Вроде бы договорились, что Боб не может проиграть - если он проигрывает, то он инвертирует стратегию и выигрывает.
Я полностью согласен с этим утверждением. Однако у меня попытка найти выигрывающую стратегию Боба вида:

(с учётом того, что Алиса знает эту стратегию и действует против неё) провалилась.
Вы не могли бы более подробно рассказать о Вашем решении.
Я взял вот эту функцию оценки:
подставил в неё
(здесь исправил ошибку: в процитированном сообщении были пропущены коэффициенты 2).
Потом подставил туда

в качестве

, долго и нудно вычислял интегралы по разным кусочкам области, в результате у меня (ну то есть у нас с Wolfram'ом, это, знаете ли, сила) получилось:
![$$P[f(g_1);g_1]=\frac{x_1^3}{3} + x_2 x_1^2 - x_1^2 + \frac{x_2^3}{3} - x_2 + \frac23,$$ $$P[f(g_1);g_1]=\frac{x_1^3}{3} + x_2 x_1^2 - x_1^2 + \frac{x_2^3}{3} - x_2 + \frac23,$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/9/1c9b1d8bd676841d78b3f6ff867185d882.png)
что с точностью до обозначений и равносильных преобразований, совпадает с
![$F(x,y)=x^2\cdot \frac x 3+(1-y)^2[y+\frac 2 3(1-y)]-2x(1-y)\cdot \frac x 2$ $F(x,y)=x^2\cdot \frac x 3+(1-y)^2[y+\frac 2 3(1-y)]-2x(1-y)\cdot \frac x 2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/3/903f0236e51fa41880536c88b504a1ab82.png)
при

Итого, какая стратегия Алисы?
А вот этого я не знаю. Я же не решил задачу до конца, а всего лишь рассмотрел один конкретный вид стратегии для Боба (на который меня натолкнули результаты численного моделирования, но там интегралы считались по квадратурным формулам, с погрешностью, и получилось, что якобы у Боба есть выигрывающая стратегия) и убедился, что против неё стандартная "анти-стратегия" Алисы обеспечивает ей
не проигрыш. При этом у меня получается, что любая "анти-стратегия" Алисы против известной ей стратегии Боба — чистая. Это меня несколько фрустрирует. Наверное, идеальная стратегия Алисы в равновесии Нэша — тоже смешанная, но я не понимаю, как до этого дойти.
Я умею строить "анти-стратегию" для Алисы против Боба, но для Боба я не умею строить "анти-стратегию" против известной ему стратегии Алисы, там нужно минимизировать страшный функционал, а как?
При этом мы знаем, что у Боба есть прекрасная стратегия

, обнуляющая любую стратегию Алисы настолько хорошо, что она даже не может против него конкретную "анти-стратегию" выстроить, потому что подынтегральная функция — всегда ноль. Это похоже на равновесие Нэша со стороны Боба, но со стороны Алисы непонятно что должно быть.