Точное количество кортежей из простых чисел в интервале

[Yadryara]

Это понятно. Энти все аномалии вроде бы сильно выше 1e30, практически интересного диапазона.

А я тем временем всё подбирался к этой неуловимой константе. Обратите особое внимание на последний столбец. Эта сходимость куда-то к 0.1726 — свойство нулей или какая-то техническая особенность?

Используется синтаксис Text

Zeros      po                 |sz|                Sum|sz|              sred

1       10000               139195              900276363             90028
10      10000               171368             1331232484            133123
10^2    10000               183015             1604809531            160481
10^3    10000               166673             1700134166            170013
10^4    10000               194864             1721360182            172136
10^5    10000               197800             1724177191            172418
10^6    10000               195003             1724961362            172496

1       70000                16765             6301573748             90022
10      70000                57569             9320493824            133150
10^2    70000                 1695            11247383712            160677
10^3    70000               118036            11885628527            169795
10^4    70000               124984            12043964310            172057
10^5    70000               143606            12073168359            172474
10^6    70000               146850            12078135936            172545

1      100000               122815             9002293421             90023
10     100000               161541            13315241559            133152
10^2   100000               334696            16068596690            160686
10^3   100000               301317            16983028632            169830
10^4   100000               327975            17205014312            172050
10^5   100000               315867            17245888382            172459

1      125000               136494            11252862408             90023
10     125000               268568            16647124366            133177
10^2   125000               146573            20073991102            160592
10^3   125000               154253            21228909304            169831
10^4   125000               228757            21502748259            172022
10^5   125000               240968            21556755412            172454

1      250000                75603            22505673238             90023
10     250000               226428            33292989782            133172
10^2   250000               189964            40150003553            160600
10^3   250000               325828            42407717991            169631
10^4   250000               257542            42948901721            171796

1      400000               115936            36009052749             90023
10     400000               228743            53257052847            133143
10^2   400000               230202            64213154241            160533
10^3   400000               220369            67868537694            169671
10^4   400000               204832            68739019920            171848

1      500000               129842            45011347142             90023
10     500000               173535            66572561594            133145
10^2   500000                83187            80252871814            160506
10^3   500000                25828            84815012483            169630

1     1000000                99362            90022571971             90023
10    1000000               178442           133152447455            133152
10^2  1000000               373457           160511604562            160512
10^3  1000000               447390           169659558631            169660
 

[Yadryara]

Интересненько. Казалось бы среднее по модулю для суммы по двум нулям должно быть примерно равно среднему по одному нулю. Ведь знаки-то для 2-го нуля разные, то плюс, то минус, в среднем вроде как 2-й ноль не должен вносить вклада, равно как и последующие нули, но нет, как видим, каждый ноль вносит свой уменьшающийся вклад 17-12% от себя среднего.

Zeros        po            sred

1        100000           90023
2        100000           60550
1+2      100000          100534 +  0.174
3        100000           50898
1+2+3    100000          109530 +  0.177
4        100000           41843
1+..4    100000          115424 +  0.141
5        100000           38655
1+..5    100000          120189 +  0.123

Соотношение между средними равны соотношению между самими нулями, это заметил.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1691758 писал(а):

Спасибо за проявленный интерес. Оценка эмпирическая.

Обозначу

$x=10^{po}$

$$szo =\frac{\left|\sum\limits_{i=1}^{10^6} \operatorname{li}(x^{\rho_i})\right|\ln {x}}{\sqrt{x}}$$

$Sszo =\sum\limits_{i=1}^{po} szo$

$sred=\frac{Sszo}{po}$

Величины в трёх правых столбцах умножены на миллион и округлены:

   po                  szo               Sszo              sred
    1               102641             102641            102641
    2               414333             516974            258487
    3                48273             565247            188416
    4               152500             717748            179437
    5               170294             888042            177608
    6               411019            1299061            216510
    7               462003            1761064            251581
    8               174761            1935825            241978
    9                51071            1986896            220766
   10               422021            2408917            240892
...
43398               343194         7487956780            172542
43399               383286         7488340067            172546
43400                 2648         7488342714            172542

Это интересное наблюдение. Все верно. Если предположить, что выполняется гипотеза Римана, то $szo(k)$ являются слабо зависимыми случайными величинами и их среднее, на основании Закона больших чисел, стремится к мат. ожиданию при неограниченном увеличении числа нулей.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1692857 писал(а):

Это интересное наблюдение.

Конечно интересное. Но... все молчат почему-то. Про эту константу больше никто ничего не знает? Никто ещё не копал в этом направлении или просто никто не в курсе?

Или может никто потому и не копал, потому что она нафиг никому не сдалась. Она же беззнаковая. То есть средняя сумма по нулям, эта важная поправка к $li(x)$ понятно какая, но знак-то непонятен.

Но, с другой стороны, есть такая смутная идея, что можно оба знака рассмотреть, один за другим.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1692857 писал(а):

Если предположить, что выполняется гипотеза Римана, то $szo(k)$ являются слабо зависимыми случайными величинами

А что здесь $k$? Номер нуля? Кстати, на всякий случай проверил разные знаки. Множитель при $\dfrac{\sqrt{x}}{\log{x}}$:

Для первого нуля: 0.090024 и -0.090022

Для второго нуля: 0.060550 и -0.060550

Для их суммы: 0.100542 и -0.100523

Очевидно, что не только бесконечная, но и конечная сумма нулей(проверено и для миллиона и для тысячи) подчиняются определённому правилу.

Будем приближаться к первому же простому числу $2$ слева, увеличивая $x$ скажем с шагом $0.000001$, каждый раз перевычисляя первую строку, то есть $J(x)$ с точностью до тысячных. Сначала $J(x)$ как бы стоит на месте, значение всё время $0.000$, затем примерно в точке $1.997960$ начинает раскачиваться, методично оказываясь по обе стороны от нуля, со всё возрастающей амплитудой.

Длина волны при этом примерно постоянная — $0.000021-22$. В точке $2.000000$ значение как раз $0.500$, но теперь уже оно не возвращается к $0.000$, а быстро-быстро идёт к единице и начинает колебаться уже около неё, и теперь колебания уже затухают, амплитуда уменьшается и примерно в точке $2.002190$ происходит устаканивание — значение $J(x)$ теперь снова как бы стоит на месте, оно теперь всё время $1.000$.

И, продолжая увеличивать $x$ c каждым шагом на $0.000001$, на походе к 3-м, но уже пораньше, примерно в точке $2.996767$ сумма по дзета-нулям вновь почувствует простое число и начнёт колебаться, методично оказываясь по обе стороны теперь уже от единички, со всё возрастающей амплитудой. Длина волны при этом при этом снова постоянная, но уже гораздо больше — примерно $0.000032$.

В точке $3.000000$ значение как раз $1.500$, но теперь уже оно не возвращается к $1.000$, а быстро-быстро идёт к 2-ке и начинает колебаться уже около неё, и теперь колебания уже затухают, амплитуда уменьшается и примерно в точке $3.003111$ происходит устаканивание — значение $J(x)$ теперь снова как бы стоит на месте, оно теперь всё время $2.000$.

Ну и так далее. Вблизи числа 4 снова колебательный подъём но уже не на 1-цу, а $0.5$. 6-ка не является простой степенью, поэтому $J(x)$ спокойно как бы стоит на $3.500$ почти на всём пути от 5 до 7, начиная колебаться только вблизи этих чисел.

То есть большое количество нулей, сложенных вместе, ведут себя согласованно, почти как единое целое. Но тогда какая-то согласованность должна быть и у маленького количества нулей, просто её трудно обнаружить.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1692916 писал(а):

vicvolf в сообщении #1692857 писал(а):

Если предположить, что выполняется гипотеза Римана, то $szo(k)$ являются слабо зависимыми случайными величинами

А что здесь $k$? Номер нуля?

Да, и сходится довольно быстро. Поэтому достаточно сравнительно небольшого числа нулей. Сходится с вероятностью равной 1.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1692920 писал(а):

Да, и сходится довольно быстро. Поэтому достаточно сравнительно небольшого числа нулей.

Что к чему сходится? Какое именно сравнительно небольшое число нулей? И для чего именно их достаточно?

Без цифр трудно понять о чём речь.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1692968 писал(а):

vicvolf в сообщении #1692920 писал(а):

Да, и сходится довольно быстро. Поэтому достаточно сравнительно небольшого числа нулей.

Что к чему сходится? Какое именно сравнительно небольшое число нулей? И для чего именно их достаточно?
Без цифр трудно понять о чём речь.

Так я пишу о Вашей таблице:

   po                  szo               Sszo              sred
    1               102641             102641            102641
    2               414333             516974            258487
    3                48273             565247            188416
    4               152500             717748            179437
    5               170294             888042            177608
    6               411019            1299061            216510
    7               462003            1761064            251581
    8               174761            1935825            241978
    9                51071            1986896            220766
   10               422021            2408917            240892
...
43398               343194         7487956780            172542
43399               383286         7488340067            172546
43400                 2648         7488342714            172542

[Yadryara]

Ну так вот именно что очень не быстро сходится. Если бы быстро сходилось, тогда бы я знал хотя бы 5 знаков этой константы. А я так и не знаю.

[vicvolf]

Вы писали, что у Вас есть доступ к 10 млн. нулей, а здесь только 43400 и уже совпадают 5 знаков. Сколько у Вас считаются на компе - это другой вопрос. Я имею в виду сходимость по количеству нулей.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1693002 писал(а):

Вы писали, что у Вас есть доступ к 10 млн. нулей,

Я уже давал ссылку, где лежат 103 миллиарда нулей. В довольно-таки открытом доступе. Ещё до последних проблем с Интернетом я скачал оттуда миллион нулей, а Дмитрий — 10 миллионов.

vicvolf в сообщении #1693002 писал(а):

Вы писали, что у Вас есть доступ к 10 млн. нулей, а здесь только 43400 и уже совпадают 5 знаков.

Приплыли. И ведь написано же в шапке "po" (от слова power — степень). А перед этим я внятно написал что именно за po, и Вы же это совсем недавно цитировали, буквально вот только вчера.

vicvolf в сообщении #1693002 писал(а):

и уже совпадают 5 знаков.

Не-а, совпадают только три знака — 172, а дальше пока непонятно: 5-ка или 6-ка. За неделю я досчитал до po=70000 и показал результат.

[Yadryara]

Что-то тишина. То ли всё стало понятно, но неинтересно. То ли непонятно, но никто не признаётся, ибо в это и вникать неинтересно.

po — это степень десятки и $x=10^{po}$, как и было написано. И количество нулей тоже было точно указано в том же посте:

Yadryara в сообщении #1691758 писал(а):

$$szo =\frac{\left|\sum\limits_{i=1}^{10^6} \operatorname{li}(x^{\rho_i})\right|\ln {x}}{\sqrt{x}}$$

Видите: суммирование идёт от 1 до $10^6$. То есть брал ровно миллион первых нулей.

В другой таблице, где слева именно количество первых нулей в сумме, там написано Zeros.

Yadryara в сообщении #1692916 писал(а):

То есть большое количество нулей, сложенных вместе, ведут себя согласованно, почти как единое целое. Но тогда какая-то согласованность должна быть и у маленького количества нулей, просто её трудно обнаружить.

Тем не менее, обнаружил. Начинал прям с первого нуля. Чем больше беру нулей, тем больше простых чисел удаётся обнаружить. Ну вот данные по сумме 14 первых нулей. maxgap — это максимальное положительное изменение нормированной суммы по этим самым 14 нулям на участке роста. Напомню, что сумма по конечному числу нулей изменяется волнами: рост — падение — рост — падение...

Zeros        x      maxgap
sum 14    1.99     0.04685
sum 14    3.00     0.03722
sum 14    5.01     0.02631
sum 14    7.00     0.01856
sum 14   11.07     0.00985
sum 14   12.92     0.00610
sum 14   16.84     0.00656
sum 14   19.00     0.00472
sum 14   23.08     0.00301
sum 14   28.93     0.00199
sum 14   31.42     0.00172
sum 14   36.82     0.00109
sum 14   42.14     0.00275
sum 14   47.44     0.00196

Здесь хорошо видно, что числа до 37 включительно ловятся, а вот дальше — увы.

Кстати, ловятся и бо́льшие степени простых, в данном случае $4$, $8$ и $9$ — для них maxgap заметно меньше чем для простых. $25$ — не ловится.

[Yadryara]

Кстати, насчёт кортежей. Вот для суммы по 15 нулям довольно хорошо видно:

zeros        x      maxgap    comment
sum 15    2.02     0.04163
sum 15    3.02     0.04209
sum 15    4.04     0.01791        2^2
sum 15    4.99     0.02832
sum 15    7.05     0.01749
sum 15    7.96     0.00776        2^3
sum 15    8.89     0.00607        3^2
sum 15   11.01     0.00852
sum 15   12.91     0.00765
sum 15   16.93     0.00683
sum 15   19.00     0.00577
sum 15   23.06     0.00387
sum 15   28.57     0.00175       bliz
sum 15   31.05     0.00207       bliz
sum 15   37.05     0.00154
sum 15   41.91     0.00278       bliz
sum 15   47.43     0.00154
sum 15   53.18     0.00107
sum 15   59.77     0.00212       bliz

То есть maxgap находится где-то посередине между близнецами и его значение где-то вдвое больше тренда. То есть эти первые 15 нулей как бы пытаются двух зайцев сразу поймать и между ними с двойным усердием бегут. Значение для 31 (близнец) тоже явно велико.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1693706 писал(а):

Ну потому что там они пишут, что потратили немеряно машинного времени. И как-то выбрали какие-то "оптимальные" параметры (в т.ч. где остановиться), что помогло достигнуть вычисления $\pi ^n$ используя $n/2$ предвычисленных нулей дзета-функции Римана.

И не просто потратили машинное время, а ещё и выложили весьма точные эти нули в открытый доступ. Большие Молодцы.

На всякий случай уточню, вдруг кто не понимает. Платт сотоварищи не в два раза меньшим количеством нулей смогли обойтись, а на порядки меньшим.

wrest, вы так и не ответили, Дербишира читали?

[wrest]

Yadryara в сообщении #1693718 писал(а):

Платт сотоварищи не в два раза меньшим количеством нулей смогли обойтись, а на порядки меньшим.

Дада, это я не точно выразился. Точнее выразился тут:

wrest в сообщении #1688855 писал(а):

можно ли вычислить $\pi(x)$ имея предвычисленный массив из $x^{1/n}$ нетривиальных нулей дзета-функции и сейчас все крутится вокруг $n=2$: вот Платт точно посчитал $\pi(10^{24})$ имея $7\cdot 10^{10}$ нулей дзета-функции ($n\approx 2,4$),

Т.е. не количество в два раза меньше, а порядок количества в два раза меньше.

-- 09.07.2025, 16:03 --

Yadryara в сообщении #1693718 писал(а):

вы так и не ответили, Дербишира читали?

Неа.