Элементарная алгебра для отстающих

[provincialka]

horda2501 в сообщении #1698918 писал(а):

Нужно умножить на 7 для того чтобы внести в знаменателе под корень $7^2$

Что умножить на 7?
Учтите, что корень у вас кубический.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1698918 писал(а):

Вот конкретный пример. $\frac{7}{\sqrt [3]{7}}$. Я рассуждала так. Нужно умножить на 7 для того чтобы внести в знаменателе под корень $7^2$ и далее извлечь уже корень кубический. В числителе, соответственно, тоже одну из 7 сократить и ответ $\frac{7}{1}$.

Ну вы же понимаете [наверное], что $\dfrac{7}{\sqrt [3]{7}} \neq \dfrac{7}{1}$ и такой ответ неверный?

Простой способ: $7=\sqrt[3]{7^3} \Rightarrow \dfrac{7}{\sqrt [3]{7}}=\dfrac{\sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]7}=\sqrt[3]{\dfrac{7^3}{7}}=\sqrt[3]{7^2}=\sqrt[3]{49}$

Универсальный способ (домножить числитель и знаменатель на одно и тоже, но что избавляет от иррациональности знаменатель): $\dfrac{7}{\sqrt[3]7}=\dfrac{7}{\sqrt[3]{7}}\cdot \dfrac{ \sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}}=\dfrac{7 \cdot \sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7^2}}=\dfrac{7 \cdot \sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^3}}=\dfrac{7 \cdot \sqrt[3]{7^2}}{7}=\sqrt[3]{7^2}=\sqrt[3]{49}$

[horda2501]

Это будет $7$. Так решение понятно, но почему нужно именно так, ведь можно и на $7$ умножить?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1698940 писал(а):

Так решение понятно, но почему нужно именно так, ведь можно и на $7$ умножить?

Ну так умножьте и запишите что получилось и почему. Подробно.
Вы же сейчас, как обычно - руками машете. А надо - писать.

[horda2501]

Видимо, я не правильно понимаю действие $\frac{7}{\sqrt [3]{7}}$ $\cdot 7$ и это не равно $\sqrt[3]{7 \cdot 7^2}$. Но разве это неправильно? Показатель степени корня только показывает сколько раз некое число было умножено на себя, но нет ограничений для внесения под корень этого числа с новыми степенями. Или всё-таки есть?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1698942 писал(а):

Видимо, я не правильно понимаю действие $\frac{7}{\sqrt [3]{7}}$ $\cdot 7$ и это не равно $\sqrt[3]{7 \cdot 7^2}$. Но разве это неправильно?

У вас калькулятор есть? Посчитайте одно и другое. Умеете калькулятором пользоваться?

[horda2501]

Если умножить числитель и знаменатель на $7$ и при условии что можно под корень в знаменателе внести $7^2$ получается что в знаменателе из кубического корня извлекается та же $7$. А в числителе $49$. Где же ошибка в моих рассуждениях/счётах? Почему нужно именно $\sqrt [3]{7^2}$ брать в качестве способа избавления от иррациональности в знаменателе?

-- 19.08.2025, 16:13 --

Если я умножаю $2 \cdot \sqrt{2}$ это же $\sqrt{2^2 \cdot 2}$?

[rascas]

horda2501 в сообщении #1698945 писал(а):

под корень в знаменателе внести $7^2$

А откуда квадрат то взялся? Корень то у нас кубический. Двойки там вообще нет.

horda2501 в сообщении #1698945 писал(а):

Если я умножаю $2 \cdot \sqrt{2}$ это же $\sqrt{2^2 \cdot 2}$?

Здесь правильно. Здесь корень квадратный. ($\sqrt {...} \equiv \sqrt [2] {...}$)

[horda2501]

Да, я посмотрела другие примеры из этого упражнения и там тот же принцип. Видимо, оно призвано показать, что так нельзя делать. Почему-то этой мысли не было в объяснении. А из-за чего это так? Почему нельзя вносить под корень с другим показателем степени, так же как и под квадратный корень?

[rascas]

horda2501 в сообщении #1698948 писал(а):

Почему нельзя вносить под корень с другим показателем степени, так же как и под квадратный корень?

Если по очень простому объяснить то:
(a и b - положительные, действительные числа, n - натуральное число)
Из
$\sqrt [n] {a^n} = \Bigl(\sqrt [n] {a}\Bigr) ^n = a$
и
$\sqrt [n] {a} \cdot \sqrt [n] {b} = \sqrt [n] {a \cdot b}$

Следует:
$a \cdot \sqrt [n] {b} = \sqrt [n] {a^n} \cdot \sqrt [n] {b} = \sqrt [n] {a^n \cdot b}$

-- 19.08.2025, 16:54 --

horda2501 в сообщении #1698948 писал(а):

так же как и под квадратный корень?

Под квадратный корень другой показатель степени тоже нельзя, можно только двойку (квадрат).

[wrest]

horda2501 в сообщении #1698945 писал(а):

Если я умножаю $2 \cdot \sqrt{2}$ это же $\sqrt{2^2 \cdot 2}$?

Да, так. Но в задаче по которой вопрос - корень кубический,а не квадратный: об этом говорит маленькая троечка на знаке корня: $\sqrt[3]{}$
Поэтому $2 \cdot \sqrt[3]2= \sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt[3]2=\sqrt[3]{2\cdot 2^3}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}$