Какое число показать?

[worm2]

EUgeneUS в сообщении #1693483 писал(а):

Можно попробовать так:
1. Чтобы избавиться от сигнов и хэвисайдов разбить область интегрирования на области $x>y$ и $x<y$
2. Для одной из областей сделать замену $x \leftrightarrow y$
3. воспользоваться (если это делаем до постановки $f(x,y) = ...$):

Да, но это только если известен конкретный вид функции $g$, так что неравенство $x(1-2g(y)) + y(1-2g(x)) \geqslant 0$ решается в замкнутом виде (потому что именно в этой области нужно брать интеграл). То есть получается ещё разбиение по области неотрицательности этого выражения.

Shadow в сообщении #1693486 писал(а):

worm2 в сообщении #1693477 писал(а):

оптимальная стратегия для Боба такова: существуют некие оптимальные $x_1$ и $x_2$, $0<x_1<x_2<1$, что если Бобу предъявляют число, меньшее $x_1$, то он говорит "это минимум, а спрятан максимум", если предъявлено число, большее $x_2$, то Боб говорит "это максимум", в противном случае (на интервале $[x_1, x_2]$) Боб выбирает ответ с вероятностью $0.5$.

wrest в сообщении #1693478 писал(а):

Причем из соображений симметрии и общей гармонии математического мира, $x_2=1-x_1$, да?

Вы, кажется, не обратили внимание моему сообщению

Shadow в сообщении #1693470 писал(а):

Боб рассуждает так:
Если увижу число меньше $x$, скажу что спрятано большее.
Если увижу число, больше $y$ - что спрятано меньшее.
В остальных случаях кидаю монетку.

Расчеты показывают, что Боб не может ни при каких $x,y$ сделать выигрыш Алисы отрицательным. Минимум равен нулю при $x=0,y=1$.

Да, у меня после длиннющих вычислений так же вышло

Shadow в сообщении #1693486 писал(а):

И Боб минимизирует функцию $F(x,y)=x^2\cdot \frac x 3+(1-y)^2[y+\frac 2 3(1-y)]-2x(1-y)\cdot \frac x 2$
при $0 \le x \le y\le 1$

И функция у меня, что удивительно, точно такая же получилась

В общем, если и есть у Боба выигрывающая стратегия, то она более сложная, и мой численный эксперимент её не нащупал...

[EUgeneUS]

worm2 в сообщении #1693501 писал(а):

И функция у меня, что удивительно, точно такая же получилась

В общем, если и есть у Боба выигрывающая стратегия, то она более сложная, и мой численный эксперимент её не нащупал...

Shadow
worm2

Вы не могли бы более подробно рассказать о Вашем решении.
Либо я чего-то не понимаю, либо там ошибки

Вроде бы договорились, что Боб не может проиграть - если он проигрывает, то он инвертирует стратегию и выигрывает.
Более того, он может инвертировать стратегию только на тех числах, на которых проигрывает, чем максимизирует выигрыш.

-- 07.07.2025, 16:44 --

mihaild в сообщении #1693495 писал(а):

Тут, кстати, важна не вероятность быть больше/меньше, а среднее.

Что ж такое
Третий раз на те же грабли.

Но мысль понятная, и вроде бы рабочая:

1. Боб видит какое-то число $\xi$
2. Для данного числа $\xi$ рассчитывается $W_1$ - средняя стоимость игры (при условии, что выпало такое число). То есть выигрыш Боба, если он всё время будет угадывать.
3. Для данного числа $\xi$ (т.е. при условии, что выпало такое число) рассчитывается $W_2$ - средний выигрыш Боба, если он говорит "выпало большее число".
4. Из условия $2 W_2 = W_1$ для любого $\xi$ - получаем интегральное уравнение на $f(x,y)$.

[Shadow]

EUgeneUS в сообщении #1693504 писал(а):

Shadow
worm2

Вы не могли бы более подробно рассказать о Вашем решении.
Либо я чего-то не понимаю, либо там ошибки

Shadow в сообщении #1693470 писал(а):

У Боб есть нулевая стратегия - Не гляда ни на что, случайно и равновероятно говорить "спрятано меньшее" или "спрятано большее". Что бы там Алиса не прятала, его равновероятно выиграет либо он, либо она. Выигрыш ноль.
С ничьей в кармане, можно поборотся и за победу.
Интуитивно не хочется кидать монетку, если увижу число $0,000001$ или $0.99999$

Тоест, Ноль у Боба есть - если играет совершенно случайно. И интуиция подсказывает (ошибочно) что если в некотрых крайний случаях (ну если уж очень болшое или очень маленкое число показали) играет "логично" а не "случайно", то для него будет лучше. Если ему показали число меньше $x$ или больше $y$ - играть "логично". Ну, оказалось, что лучше для него $x=0,y=1$, тоесть, с такой статегии улучшить свой результат нельзя.

[EUgeneUS]

Shadow в сообщении #1693505 писал(а):

Ну, оказалось, что лучше для него $x=0,y=1$, то есть, с такой стратегии улучшить свой результат нельзя.

Итого, какая стратегия Алисы?

-- 07.07.2025, 16:59 --

Shadow в сообщении #1693505 писал(а):

Ноль у Боба есть - если играет совершенно случайно.

Это да. Но если Алиса выигрывает, то Боб инвертирует стратегию - и теперь выигрывает он.
Нужно добиться нуля со стороны Алисы, для любых стратегий Боба.

-- 07.07.2025, 17:19 --

EUgeneUS в сообщении #1693504 писал(а):

4. Из условия $2 W_2 = W_1$ для любого $\xi$ - получаем интегральное уравнение на $f(x,y)$.

Попробую записать исправленное интегральное уравнение.

1. Общая стоимость игры, при условии, что показано $\xi$

$$W_1 = \int\limits_{0}^{1} f(\xi, y) y dy + \int\limits_{0}^{1} f(x, \xi) x dx$$

Введем вспомогательную функцию $h(x,y) = f(x,y) + f(y,x)$, подставим её во второй интеграл:

$$W_1 = \int\limits_{0}^{1} h(\xi, y) y dy$$

2. Выигрыш Боба, если он говорит "показано большее".

$$W_2 = \int\limits_{0}^{\xi} f(\xi, y) y dy - \int\limits_{\xi}^{1} f(\xi, y) y dy + \int\limits_{0}^{\xi} f(x, \xi) x dx - \int\limits_{\xi}^{1} f(x, \xi) x dx$$

подставим $h(x,y)$ в третий и четвертый интеграл.

$$W_2 = \int\limits_{0}^{\xi} h(\xi, y) y dy - \int\limits_{\xi}^{1} h(\xi, y) y dy$$

или

$$W_2 = \int\limits_{0}^{1} h(\xi, y) y dy - 2 \int\limits_{\xi}^{1} h(\xi, y) y dy$$

3. Записываем $W_1 = 2W_2$

$$\int\limits_{0}^{1} h(\xi, y) y dy = 2 \int\limits_{0}^{1} h(\xi, y) y dy - 4 \int\limits_{\xi}^{1} h(\xi, y) y dy$$

или

$$\int\limits_{0}^{1} h(\xi, y) y dy = 4 \int\limits_{\xi}^{1} h(\xi, y) y dy$$

[worm2]

EUgeneUS в сообщении #1693504 писал(а):

Вроде бы договорились, что Боб не может проиграть - если он проигрывает, то он инвертирует стратегию и выигрывает.

Я полностью согласен с этим утверждением. Однако у меня попытка найти выигрывающую стратегию Боба вида:

$$g_1(x)=\begin{cases} 0, x<x_1\\ 0.5, x_1<x<x_2\\ 1, x>x_2 \end{cases}$$

(с учётом того, что Алиса знает эту стратегию и действует против неё) провалилась.

EUgeneUS в сообщении #1693504 писал(а):

Вы не могли бы более подробно рассказать о Вашем решении.

Я взял вот эту функцию оценки:

worm2 в сообщении #1693339 писал(а):

$$\begin{align}P[f;g]=\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(x,y)\left[x(1-2g(y))+y(1-2g(x))\right]\operatorname{sgn}(x-y)\,dx\,dy+\\ +\int\limits_0^1\int\limits_0^1 2g(y)x\operatorname{sgn}(x-y)\,dx\,dy+\int\limits_0^1\int\limits_0^1 -x\operatorname{sgn}(x-y)\,dx\,dy=I_1+I_2-\frac16,\end{align}$$

подставил в неё

worm2 в сообщении #1693477 писал(а):

$f(x,y)=\theta\left(\operatorname{sgn}(x-y)\left[x(1-2g(y))+y(1-2g(x))\right]\right)$

(здесь исправил ошибку: в процитированном сообщении были пропущены коэффициенты 2).
Потом подставил туда $g_1(x)$ в качестве $g(x)$, долго и нудно вычислял интегралы по разным кусочкам области, в результате у меня (ну то есть у нас с Wolfram'ом, это, знаете ли, сила) получилось:

$$P[f(g_1);g_1]=\frac{x_1^3}{3} + x_2 x_1^2 - x_1^2 + \frac{x_2^3}{3} - x_2 + \frac23,$$

что с точностью до обозначений и равносильных преобразований, совпадает с

Shadow в сообщении #1693486 писал(а):

$F(x,y)=x^2\cdot \frac x 3+(1-y)^2[y+\frac 2 3(1-y)]-2x(1-y)\cdot \frac x 2$
при $0 \le x \le y\le 1.$

EUgeneUS в сообщении #1693506 писал(а):

Итого, какая стратегия Алисы?

А вот этого я не знаю. Я же не решил задачу до конца, а всего лишь рассмотрел один конкретный вид стратегии для Боба (на который меня натолкнули результаты численного моделирования, но там интегралы считались по квадратурным формулам, с погрешностью, и получилось, что якобы у Боба есть выигрывающая стратегия) и убедился, что против неё стандартная "анти-стратегия" Алисы обеспечивает ей не проигрыш. При этом у меня получается, что любая "анти-стратегия" Алисы против известной ей стратегии Боба — чистая. Это меня несколько фрустрирует. Наверное, идеальная стратегия Алисы в равновесии Нэша — тоже смешанная, но я не понимаю, как до этого дойти.
Я умею строить "анти-стратегию" для Алисы против Боба, но для Боба я не умею строить "анти-стратегию" против известной ему стратегии Алисы, там нужно минимизировать страшный функционал, а как?
При этом мы знаем, что у Боба есть прекрасная стратегия $g(x)\equiv 0.5$, обнуляющая любую стратегию Алисы настолько хорошо, что она даже не может против него конкретную "анти-стратегию" выстроить, потому что подынтегральная функция — всегда ноль. Это похоже на равновесие Нэша со стороны Боба, но со стороны Алисы непонятно что должно быть.

[EUgeneUS]

worm2 в сообщении #1693509 писал(а):

всего лишь рассмотрел один конкретный вид стратегии для Боба (на который меня натолкнули результаты численного моделирования, но там интегралы считались по квадратурным формулам, с погрешностью, и получилось, что якобы у Боба есть выигрывающая стратегия) и убедился, что против неё стандартная "анти-стратегия" Алисы обеспечивает ей не проигрыш.

Тут проблема в том, что разбиение областей для Боба не фиксировано.
Боб берёт стратегию Алисы, какая бы она не была забубенная. И считает для каких показанных чисел у него выигрывает "больше", а для каких - "меньше".
Если Вы фиксируете количество областей для Боба, и находите выигрышную стратегию для Алисы, то Боб просто будет разбивать на большее количество областей.
ИМХО, это тупиковый путь.

-- 07.07.2025, 17:41 --

EUgeneUS в сообщении #1693506 писал(а):

$$\int\limits_{0}^{1} h(\xi, y) y dy = 4 \int\limits_{\xi}^{1} h(\xi, y) y dy$$

Но решать такое не умею
Даже не знаю - есть решения или нет.

про $h(x, y)$ можно сказать, что
а) она симметрична: $h(x, y) = h(y, x)$ (по построению и это использовалось)
б) должна быть ограничена на $[ 0,1]^2$

Тогда $f(x,y)$ можно будет восстановить как $f(x,y) = A h(y, x) + H(x,y)$,
где $H(x,y) = - H(y,x)$ - любая антисимметричная функция.

[Shadow]

EUgeneUS в сообщении #1693506 писал(а):

Итого, какая стратегия Алисы?

Вот она:

Алиса в стране чудес говорила писал(а):

Откуда я знаю, что я думаю? Вот скажу - тогда узнаю!

Мы, кажется, согласились, что Боб не может проиграть. И начали искать для него выигрышную стратегию.
Я теорию игр не изучал, с теорией и определениями незнаком, но для меня утверждение "Игрок А имеет выигрышную стратегию" означает, что при любой игре игрока Б он выигрывает. Что, само с собой подразумывает, что игроку Б известна стратегия игрока А и ничего не может сделать. По крайней мере для меня так. И только такую стратегию буду искать.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1693510 писал(а):

б) должна быть ограничена на $[ 0,1]^2$

Кстати, забавно получится, если найдется $h(x,y)$, удовлетворяющая уравнению, но которая не ограничена в $[ 0,1]^2$ на подмножестве меры ноль.

Это будет означать, что Алиса может сделать свой проигрыш сколь угодно малым, но не может сделать его нулевым.

[mihaild]

Я немного запутался. У вас $f(x, y)$ - вероятность того, что будет показан $x$ на паре $(x, y)$ (для всех пар из квадрата?), а $h(x, y) = f(x, y) + f(y, x)$?
Тогда какая-то нормировка нужна. Иначе возьмите $h(x, y) = 0$, и из

EUgeneUS в сообщении #1693510 писал(а):

$f(x,y) = A h(y, x) + H(x,y)$,

получится, например, $f(x, y) = 0$, т.е. "всегда показывать второе число". А это ни к чему хорошему не приводит.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1693514 писал(а):

У вас $f(x, y)$ - вероятность того, что будет показан $x$ на паре $(x, y)$ (для всех пар из квадрата?),

Да.

mihaild в сообщении #1693514 писал(а):

а $h(x, y) = f(x, y) + f(y, x)$?

Да.

mihaild в сообщении #1693514 писал(а):

получится, например, $f(x, y) = 0$, т.е. "всегда показывать второе число". А это ни к чему хорошему не приводит.

Согласен. Меня сразу смущало, что $h(x, y)$ из интегрального уравнения определено с точностью до константы.
Но пока ошибку у себя не нашёл Возможно, где-то в подстановках $h(x, y)-f(x, y)$ вместо $f(y, x)$
Да, если положить $f(x,y)\equiv 0$, то сразу же получается $W_1 = 0$, что очевидно неверно.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1693504 писал(а):

Из условия $2 W_2 = W_1$

По-моему это неправильное условие. Нужно, чтобы Боб, увидев $\xi$, имел одинаковое ожидание выигрыша, говоря "меньше" и "больше" (и т.к. они отличаются знаком, то оба равны нулю).
Если $L_\xi$ и $G_\xi$ - ожидания выигрыша слева и справа (включая вероятность того, что мы окажемся слева/справа), то $W_2 = G_\xi - L_\xi$, $W_1 = G_\xi + L_\xi$, и правильное условие $G_\xi = L_\xi$, а у вас $G_\xi = 3 L_\xi$.

EUgeneUS в сообщении #1693506 писал(а):

$$W_1 = \int\limits_{0}^{1} f(\xi, y) y dy + \int\limits_{0}^{1} f(x, \xi) x dx$$

Если выпали $x, \xi$, то вероятность показать $\xi$ (то что под вторым интегралом) $1 - f(x, \xi)$.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1693518 писал(а):

Если выпали $x, \xi$, то вероятность показать $\xi$ (то что под вторым интегралом) $1 - f(x, \xi)$.

Да, тоже нашел сейчас эту ошибку. Но Вы были быстрее.

-- 07.07.2025, 19:52 --

mihaild в сообщении #1693518 писал(а):

По-моему это неправильное условие. Нужно, чтобы Боб, увидев $\xi$, имел одинаковое ожидание выигрыша, говоря "меньше" и "больше" (и т.к. они отличаются знаком, то оба равны нулю).
Если $L_\xi$ и $G_\xi$ - ожидания выигрыша слева и справа (включая вероятность того, что мы окажемся слева/справа), то $W_2 = G_\xi - L_\xi$, $W_1 = G_\xi + L_\xi$, и правильное условие $G_\xi = L_\xi$, а у вас $G_\xi = 3 L_\xi$.

И тут Вы правы. Правильное условие, да, $W_2 = 0$

[wrest]

Предлагаю такую рабоче-крестьянскую стратегию Алисы: с вероятностью 2/3 показывать бОльшее число.
Сдаётся мне, это сводит выигрыш Боба к нулю.

alice_strat_show_max_23(x,y)=if(random(3)<2,return([max(x,y),min(x,y)]),return([min(x,y),max(x,y)]));

Что мы тут имеем:

1. ? simulate_game(10^5, alice_strat_show_max_23, bob_strategy_say_min); 
2. Bob guess rate = 67 percent.  
3. Bob avegage prize = -0.00016294432220514863729476928710937500000 
4. Best approximation = 0 
5. time = 378 ms. 
6. ? simulate_game(10^5, alice_strat_show_max_23, bob_strategy_say_max); 
7. Bob guess rate = 33 percent. 
8. Bob avegage prize = -0.00019834311420097947120666503906250000000 
9. Best approximation = 0 
10. time = 382 ms. 
11. ? simulate_game(10^5, alice_strat_show_max_23, bob_strategy_random); 
12. Bob guess rate = 50 percent. 
13. Bob avegage prize = 0.0023925783862639218568801879882812500000 
14. Best approximation = 0 
15. time = 409 ms. 
16. ? 

Три разные стратегии Боба
1. Говорить "больше"
2. Говорить "меньше"
3. Говорить случайно
Дают три разных вероятности угадывания. Но выигрыш при всех трёх - ноль.

[mihaild]

wrest в сообщении #1693531 писал(а):

Предлагаю такую стратегию Алисы: с вероятностью 2/3 показывать бОльшее число

Стратегия Боба "говорим меньше если видим число $>0.5$, иначе говорим больше" дает выигрыш $\frac{1}{24}$ (wolfram).

[wrest]

mihaild в сообщении #1693532 писал(а):

Стратегия Боба "говорим меньше если видим число $>0.5$, иначе говорим больше" дает выигрыш $\frac{1}{24}$ (wolfram
).

Чорт... да:
"Боб говорит меньше если показанное ему число больше 1/2"
bob_strategy_half(S)=if(S>1/2,return(-1),return(1));

1. ? simulate_game(10^5, alice_strat_show_max_23, bob_strategy_half); 
2. Bob guess rate = 75 percent. 
3. Bob avegage prize = 0.25029971820584032684564590454101562500 
4. Best approximation = 1/4 
5. time = 400 ms. 
6. ? 

У меня получилось 1/4 -> проверьте ваш вольфрам