино простых с примориалом $p_{r}\#$, в примориале $p_{s}\#$. Вторая круглая скобка описывает количество чисел (от "действия" простых от $p_{r+1}$ до $p_{s}$), на которое уменьшится количество первой скобки в примориале $p_{s}\#$.
Число в первой скобке существенно больше, чем число во второй.
Поэтому то, о чем Вы пишете, просто не может случиться.

Я тогда за счет допущения II сделал вторую скобку максимальной возможной по величине, т.к. приведение к действительному распределению простых чисел, лишь уменьшает эту скобку, прореживая ее.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1700267 писал(а):

Потому, что свое доказательство 07.04.21 я считаю корректным.

Вы можете считать что угодно, но математическое сообщество устроено по другому: должны считать другие люди, профессиональные математики (а не любой двоечник из средней школы и даже не программист как я), только тогда это будет считаться доказательством. За 4 года такого очевидно не произошло. Так что это не доказательство. Что бы Вы там себе ни считали.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1700273 писал(а):

Вы можете считать что угодно, но математическое сообщество устроено по другому: должны считать другие люди, профессиональные математики

Я это уже давно понял. Поэтому и пишу, что "мне оно без надобности".

[vicvolf]

Кстати вот эта тема topic46245.html Вам ничего не напоминает?

[Батороев]

vicvolf
Я чужие темы практически не читаю (зрениие ограничено). Если Ваши выкладки верны, то и Вам ничего "не светит", потому что никто не позволит "ломать стены неприступных крепостей". :)

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1700296 писал(а):

никто не позволит "ломать стены неприступных крепостей"

Передёргиваете. Ломать можно, и их даже ломают, но ломать надо грамотно (доказывая свои выкладки).

[Батороев]

Вам не угодишь. То вы пишите одно, то прямо противоположное.

Dmitriy40 в сообщении #1700327 писал(а):

Передёргиваете. Ломать можно, и их даже ломают, но ломать надо грамотно (доказывая свои выкладки).

Dmitriy40 в сообщении #1700273 писал(а):

Вы можете считать что угодно, но математическое сообщество устроено по другому: должны считать другие люди, профессиональные математики (а не любой двоечник из средней школы и даже не программист как я),

Опять приплетаете слово "доказательство". Хотя и в 2021 г. я писал "доказательство в тезисах", т.е. не собирался приводить в полном объеме (как вы пишете - "грамотно").
И на кого вы опять намекаете в качестве "двоечника из средней школы"?

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1700335 писал(а):

Хотя и в 2021 г. я писал "доказательство в тезисах", т.е. не собирался приводить в полном объеме (как вы пишете - "грамотно").

В переводе на русский - у вас его нет, ничего не доказали. Есть лишь какие-то "мысли на тему", не более. Что бы Вы сами ни думали по этому поводу.

Батороев в сообщении #1700335 писал(а):

И на кого вы опять намекаете в качестве "двоечника из средней школы"?

Ни на кого. Просто антоним к профессиональному математику.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Математик считается профессиональным, если:
1) Уморил себя голодом
2) Слышит голоса
3) Видит несуществующих людей
4) Не моется
5) С воплями убежал в лес и остался там навсегда
6) Гриб
7) Преисполнился так, что весь этот мир стал ему абсолютно понятен
8) Откусил знакомому ухо
9) Носит маску задолго до пандемии
10) Доказал, что круг это такой квадрат, абсолютный квадрат, но круг