Точное количество кортежей из простых чисел в интервале

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1690289 писал(а):

Это означает, что вероятность появления кортежа при $x=6.47e+07$ равна $0.65132951$.

А какова вероятность появления хотя бы одного такого кортежа в диапазоне $0-6.47e7$ ?

Или Вы ровно об этом и говорите?

-- 13.06.2025, 20:32 --

Перепроверил. Похоже что об этом. Только не интегрируете почему-то.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1690290 писал(а):

vicvolf в сообщении #1690289 писал(а):

Это означает, что вероятность появления кортежа при $x=6.47e+07$ равна $0.65132951$.

А какова вероятность появления хотя бы одного такого кортежа в диапазоне $0-6.47e7$ ? Или Вы ровно об этом и говорите?

Да, в правкой колонке - функция распределения $F(x)$.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1690290 писал(а):

Только не интегрируете почему-то.

Да, отказ от интегрирования выглядит странным. Ведь давным-давно известно что интегральный логарифм даёт гораздо лучшее приближение к $\pi(x)$ чем просто логарифм. Или Вы думаете, что для 8-й степени это будет иначе?

Проверим. По Вашему прогнозу в интервале $0 - 1660 000 000$ ожидается 7.17 кортежей по паттерну [0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26].

Теперь посчитаем по HL1.

C0 = 178.2619543965;

intnum(t=10,  1.66e9, C0/log(t)^8) = 13.62
intnum(t=100, 1.66e9, C0/log(t)^8) = 12.46

Как уже знаем intnum чувствителен к стартовой точке интегрирования. Возьмём пока среднее значение — 13 штук. Теперь посмотрим на реальное количество таких кортежей, то есть на A022011:

1 11
2 15760091
3 25658441
4 93625991
5 182403491
6 226449521
7 661972301
8 910935911
9 1042090781
10 1071322781
11 1170221861
12 1394025161
13 1459270271
14 1712750771

Как видим, их как раз 13 штук. 14-й кортеж уже выше $1660 000 000$

Можно конечно ещё посчитать, на бо́льших числах.

[Yadryara]

Теперь глянем на симметричный предыдущему паттерн 8-26-3 с такой же константой: A022013.

Таких кортежей в том же диапазоне 14, а не 13. Но не 7 же.

Yadryara в сообщении #1690346 писал(а):

Можно конечно ещё посчитать, на бо́льших числах.

Давайте хотя бы до триллиона посмотрим. Сначала посчитаем по-Вашему: 525 штук.

Теперь посчитаем по HL1 — 758 штук:

C0 = 178.2619543965;

intnum(t=10,   1e12, C0/log(t)^8) = 758.80
intnum(t=100,  1e12, C0/log(t)^8) = 757.64
intnum(t=1000, 1e12, C0/log(t)^8) = 757.52

Теперь смотрим на фактические количества:

[0, 2, 6,  8, 12, 18, 20, 26]; до 10^12   781 кортеж
[0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26]; до 10^12   783 кортежа

В одном случае положительная флуктуация на 23 кортежа, в другом на 25.

И теперь надо бы посмотреть сумму по дзета-нулям для этого же интервала.

Посмотрел. Сумма по миллиону дзета-нулей большая и положительная: $1440.070$.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1690346 писал(а):

Yadryara в сообщении #1690290 писал(а):

Только не интегрируете почему-то.

Да, отказ от интегрирования выглядит странным. Ведь давным-давно известно что интегральный логарифм даёт гораздо лучшее приближение к $\pi(x)$ чем просто логарифм. Или Вы думаете, что для 8-й степени это будет иначе?

Да, через интеграл будет точнее. У меня была другая цель - показать, как считаются вероятности.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1690352 писал(а):

В одном случае положительная флуктуация на 23 кортежа, в другом на 25.

vicvolf, основная задача вроде другая. Можно ли хотя бы частично предсказать вот эти флуктуации? То есть определить, что кортежей на самом деле будет не 525 и не 758, а побольше, например, 770-790?

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1690368 писал(а):

основная задача вроде другая.

Я отвечаю на Ваш вопрос:

Yadryara в сообщении #1689976 писал(а):

vicvolf в сообщении #1689975 писал(а):

Я предлагаю новый инструмент -определение расстояния между кортежами.

Этот инструмент уже готов? Как с его помощью считать? Посчитайте какие-нибудь расстояния для примера, пожалуйста.

Кстати я уже говорил, что расстояния между простыми кортежами при выполнении Х-Л имеют экспоненциальное распределение.

vicvolf в сообщении #1689953 писал(а):

То есть вероятность, что случайная величина с экспоненциальным распределением не превысит своё среднее значение, примерно равна 63.2%. Это объясняет, что реальное значение было меньше среднего значения подсчитанного по HL1.

Поэтому вместо среднего значения лучше брать медиану, т.е. там где вероятность $F=0,5$. Посмотрите этот кусок таблицы:

2.88e+07 0.677326 0.49202653
4.31e+07 0.842982 0.56957484
6.47e+07 1.053628 0.65132951

2.88e+07 значительно ближе к реальному расстоянию, чем 6.47e+07.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688857 писал(а):

Почему? Таковы флуктуации. А кто за них отвечает? Те самые нули дзета-функции. Правильно понимаю?

Вот именно, но там более сложная зависимость, чем в формуле Римана. Для нахождения аналитики требуется кроме гипотезы Харди-Литтлвуда выполнение расширенной гипотезы Римана. Хотя оценку отклонения от формулы Х-Д можно сделать проще.

[Yadryara]

Я вот тут уже несколько дней пытаюсь посчитать константу для среднего значения модуля суммы по дзета-нулям. Вроде как она сходится примерно к

$$0.1725\frac{\sqrt{x}}{\ln{x}}$$

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1691738 писал(а):

Я вот тут уже несколько дней пытаюсь посчитать константу для среднего значения модуля суммы по дзета-нулям. Вроде как она сходится примерно к

$$0.1725\frac{\sqrt{x}}{\ln{x}}$$

Откуда взялась такая оценка? Это сильнее расширенной гипотезы Римана. Если предположить выполнение гипотезы Харди-Литтлвуда и расширенной гипотезы Римана, то возможна только оценка $<<x^{1/2}\ln^k(x)$.

[Yadryara]

Спасибо за проявленный интерес. Оценка эмпирическая.

Обозначу

$x=10^{po}$

$$szo =\frac{\left|\sum\limits_{i=1}^{10^6} \operatorname{li}(x^{\rho_i})\right|\ln {x}}{\sqrt{x}}$$

$Sszo =\sum\limits_{i=1}^{po} szo$

$sred=\frac{Sszo}{po}$

Величины в трёх правых столбцах умножены на миллион и округлены:

   po                  szo               Sszo              sred
    1               102641             102641            102641
    2               414333             516974            258487
    3                48273             565247            188416
    4               152500             717748            179437
    5               170294             888042            177608
    6               411019            1299061            216510
    7               462003            1761064            251581
    8               174761            1935825            241978
    9                51071            1986896            220766
   10               422021            2408917            240892
...
43398               343194         7487956780            172542
43399               383286         7488340067            172546
43400                 2648         7488342714            172542

[Yadryara]

И тишина. Никто не спрашивает, а почему ты шагаешь по степеням десятки.

Это один из способов обеспечить случайность каждой szo (относительной суммы по дзета-нулям). Ведь первый ноль, этот маятник с самым огромным периодом и амплитудой среди всех нулей, переходит от одного экстремума к другому по 10-11 раз за каждый десятичный порядок.

И каждый раз шагая на порядок выше, попадаешь вроде бы на случайное, непредсказуемое значение szo. Можно и поменьше делать шаги.

Пока что szo по этой выборке лежат в пределах от 17 до 891211.

Ещё ранее я вычислял это значение в двух аномалиях — зонах Литлвудовых нарушений. Для первого известного нарушения в районе $10^{316}$ значение $szo>1019000$. А рекордное значение — $szo>1194000$ пока в районе $10^{9608}$, это другое Литлвудово нарушение.

Это было установлено Картером Бейсом и Ричардом Хадсоном в конце 90-х. Они тоже использовали 1 миллион нулей. Их работа.

Как же ведут себя эти szo, эти суммы по дзета-нулям? Да, нули стремятся сократить друг друга, наибольше количество сумм ближе всего к нулю. Вот текущая статистика, разбил на интервалы по 40 тысяч.

    40000   7035
    80000   6910
   120000   6481
   160000   5961
   200000   5138
   240000   4380
   280000   3567
   320000   2870
   360000   2131
   400000   1575
   440000   1143
   480000   720
   520000   500
   560000   302
   600000   170
   640000   111
   680000   61
   720000   29
   760000   8
   800000   5
   840000   1
   880000   0
   920000   2
   960000   0
  1000000   0

Больше всего значений в интервале $0 - 39999$ — 7035 штук, в интервале $40000 - 79999$ уже поменьше — 6910 значений, ну и так далее. Аномалии Литлвудовых нарушений здесь не учтены.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1691809 писал(а):

Это было установлено Картером Бейсом и Ричардом Хадсоном в конце 90-х. Они тоже использовали 1 миллион нулей. Их работа.

Так это же о количестве простых чисел, о котором мы говорили в другой теме. Вы же в этой теме говорите о количестве простых кортежей. Так можно все перепутать. Я Вам отвечаю на вопрос относительно количества кортежей. Зачем Вы вносите путаницу. Это разные вопросы.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1691825 писал(а):

Я Вам отвечаю на вопрос относительно количества кортежей. Зачем Вы вносите путаницу. Это разные вопросы.

Простите. А помните как Вы в теме про симметричные кортежи обсуждали обычные? Ничего, разобрались.

Я уже говорил, что не люблю скакать по темам. Темы очень и очень близкие. Участники обсуждения всё равно раз за разом одни и те же. Что мешает считать простое число кортежем длиной 1 и диаметром 0?

Предлагаю преспокойно обсуждать здесь и переходить к более длинным кортежам, когда понадобится.

И кстати, ещё одна тема есть, где кортежи обсуждаются: «Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.»

Я бы тоже здесь обсуждал потому что ну никак названию той темы не соответствует.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1691826 писал(а):

Что мешает считать простое число кортежем длиной 1 и диаметром 0?

Для простых кортежей формула Римана, которая справедлива для простых чисел, не работает. С аналитической точки зрения для кортежей работают более сложные зависимости из-за многомерности задачи.

Распределение кортежей зависит от корреляций между простыми числами. Формула Римана основана на анализе одной дзета-функции, а для кортежей требуется теория L-функций высших степеней.

Даже при предположении справедливости гипотезы Харди-Литтлвуда (Х-Л) прямого аналога формулы Римана (с суммой по нулям дзета-функции) для кортежей не существует даже гипотетически. Однако, можно сделать оценку отклонения от формулы Х-Л.

При совместном предположении Х-Л и расширенной гипотезы Римана действительно существует возможность получить оценки для количества простых кортежей с явным остаточным членом, выраженным через сумму по нулям дзета-функции Римана. Это является нетривиальным обобщением классической формулы Римана для простых чисел.