Аксиома выбора.

[talash]

george66 в сообщении #1622215 писал(а):

Далее, Андрюша Бауэр, основатель математики 21-го века (шутка, он всё время рекламирует HoTT как "основания математики 21-го века")

А есть основания считать HoTT новыми основаниями математики на Ваш взгляд?

[george66]

talash в сообщении #1622357 писал(а):

А есть основания считать HoTT новыми основаниями математики на Ваш взгляд?

Излагал подробно после смерти Воеводского
topic121326.html

[talash]

george66 в сообщении #1622359 писал(а):

Излагал подробно после смерти Воеводского
topic121326.html

Сурово!

[talash]

Резюмируя тему, можно ли сделать вывод, что её участники не разделяют идею "обобщения оснований математики"? То есть, нам не нужны всё более громоздкие основания математики из которых можно вывести всю математику и классическую и современную. А должно быть так, вот есть некие минимальные основания из которых можно вывести арифметику, элементарную алгебру, классический матанализ, назовём это "традиционной математикой". Вот есть другие основания, более навороченные и из них можно вывести всё предыдущее и ещё современный анализ. Хотите ввести свои третьи основания, ещё более навороченные, чтобы из них получалось всё предыдущее и ещё что-то новое. Пожалуйста, только делайте это отдельным разделом, а не пытайтесь навязать всем свои взгляды, чтобы выбросить предыдущие проверенные основания.

Если так смотреть на ситуацию, то теория множеств это более общие основания математики, позволяющие вывести "традиционную математику" до середины 19-го века и много всего нового. Однако, её агрессивные адепты переписали "традиционную математику" под новые основания, то есть, сделали то же самое, что хотят сейчас сделать агрессивные адепты HoTT. Насколько я понял из истории, основания "традиционной математики" не были чётко сформулированы, поэтому сейчас трудно к ним вернуться.

[george66]

Ну, если держаться близко к теме ("Аксиома выбора"), то началось всё с Цермело -- сведение всей математики к одной теории, добавление фантастических аксиом для удобства. Кантор рассматривал теорию множеств не как "основания", а как некоторую продвинутую математику (как сейчас воспринимают теорию меры или функциональный анализ, допустим). Также он не сомневался, что изучает некоторую "глубокую реальность", а не выдумывает из головы что хочет (вопрос сложный, кончил жизнь он в сумасшедшем доме). Когда Цермело ввёл аксиому выбора, математиков, практически работавших с множествами, было очень немного (в основном создатели теории меры вроде Бореля) и все они были против новой аксиомы. Опять же, они с трудом изучали глубокую реальность и тут приходит человек и предлагает упростить законы природы, чтобы было легче работать. Сейчас же "основания" превратились в сильно продвинутое программирования, на изучение реальности не претендуем, изобретаем из головы удобные фичи (на форуме программистов habr человек употребил слово "зафичерили", я ему сказал, что правильно "зачифирили" и мне там минусов наставили). Между тем, основной вопрос оснований математики содержательный -- почему она вообще работает? Если мы выдумываем математику "из головы", почему она полезна для изучения реальности? Если же некоторые математические утверждения истинны или ложны "на самом деле", то как их проверять?

[epros]

(Оффтоп)

george66 в сообщении #1622458 писал(а):

(на форуме программистов habr человек употребил слово "зафичерили", я ему сказал, что правильно "зачифирили" и мне там минусов наставили).

george66 в сообщении #1622458 писал(а):

Между тем, основной вопрос оснований математики содержательный -- почему она вообще работает? Если мы выдумываем математику "из головы", почему она полезна для изучения реальности? Если же некоторые математические утверждения истинны или ложны "на самом деле", то как их проверять?

Мне вот классические логики с позиции стандартной семантики второго порядка объяснили, что гипотеза континуума "реально" либо истинна, либо ложна, хотя доказать ни то, ни другое невозможно. У меня от этого мозг взорвался, ибо по моим понятиям гипотеза континуума - это продукт фантазий математиков, который для изучения реальности никогда полезен не будет и вообще никакого отношения ни к какой реальности иметь не может. Так что если уж мы взялись воображать себе абсолютно нереальные вещи, то я абсолютно уверен в своём праве навоображать их и таким, и противоположным образом.

[george66]

Ну, допустим, геометрия Евклида изучала реальность (как физика). А линейная алгебра -- это уже полезный инструмент (не открытие, а изобретение). Где граница между изучением реальности и изобретением полезных фикций, бывает трудно понять. Кантор был уверен, что континуум-проблема реальна, пытался её решить однозначным правильным образом, не смог и спятил. Вообще, взгляд на математику как на интересную игру довольно недавний. Ньютон не играл, а пытался постичь Божий замысел. Долго, говорит, думал об этом. А вот Цермело (физик по образованию), как дорвался до математики, так давай создавать миры, в физике ему не давали. У меня есть знакомый квантовый физик (Куклев), который занялся пруфчекингом и сменил профессию, он тоже миры создаёт (в HoTT и прилегающих областях). С другой стороны, Андрей Андреевич Марков младший (не тот, которого марковские процессы, а тот, которого принцип Маркова, создатель советской школы конструктивизма) был исходно физик, но миров не создавал, а стремился приблизить математику к наблюдаемой реальности (где есть только кирпичи и движение наблюдаемой материи). Но он был геофизик, занимался магнитной разведкой ископаемых.

[EminentVictorians]

george66 в сообщении #1622466 писал(а):

Ну, допустим, геометрия Евклида изучала реальность (как физика).

По-моему, нет. Евклидова геометрия изучает точно такой же вымышленный мир, как и любая другая область математики. Мы этот мир сами своим усилием воли придумали и решили изучать. Просто он мотивирован реальностью, но не более.

И это не противоречит тому, что изучая математику, можно постигать Божий замысел. Берем какой-то кусочек реальности (созданный Богом), строим его математическую модель, и начинаем изучать модель с целью лучше понять кусочек реальности. Модель вымышленна, реальность - нет. Но Божий замысел постигается.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1622515 писал(а):

По-моему, нет. Евклидова геометрия изучает точно такой же вымышленный мир, как и любая другая область математики.

Это мы сейчас так думаем. Сам Евклид думал иначе. Именно поэтому в сообщении употреблено словосочетание "геометрия Евклида" вместо "евклидова геометрия". Речь о том, как менялись взгляды на природу математики со временем.
Ваш прапорщик Ясненько.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1622516 писал(а):

Это мы сейчас так думаем. Сам Евклид думал иначе.

А, если это было про самого Евклида, тогда никаких возражений.

[Ende]

Выделена тема «Почему математика работает?»