Принцип наименьшего действия vs. Уравнения движения

[Name XXX]

Есть случаи, когда симметрия теории в самом начале прямо диктует уравнения движения. Это есть следствием того факта, что неприводимые представления групп классифицируются значениями операторов Казимира, и потому условие на то, что представление является данным с набором казимировых чисел, записывается как набор операторных уравнений. Типичный пример - уравнения на свободные поля, реализующие неприводимые представления группы Пуанкаре с данными массой и спином. Другое дело, что получение лагранжиана поля спина 100 даже при наличии уравнений поля является очень затруднительным делом.
Имея уравнения движения для свободных представлений, несложно обобщить их на случай взаимодействующих теорий для данной группы симметрии.

[Munin]

Name XXX
Расскажите поподробнее. А то я слышал, что даже для спина $3/2$ уже уравнения движения можно записать различные, не эквивалентные.

Не говоря о том, что взаимодействия, удовлетворяющие симметрии, тоже бывают разные (обычно дополнительно накладывается условие минимального взаимодействия).

[Name XXX]

Munin, по поводу уравнений движения - условия ($\hat{W}$ - оператор Любанского-Паули, $s$ - спин, $\hat{P}$ - оператор трансляций)

$$ \hat{P}^{2}\psi_{A} = m^{2}\psi_{A}, \quad \hat{W}^{2} \psi_{A} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{A}, \quad s = \frac{n + m}{2} $$

для массивного поля $\psi_{A} = \psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}} = \psi_{(a_{1}...a_{n})(\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m})} $ (A - набор спинорных индексов, $\psi_{A} \in \left(\frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$, $\left(\frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$ реализует неприводимое представление группы Лоренца, круглые скобки означают симметричность относительно перестановок индексов) эквивалентны (путем длинных преобразований это можно показать) утверждению, что поле $\psi_{A} $ удовлетворяет системе уравнений

$$ \partial^{\dot{b} a}\psi_{a...a_{n - 1}\dot{b}...\dot{b}_{m - 1}} = 0, \quad (\partial^{2} + m^{2})\psi_{A} = 0. \qquad (1) $$

Можно показать, что для полей целого спина (рассматривая наиболее удобное из возможных представление

$$ \left(\frac{n}{2}, \frac{n}{2} \right): \psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}} \to A_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \frac{1}{2^{n}}\tilde{\sigma}_{\mu_{1}}^{\dot{b}_{1}a_{1}}...\tilde{\sigma}_{\mu_{n}}^{\dot{b}_{n}a_{n}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}}; $$

прочие представления данного спина можно получить из данного путем действия кое-какого оператора) $(1)$ эквивалентно уравнениям

$$ (\partial^{2} + m^{2})A_{\mu_{1}...\mu_{n}} = 0, \quad A^{\mu_{i}}_{\ \mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{n - 1}} = 0, \quad \partial^{\mu_{i}}A_{\mu_{1}...\mu_{i}...} = 0, \quad A_{\mu_{1}...\mu_{n}} = A_{(\mu_{1}...\mu_{n})}. $$

Если же взять уравнения полуцелого спина $s = n + \frac{1}{2}: \left( \frac{n}{2}, \frac{n + 1}{2}\right) \oplus \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{n}{2}\right)$, то из требования инвариантности относительно дискретных симметрий группы Пуанкаре можно получить систему (тут $\psi_{\mu_{1}...\mu_{n}}$ имеет структура дираковского спинора (в частном случае n = 0 получаем его))

$$ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = 0, \quad \gamma^{\mu}\psi_{\mu...\mu_{n}} = 0, \quad \partial^{\mu}\psi_{\mu ...\mu_{n}} = 0, \quad \psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \psi_{(\mu_{1}...\mu_{n})}. $$

Для безмассовых полей все несколько сложнее. Условия

$$ \hat{P}^{2}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}} = 0, \quad \hat{W}^{\dot{b}a}\psi_{aa_{1}...a_{n - 1}\dot{b}...\dot{b}_{m - 1}} = \frac{n - m}{2}\hat{P}^{\dot{b}a}\psi_{aa_{1}...a_{n - 1}\dot{b}...\dot{b}_{m - 1}} $$

(вектор Любанского-Паули пропорционален 4-трансляции, коэффициент пропорциональности - спиральность) эквивалентны утверждению (опять же, представления с одной спиральностью, но с разными наборами спинорных индексов связаны кое-каким оператором)

$$ \partial^{\dot{c}a}\psi_{a...a_{n - 1}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}} = 0, \quad \partial^{\dot{b}a}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}...\dot{b}_{m - 1}} = 0. \qquad (2) $$

Если нужно получить теорию, инвариантную относительно дискретных симметрий, берется прямая сумма по аналогии с массивным случаем полуцелого спина (тут, однако, всегда придется ее брать, за исключением скалярного случая). Я получал из $(2)$ уравнения Максвелла на тензор $F_{\mu \nu}$ и линеаризованной ОТО на тензор Вейля.

Где-то в интернете есть пособие, где это изложено подробнее, не могу пока вспомнить название.

Насчет неоднозначности - в описанный формализм оно, по-видимому, входит следующим образом: второе уравнение $(1)$ не является единственно возможным, которое убирает лишние независимые компоненты поля. Другое дело, что оно может быть записано для поля любого спина, потому дело, скорее всего, в другом. Я думаю, в том, что массивные представления $\left( s, 0\right), \left(s - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), ..., \left(0, s\right)$ связаны операторным преобразованием (аналогично - с безмассовым случаем), потому можно представить массивные частицы не одним полем, а несколькими (другое дело, что представления связаны оператором).

Про минимальность/неминимальность, думаю, можно сказать так: вид слагаемых взаимодействия, которые мы добавляем в лагранжиан, может быть подобран как в лагранжевом формализме, так и сразу в формализме уравнений движения. Вроде как, одно не имеет особых преимуществ в сравнении с другим.

Другое дело (и тут, конечно, лагранжев формализм важен), что релятивистские процессы описываются через S-оператор, который содержит лагранжиан взаимодействия, и что анализ симметрий на уровне процессов проводится через континуальное интегрирование, которое требует полный лагранжиан.

[Munin]

Спасибо большое! Надо всё это распечатать.

[AshotTheSheriff]

Вот, кстати, на википедии, например, имеется следующая фраза

Цитата:

Не все физические системы имеют уравнения движения, которые можно получить из этого принципа, однако все фундаментальные взаимодействия ему подчиняются...

в статье [url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Принцип_наименьшего_действия[/url], которую можно воспринимать как факт неэквивалентности этих двух подходов.

В остальном же, полностью согласен с вами, Munin, в том, что касается методологии получения законов физики. Тут можно вспомнить, например, исторически первую эвристическую формулировку Гильбертом уравнений общей теории относительности при помощи этого принципа или тот факт, что даже не зная о существовании электромагнитного поля, можно показать, что требование калибровочной симметрии "обеспечивает" существование такого поля с характерными взаимодействиями.

Name XXX, спасибо за интересную идею.

[Утундрий]

Можно, например, сочинить конформно инвариантное действие при варьировании коего будут получаться конформно не инвариантные уравнения. И если конформная инвариантность нам важна, то уравнения следует считать "первее" принципа экстремальности действия.

[Munin]

AshotTheSheriff в сообщении #909579 писал(а):

Вот, кстати, на википедии, например, имеется следующая фраза

Я думал, что раз уж в дискуссии сошлись профессора и кандидаты, то цитирование Викимусорки в таком обществе становится уже ниже собственного достоинства. А тем более, серьёзное обсуждение мусора из этой Викимусорки.

Утундрий в сообщении #909624 писал(а):

Можно, например, сочинить конформно инвариантное действие при варьировании коего будут получаться конформно не инвариантные уравнения.

А как симметрия будет нарушаться?

Утундрий в сообщении #909624 писал(а):

И если конформная инвариантность нам важна, то уравнения следует считать "первее" принципа экстремальности действия.

В каком смысле, если в уравнениях её как раз и нет?

[Утундрий]

Munin в сообщении #909684 писал(а):

А как симметрия будет нарушаться?

Лагранжиан, как водится, определён с точностью до полной производной. Вот в ней-то вся собака и порылась

Munin в сообщении #909684 писал(а):

В каком смысле, если в уравнениях её как раз и нет?

В уравнениях её может не быть, если уравнения получены из вариации действия. Но можно выписать вполне себе конформно инвариантные уравнения, которым не сопоставляется никакой вариационный принцип.

[AshotTheSheriff]

Munin, "викимусорку" никто в данном случае не цитировал как истину последней инстанции - это скорее повод для обсуждения этого факта. А вообще я думал, что "серьезное обсуждение" предполагает обоснованную критику. Если под физическими системами, уравнения движения которых не могут быть получены из вариационного принципа, понимаются неконсервативные системы, то с этим всё понятно. Но имеются ли исключения из этого принципа для консервативных систем?

[Munin]

AshotTheSheriff в сообщении #909700 писал(а):

Если под физическими системами, уравнения движения которых не могут быть получены из вариационного принципа, понимаются неконсервативные системы, то с этим всё понятно. Но имеются ли исключения из этого принципа для консервативных систем?

Насколько я слышал, системы с замысловатыми неголономными связями. Ну и просто системы с гамильтонианом, но без лагранжиана, или даже и без гамильтониана, просто динамические (правда, последние - как квантовать?). Но вот "все фундаментальные взаимодействия", сиречь, Стандартная Модель, - всё-таки на вариационном принципе формулируется не хуже. И такие наиболее известные и мейнстримные расширения Стандартной Модели, как Великое Объединение, суперсимметрия, суперструны, - тоже.

[AshotTheSheriff]

Можно ли утверждать, что принцип наименьшего действия предлагает естественное "объяснение", почему уравнения движения должны быть дифференциальными? Насколько я понимаю, формулируя уравнения движения непосредственно из наблюдений (например, говорим, что сила пропорциональна ускорению) мы интуитивно полагаем, что они должны быть дифференциальными. Принцип наименьшего действия же требует, чтобы действие было минимальным на каждом малом отрезке пути.

[Oleg Zubelevich]

1) принципов наименьшего действия несколько даже в классической механике
2) бывают неконсервативные системы с принципом наименьшего действия: лагранжиан в принципе наименьшего действия Гамильтона может зависеть от времени -- вывод уравнения экстремалей не меняется
3) бывают консервативные системы без принципа нименьшего действия: шар катается по наклонной плоскости без проскальзывания в поле силы тяжести (неголономная система, о чем Munin уже писал)

[Munin]

AshotTheSheriff в сообщении #909796 писал(а):

Можно ли утверждать, что принцип наименьшего действия предлагает естественное "объяснение", почему уравнения движения должны быть дифференциальными?

По-моему, как раз нет, в общем виде он предполагает более сложные уравнения. Посмотрите, например, действие фейнмановской классической электродинамики (цит. по нобелевской лекции, УФН 91 1 29-48 (№1 1967)):

$$\begin{gathered}A=\sum_i m_i\int(\dot{X}^i_\mu\dot{X}^i_\mu)^{1/2}d\alpha_i+\dfrac{1}{2}\sum_{\substack{i,j\\i\ne j}}e_ie_j\iint\delta(I_{ij}^2)\dot{X}^i_\mu(\alpha_i)\dot{X}^j_\mu(\alpha_j)d\alpha_i d\alpha_j,\\\text{где}\quad I_{ij}^2=[X^i_\mu(\alpha_i)-X^j_\mu(\alpha_j)][X^i_\mu(\alpha_i)-X^j_\mu(\alpha_j)].\end{gathered}$$

Его варьирование приводит к интегро-дифференциальным уравнениям (электродинамика, проинтегрированная по полям).

AshotTheSheriff в сообщении #909796 писал(а):

Насколько я понимаю, формулируя уравнения движения непосредственно из наблюдений (например, говорим, что сила пропорциональна ускорению) мы интуитивно полагаем, что они должны быть дифференциальными.

Это потому, что мы:
1) считаем, что законы физики причинны, в том смысле, что знания прошлого необходимо и достаточно для расчёта будущего;
2) считаем, что "далёкое прошлое" не может оказывать непосредственного влияния на будущее, а последствия этого "далёкого прошлого" должны быть где-то "накоплены" в физической сущности, в каком-то физическом состоянии системы в текущий момент времени.
Вместе взятые, эти мысли приводят к дифференциальному уравнению по времени, и к постановке задачи Коши для него.

Аналогичная (2) мысль действует и для пространства (идея близкодействия), отчего мы и по пространственным координатам предпочитаем записывать дифференциальные уравнения конечного порядка (бесконечный порядок эквивалентен "дальнодействию", и то же верно и для time domain). Но почему-то здесь интуиция нас меньше давит, и чаще возникают разные теории дальнодействия, например, эффективные и феноменологические. Хотя из-за лоренц-инвариантности, и "уступки" должны быть поровну.

Всё равно, главная мысль - это что эти идеи всё равно интуитивные, и вытекают из нашего повседневного опыта, и кроме того, неоднократно подтверждались в физике в более серьёзных теориях. А так-то, нет гарантий, что именно так всё и устроено. И есть направления, отходящие от этих мыслей (SUSY и некоммутативная геометрия, afaik).

Oleg Zubelevich
Спасибо за примеры из классической механики. Хотя к фундаментальной физике они имеют мало отношения, но в данном разговоре помогают расширить кругозор. Заодно, не приведёте ли определение консервативности? А то у меня какая-то школьная ерунда в голове сидит про сохранение энергии, я боюсь спутать с гамильтоновостью.

[Oleg Zubelevich]

а у меня в голове тоже самое сидит: консервативная система это когда $T+V=const$

[Munin]

А гамильтонова система - это когда есть гамильтониан, то есть, тоже суммарная энергия. Путаница какая-то получается.