Точное количество кортежей из простых чисел в интервале

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1690289 писал(а):

Это означает, что вероятность появления кортежа при $x=6.47e+07$ равна $0.65132951$.

А какова вероятность появления хотя бы одного такого кортежа в диапазоне $0-6.47e7$ ?

Или Вы ровно об этом и говорите?

-- 13.06.2025, 20:32 --

Перепроверил. Похоже что об этом. Только не интегрируете почему-то.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1690290 писал(а):

vicvolf в сообщении #1690289 писал(а):

Это означает, что вероятность появления кортежа при $x=6.47e+07$ равна $0.65132951$.

А какова вероятность появления хотя бы одного такого кортежа в диапазоне $0-6.47e7$ ? Или Вы ровно об этом и говорите?

Да, в правкой колонке - функция распределения $F(x)$.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1690290 писал(а):

Только не интегрируете почему-то.

Да, отказ от интегрирования выглядит странным. Ведь давным-давно известно что интегральный логарифм даёт гораздо лучшее приближение к $\pi(x)$ чем просто логарифм. Или Вы думаете, что для 8-й степени это будет иначе?

Проверим. По Вашему прогнозу в интервале $0 - 1660 000 000$ ожидается 7.17 кортежей по паттерну [0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26].

Теперь посчитаем по HL1.

C0 = 178.2619543965;

intnum(t=10,  1.66e9, C0/log(t)^8) = 13.62
intnum(t=100, 1.66e9, C0/log(t)^8) = 12.46

Как уже знаем intnum чувствителен к стартовой точке интегрирования. Возьмём пока среднее значение — 13 штук. Теперь посмотрим на реальное количество таких кортежей, то есть на A022011:

1 11
2 15760091
3 25658441
4 93625991
5 182403491
6 226449521
7 661972301
8 910935911
9 1042090781
10 1071322781
11 1170221861
12 1394025161
13 1459270271
14 1712750771

Как видим, их как раз 13 штук. 14-й кортеж уже выше $1660 000 000$

Можно конечно ещё посчитать, на бо́льших числах.

[Yadryara]

Теперь глянем на симметричный предыдущему паттерн 8-26-3 с такой же константой: A022013.

Таких кортежей в том же диапазоне 14, а не 13. Но не 7 же.

Yadryara в сообщении #1690346 писал(а):

Можно конечно ещё посчитать, на бо́льших числах.

Давайте хотя бы до триллиона посмотрим. Сначала посчитаем по-Вашему: 525 штук.

Теперь посчитаем по HL1 — 758 штук:

C0 = 178.2619543965;

intnum(t=10,   1e12, C0/log(t)^8) = 758.80
intnum(t=100,  1e12, C0/log(t)^8) = 757.64
intnum(t=1000, 1e12, C0/log(t)^8) = 757.52

Теперь смотрим на фактические количества:

[0, 2, 6,  8, 12, 18, 20, 26]; до 10^12   781 кортеж
[0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26]; до 10^12   783 кортежа

В одном случае положительная флуктуация на 23 кортежа, в другом на 25.

И теперь надо бы посмотреть сумму по дзета-нулям для этого же интервала.

Посмотрел. Сумма по миллиону дзета-нулей большая и положительная: $1440.070$.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1690346 писал(а):

Yadryara в сообщении #1690290 писал(а):

Только не интегрируете почему-то.

Да, отказ от интегрирования выглядит странным. Ведь давным-давно известно что интегральный логарифм даёт гораздо лучшее приближение к $\pi(x)$ чем просто логарифм. Или Вы думаете, что для 8-й степени это будет иначе?

Да, через интеграл будет точнее. У меня была другая цель - показать, как считаются вероятности.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1690352 писал(а):

В одном случае положительная флуктуация на 23 кортежа, в другом на 25.

vicvolf, основная задача вроде другая. Можно ли хотя бы частично предсказать вот эти флуктуации? То есть определить, что кортежей на самом деле будет не 525 и не 758, а побольше, например, 770-790?

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1690368 писал(а):

основная задача вроде другая.

Я отвечаю на Ваш вопрос:

Yadryara в сообщении #1689976 писал(а):

vicvolf в сообщении #1689975 писал(а):

Я предлагаю новый инструмент -определение расстояния между кортежами.

Этот инструмент уже готов? Как с его помощью считать? Посчитайте какие-нибудь расстояния для примера, пожалуйста.

Кстати я уже говорил, что расстояния между простыми кортежами при выполнении Х-Л имеют экспоненциальное распределение.

vicvolf в сообщении #1689953 писал(а):

То есть вероятность, что случайная величина с экспоненциальным распределением не превысит своё среднее значение, примерно равна 63.2%. Это объясняет, что реальное значение было меньше среднего значения подсчитанного по HL1.

Поэтому вместо среднего значения лучше брать медиану, т.е. там где вероятность $F=0,5$. Посмотрите этот кусок таблицы:

2.88e+07 0.677326 0.49202653
4.31e+07 0.842982 0.56957484
6.47e+07 1.053628 0.65132951

2.88e+07 значительно ближе к реальному расстоянию, чем 6.47e+07.