Почему математика работает?

[EminentVictorians]

Ende
Выделено из темы «Аксиома выбора.»

george66 в сообщении #1622458 писал(а):

Между тем, основной вопрос оснований математики содержательный -- почему она вообще работает? Если мы выдумываем математику "из головы", почему она полезна для изучения реальности?

По этому поводу написаны терабайты букв, но я так до сих пор и не понял, в чем тут люди видят проблему. Математика эффективна там, где есть хороший процесс моделирования реальности математикой. Там, где моделирование плохое - математика неэффективна. Т.е. благодарить надо не математику, а тех, кто смог сделать правильное моделирование. А с математики какой спрос? Она просто генерирует верные утверждения из верных и все.

[george66]

EminentVictorians в сообщении #1622642 писал(а):

По этому поводу написаны терабайты букв, но я так до сих пор и не понял, в чем тут люди видят проблему. Математика эффективна там, где есть хороший процесс моделирования реальности математикой. Там, где моделирование плохое - математика неэффективна. Т.е. благодарить надо не математику, а тех, кто смог сделать правильное моделирование. А с математики какой спрос? Она просто генерирует верные утверждения из верных и все.

Вот так дарвинизм часто объясняют. Выживают самые приспособленные! А кто такие самые приспособленные? Это те, кто выживают! И не поспоришь. Математика эффективна там, где хорошо работает! А где плохо, там не эффективна! Какую реальность моделирует теория множеств? Это фантастическая теория, придуманная сумасшедшим. Почему математика хорошо работает, стоя на таком основании? Кантор и Марков-младший оба считали, что изучают реальность, при этом реальность у них была очень разная. Кантор оказал гораздо большее влияние -- значит ли это, что он правильно видел реальность? Или сумасшедшие сильнее увлекают? (это тоже требует объяснения). Кстати, Гёдель тоже считал, что множества реальны и сравнивал их с электронами (которых не видно, но мы верим, что они есть). Это позволило ему правильно поставить вопрос и доказать теорему о полноте. Если считать, что истинность формул реальна и осмыслена, можно спрашивать, все ли истинные формулы доказуемы? Крайзель пишет: что мешало Эрбрану и Скулему доказать теорему о полноте? Вся необходимая техника у них была. Эрбран не верил, что истинность осмыслена, а Скулем вообще не различал истинность и доказуемость. Дальше Гёдель упустил случай открыть тезис Чёрча. Он (Гёдель) ввёл первое определение вычислимой функции (рекурсивность по Гёделю-Эрбрану, Эрбран подал идею, но не доделал). Но он считал, что этот класс функций связан с арифметикой, а в теории множеств вычислимых функция должно быть больше. Потому что верил в реальность множеств и с их помощью надеялся что-то новое вычислить. Тоже спятил, умер от голода, боялся, что отравят. Конечно, мы его благодарим, что сделал правильное моделирование, но интересно, как психам это удаётся?

-- 16.12.2023, 19:57 --

Продолжая аналогию с дарвинизмом: кто процветает, тот и правильно всё делает, это замечательно. Но хочется понять, почему безногие, безмозглые, холоднокровные животные вдруг становятся процветающей группой хищников? И если бы не было змей, кто бы мог это предсказать? И почему лягушки так не могут?

[EminentVictorians]

george66 в сообщении #1622668 писал(а):

Математика эффективна там, где хорошо работает! А где плохо, там не эффективна!

Ну да. В одних науках математика работает хорошо, в других - не очень. Никакого порочного круга нету.

Вы можете задать вопрос, почему в принципе существуют области знаний (типа физики), в которых математика работает хорошо. Но это уже будет другой вопрос. Я тут вижу как минимум 3 объяснения:

1) "Антропный принцип": если бы математика нигде не работала, люди бы ей либо не занимались, либо занимались бы менее широко, и такой вопрос просто звучал бы глупо. Вас же не удивляет, почему, например, оригами, не является эффективным инструментом в физике. С математикой было бы так же.

2)Но математика иногда работает. Тут, кстати, тоже все не так однозначно: я думаю найдутся физики, которые будут утверждать, что математика работает в физике не так хорошо, как принято считать, что нужна новая математика и т.п. Какие аргументы они будут приводить, я не знаю, но наверняка какие-нибудь найдутся (я не раз видел обсуждения про "неконсистентность" стандартной модели, буквально сегодня здесь на форуме спрашивали про какие-то проблемы в квантовой электродинамике (расходящиеся интегралы?), наверняка есть что-то еще; но тут я некомпетентен).

3)Но даже если признать, что математика действительно работает в физике хорошо, то тоже можно попытаться найти объяснение. Я, к сожалению, очень плох в физике, поэтому физики наверняка будут сейчас смеяться, но я вижу все так, что физика во многом базируется (сама по себе, априори) на идее оптимальности и вариационных принципах, а в математике это тоже одни из ключевых идей (в самом общем смысле я понимаю так, что оптимальность находит выражения в категорной универсальности: универсальные стрелки, универсальные объекты, представимые функторы и т.п. - это все в некотором смысле воплощения нашего желания найти универсальное решение той или иной задачи).

[lel0lel]

EminentVictorians в сообщении #1622686 писал(а):

Вас же не удивляет, почему, например, оригами, не является эффективным инструментом в физике.

Почему же не является, как минимум в физической технологии является. Различные складывания--развертывания солнечных батарей в космосе, по-моему, Red Herring приводил ссылку на форуме. Сюда же можно отнести изучение складывающихся крыльев летучих мышей в биофизике. В общем, думаю, оригами весьма не бесполезная вещь в физике.

Одно время, действительно, считалось, что всё в физике можно свести к вариационным задачам, но, оказалось, это не так.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1622703 писал(а):

Различные складывания--развертывания солнечных батарей в космосе

Классный пример, не знал, спасибо!

lel0lel в сообщении #1622703 писал(а):

Одно время, действительно, считалось, что всё в физике можно свести к вариационным задачам, но, оказалось, это не так.

А можете чуть подробнее это место рассказать?

[Anton_Peplov]

Эх, раз пошла такая философия, вставлю и свои дилетантские пять копеек.

Вопрос № 1. Почему математика позволяет нам что-то понять о мире?

Эмпирическая гипотеза: любая наука превращается в математику, как только рассуждения становятся достаточно строгими, чтобы без разногласий отличать доказанное от недоказанного. В сущности, математика = строгое мышление.

Поэтому есть так много не похожих друг на друга областей математики. Есть математика, выросшая из физики: матанализ, дифуры и т.д. Своя математика выросла из экономики: теория паросочетаний, теория коллективного выбора и прочее-прочее, что физикам нужно чуть менее чем никак. Из лингвистики и программирования выросла совсем третья математика: все эти порождающие грамматики и $P \ne NP$. Наверное, и этика с юриспруденцией когда-нибудь дорастут до матаппарата.

Так что вопрос, почему математика работает, это в точности вопрос, почему мышление работает. Наивный ответ: потому что особи с неработающим мышлением вымерли. Но этот ответ не объясняет, почему мышление работает настолько хорошо, чтобы понимать что-то про квантовую механику и черные дыры. Сообразительному примату это точно не нужно было для выживания. Сторонники гипотезы макиавеллевского интеллекта вообще уверяют нас, что мозг эволюционировал исключительно ради социальных отношений и интриг. По-видимому, решая эту задачу, эволюция нащупала пусть трудоемкий и несовершенный, но универсальный весьма широко применимый способ отыскивать причины вещей. Он и называется абстрактным мышлением. Вот в кембрии эволюция нашла способ зарываться в ил: нужно, чтобы на одном конце тела был рот, а на другом, пардон, анальное отверстие. А не как у этих ваших медуз, все через одну дырку. И оказалось, что это техническое решение хорошо не только в иле, но и вообще в любой среде, включая и близко тогда никем не освоенные сушу и воздух. В итоге $>99\%$ видов животных происходят от тех кембрийских невзрачных тварей, скорее всего, похожих на червей - первопредков клады билатериев. Решения, в том числе эволюционные, иногда оказываются применимыми далеко за пределами исходной задачи. Так, видимо, случилось и с мышлением. Можно спросить, почему, но, по-моему, единственный возможный ответ - а почему нет?

Вопрос № 2. Почему разные и непохожие друг на друга области математики можно свести к единым основаниям?

Попытка ответа. Потому что вся математика - это строгое выражение абстрактного мышления человека. В основе этого мышления лежат какие-то фундаментальные понятия. Возможно, такие как "объект", "отношение", "свойство" (никак не претендую на качество данного списка). И раз мы способны думать об этих понятиях, мы способны думать о них и строго, то есть математически (см. вопрос № 1). Разная математическая обработка этих фундаментальных понятий дает разные теории: теорию множеств, теорию категорий и что там еще есть. А поскольку эти понятия фундаментальные для нашего мышления, к ним можно свести любые другие понятия, доступные строгому мышлению. Вот и получается формулировка всей математики на едином языке.

[sergey zhukov]

george66 в сообщении #1622642 писал(а):

Если мы выдумываем математику "из головы", почему она полезна для изучения реальности?

А голова-то откуда у нас такая? Наверное, тоже из той реальности, для которой она математику выдумывает. Т.е. не совсем наша голова "из параллельной вселенной".

george66 в сообщении #1622668 писал(а):

Вот так дарвинизм часто объясняют. Выживают самые приспособленные! А кто такие самые приспособленные? Это те, кто выживают!

Я бы сказал, что дарвинизм - это про то, что мутации, имеющие положительную обратную связь (катализируют возникновение самих себя) кардинально отличаются от мутаций, имеющих отрицательную обратную связь (катализируют собственное уничтожение). Хотя вторых случается каждый день гораздо больше, чем первых, но накапливаются, множатся и поэтому имеют значение только первые. Трудно сказать, какая мутация какой обратной связью будет обладать. Но мы знаем, что накопятся только с положительной обратной связью.

Anton_Peplov в сообщении #1622798 писал(а):

В сущности, математика = строгое мышление.

Семихатов любит повторять, что математика - это рафинированная логика. Я тоже думаю, что математика может быть и выдумывает какие-то странные объекты и правила оперирования с ними, но зато внутри этих определений она совершенно последовательна и непротиворечива. Есть хороший шанс, что это приведет к успеху. Нестрогому мышлению этого не хватает, т.е. оно противоречиво и непоследовательно. Тут как раз есть хороший шанс, что из этого ничего не выйдет.

[mihaild]

На мой взгляд, правильный вопрос тут не "почему математика работает", а "почему вообще существуют рассуждения, которые работают".

sergey zhukov в сообщении #1622809 писал(а):

А голова-то откуда у нас такая? Наверное, тоже из той реальности, для которой она математику выдумывает

Но голова оптимизировалась не под выдумывание математики.

[EminentVictorians]

george66 в сообщении #1622668 писал(а):

Какую реальность моделирует теория множеств?

Да самую обычную. Мы хотим говорить о собраниях предметов - а это множества. Предметы - это элементы. Наличие предмета в собрании - это принадлежность. Да, действительно можно вместо бинарного отношения $\in$ использовать, например, тернарное отношение $\circ$ (композиция), т.е. вместо той же ZFC взять в качестве оснований ETCC (элементарная теория категории категорий). Но, блин, нафига? Я могу понять, когда в качестве оснований берут теорию типов - это дает профит для пруфчекинга. Но я не могу представить человека, который действительно по дефолту мыслит категориями или мереологией (спасибо epros-у за упоминание оной). Что бы там ни было, категории в любом случае останутся по крайней мере на уровне интуиции множествами объектов и множествами стрелок.

Anton_Peplov в сообщении #1622798 писал(а):

Потому что вся математика - это строгое выражение абстрактного мышления человека.

Лично мне не очень нравится такое объяснение. Я вполне допускаю строгие рассуждения, в которых нету никакой математики.

Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен.

Чем не строгое рассуждение без математики?

[lel0lel]

EminentVictorians в сообщении #1622789 писал(а):

можете чуть подробнее это место рассказать?

Пожалуй приведу несколько ссылок на тему, обсуждавшуюся на форуме ранее:
https://dxdy.ru/post909742.html#p909742
https://dxdy.ru/post909805.html#p909805
Может быть это не самый развернутый ответ, но факт в том, что существуют системы, динамика которых не может быть получена из вариационного принципа. Но, пожалуй, вы были близки к истине, так как принцип Гамильтона, наверное, один из самых эффективных инструментов в теоретической физике. Его значение и влияние на современную науку сложно переоценить.

про оригами и технологии

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1622816 писал(а):

Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен. Чем не строгое рассуждение без математики?

То же самое с точностью до обозначений: $\forall x \in X \, P(x) \wedge y \in X \Rightarrow P(y)$

mihaild в сообщении #1622813 писал(а):

Но голова оптимизировалась не под выдумывание математики.

А билатериальное строение тела оптимизировалось не под заселение суши. Но оказалось, что хорошо работает.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1622821 писал(а):

$\forall x \in X \, P(x) \wedge y \in X \Rightarrow P(y)$

Подобную строчку можно сопоставить любому логическому рассуждению. В таком случае математика содержит в себе любое логическое рассуждение, и сам вопрос про ее эффективность и неэффективность в каких-то науках теряет смысл: разумеется, в любой науке будет математика хотя бы потому что сложно заниматься наукой, не имея в распоряжении логики. Но мне кажется, это все же слишком широкая трактовка математики. Лично я не отношу рассуждение про Сократа к математике.

Более того, вообще не понятно, действительно ли общезначимость этой строчки является каким-то глубоким фактом. Почему она общезначима? Да потому что она выводима из аксиом исчисления предикатов, а сами аксиомы не появились бы без аристотелевских силлогизмов. Так что обоснование силлогизма через исчисление предикатов, которое без этих самых силлогизмов вряд ли бы появилось - такое себе занятие. Вот если бы сами аксиомы исчисления предикатов были бы выведены как-нибудь инвариантно (а не просто приняты в качестве аксиом) - вот тогда да, было бы круто. А пока не очень.

Само по себе исчисление предикатов - как формальная теория - это да, математика. Ну так и никаких Сократов там нету, а есть просто строчки специального вида.

В общем, мой тезис в том, что есть Логика, а есть её математические формализации. Можно, конечно, принять определение, согласно которому никаких логик, кроме формальных математических, нету. Но лично я считаю, что Логика и различные ее формализации - не тождественные сущности.



lel0lel, спасибо.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1622821 писал(а):

А билатериальное строение тела оптимизировалось не под заселение суши. Но оказалось, что хорошо работает.

Билатеральное строение полезно для заселения много чего. А то, для заселения чего оно не полезно, никто и не заселил.
Голова тоже полезна для придумывания много чего. Но мне видится некоторым чудом, что среди этого всего оказалась полезная для описания мира математика.

[sergey zhukov]

mihaild в сообщении #1622813 писал(а):

Но голова оптимизировалась не под выдумывание математики.

Тем не менее голова - продукт того же мира вокруг нее, который она объясняет. Почему бы тому, что приходит в эту голову, не быть согласованным с тем, что ее породило? Не так уж это невозможно.

Почему все ко всему подходит в этом мире - на этот вопрос мы уже привыкли давать объяснение: эволюционный процесс все ко всему непрерывно притирает. Почему бы это не должно касаться и головы с ее мыслями?

[mihaild]

sergey zhukov в сообщении #1622829 писал(а):

Почему бы тому, что приходит в эту голову, не быть согласованным с тем, что ее породило? Не так уж это невозможно

Потому что большинство способов предсказывать поведение тигра не требуют уметь решать диффуры.
Антропный принцип говорит, что мы должны уметь замечать тигра. Он не говорит, что мы должны быть в состоянии понять биохимию этого замечания.