Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[svv]

EminentVictorians в сообщении #1605726 писал(а):

Я о том, что это - не целые числа. Хотя выглядят так же.

А что это?
Я не спорю, просто мне интересно. Я программист и запись $1-6=11+5\;(\operatorname{mod} 7)$ понимаю как
$\operatorname{mod}(1-6,7)=\operatorname{mod}(11+5,7)$
Тут и числа, и операции в обычном смысле.

(Оффтоп)

Здравствуй, двадцатая страница темы.

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1605659 писал(а):

Можно доказать, что если смотреть на $R$ как на подмножество $C$ (в моих обозначениях $R+0i$), то там нет естественного положительного направления.
Док-во
Если на $Re^{i\varphi}$ есть естественное положительное направление, то оно есть и на $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$ (т.е. у близких лучей должны быть одинаковые положительные направления). Но тогда из этого следует, что у $Re^{i\varphi}$ и $Re^{-i\varphi}$, т.е. у $R$ и $-R$ должны быть одинаковые положительные направления. Получаем противоречие

Если я правильно понял Ваши обозначения, то $Re^{i\varphi}$ - это подполе в $C$ изоморфное полю действительных чисел $R$ (без упорядоченности).
Вы считаете, что поле $Re^{i\varphi}$ не является упорядоченным. Оно действительно не является упорядоченным, так как не выполняются условия упорядоченности: монотонность сложения и умножения, кроме случая, когда $\varphi=0$ и мы получаем поле действительных чисел $R$. В последнем случае все условия упорядоченности выполняются (см. Определение на стр. 150 у Куликова) https://djvu.online/file/fhgdO7ja4LIr0? ... 7g88322977
В отношении Вашего доказательства от противного, то из предположения упорядоченности поля $Re^{i\varphi}$ не следует такая же упорядоченность поля $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$, так как поля изоморфны без упорядоченности. Поэтому не следует и дальнейшее доказательство.

[EminentVictorians]

svv в сообщении #1605743 писал(а):

А что это?

Берем кольцо $\mathbb Z$. Фиксируем $n \in \mathbb N$. Рассмотрим отношение $\sim$ на $\mathbb Z$: $a \sim b \Leftrightarrow (a - b) \vdots n \Leftrightarrow a (\mod n) = b (\mod n)$. Отношение эквивалентности оказывается согласованным с операциями на $\mathbb Z$ (такие отношения называют конгруэнциями), значит оно порождает факторструктуру, которая в данном случае оказывается коммутативным ассоциативным кольцом с единицей и называется кольцом вычетов по модулю $n$. Как множество оно конечное (состоит из $n$ элементов). Классы называются вычетами по модулю $n$ и обычно обозначаются $[0]_n, ... , [n-1]_n$. Если у нас $n = 3$,то $8$ - это на самом деле $[8]_3 = [2]_3$ и как множество оно бесконечное (состоит из всех целых чисел, которые дают остаток $2$ при делении на $3$)

В виду теоремы о согласованности операций, на письме можно опускать обозначения классов и вместо них писать голые целые числа. Вместе с этим можно взаимозаменять операции $+_\mathbb Z$ и $+_{\mathbb Z \slash n \mathbb Z}$ друг с другом. Именно поэтому, например, законны записи вида $8 + 1 = 0 (\mod 3)$. По-хорошему, это надо писать следующим образом: $[8]_3 +_{\mathbb Z \slash 3 \mathbb Z} [1]_3 = [8 +_\mathbb Z 1]_3 = [9]_3 = [0]_3$ ну или по крайней мере $8 + 1 = 9 \sim 0 (\mod 3)$. Но так как с операциями все согласовано, и отношения $=$ и $\sim$ оба удовлетворяют условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности, значит можно делать "отождествления" на письме. Но, имхо, это все конкретные теоремы, которые надо доказывать.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: это уже давно не ПРР.

[svv]

EminentVictorians, спасибо.

[tolstopuz]

svv в сообщении #1605743 писал(а):

Я программист и запись $1-6=11+5\;(\operatorname{mod} 7)$ понимаю как
$\operatorname{mod}(1-6,7)=\operatorname{mod}(11+5,7)$

А как ваш внутренний программист понимает запись $\frac46=\frac69$?

[svv]

tolstopuz
Пусть $\mathbb R'=\mathbb R\setminus \{0\}$.
Определены функции (с, наверное, понятной семантикой):
$\begin{array}{ll}\operatorname{real}:&\mathbb Z\to\mathbb R\\\operatorname{rdiv}:&\mathbb R\times\mathbb R'\to\mathbb R\\\operatorname{isequal}:&\mathbb R\times \mathbb R\to\{\operatorname{true},\operatorname{false}\}\end{array}$
Ваш пример — удобная запись утверждения
$\operatorname{isequal}\Bigl(\operatorname{rdiv}\bigl(\operatorname{real}(4),\operatorname{real}(6)\bigr),\operatorname{rdiv}\bigl(\operatorname{real}(6),\operatorname{real}(9)\bigr)\Bigr)$
(то есть что значением этого выражения является $\operatorname{true}$).

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1605771 писал(а):

Вы считаете, что поле $Re^{i\varphi}$ не является упорядоченным. Оно действительно не является упорядоченным

Там можно ввести аж две упорядоченности)

vicvolf в сообщении #1605771 писал(а):

так как не выполняются условия упорядоченности: монотонность сложения и умножения, кроме случая, когда $\varphi=0$ и мы получаем поле действительных чисел $R$. В последнем случае все условия упорядоченности выполняются (см. Определение на стр. 150 у Куликова) https://djvu.online/file/fhgdO7ja4LIr0? ... 7g88322977

Это не условия упорядоченности, а их следствия для R. Вот определение упорядоченности, там ни слова про арифметические операции

vicvolf в сообщении #1605771 писал(а):

В отношении Вашего доказательства от противного, то из предположения упорядоченности поля $Re^{i\varphi}$ не следует такая же упорядоченность поля $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$, так как поля изоморфны без упорядоченности.

Нет, из предположения наличия естественной упорядоченности для $Re^{i\varphi}$ следует, что и у $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$ будет такая же упорядоченность, т.е. если у прямой есть естественное положительное направление, то и у близкой прямой должно быть положительное направление примерно в той же стороне, а не развернутое на 180 градусов.
Если же для каждой прямой $Re^{i\varphi}$ выбирать упорядоченность, т.е. положительное направление, то найдутся сколь угодно близкие по угловому смещению прямые, которые имеют противоположные положительные направления

[tolstopuz]

svv в сообщении #1605798 писал(а):

$\operatorname{isequal}\Bigl(\operatorname{rdiv}\bigl(\operatorname{real}(4),\operatorname{real}(6)\bigr),\operatorname{rdiv}\bigl(\operatorname{real}(6),\operatorname{real}(9)\bigr)\Bigr)$

Программисты знают, что их программистский $\mathbb{R}$ довольно странен, например, $\operatorname{isequal}\Bigl(\operatorname{radd}\bigl(\operatorname{radd}(0.3,0.3),0.3\bigr),0.9\Bigr)$ имеет значение $\operatorname{false}$, при работе с точными рациональными числами хотелось бы избежать таких эксцессов. Как вам нравится другой способ?

$\operatorname{mod-equal}(7)(1-6,11+5)$
$\operatorname{rat-equal}(\operatorname{rat}(4,6),\operatorname{rat}(6,9))$

Экстенсиональное равенство позволяет говорить о факторструктурах без дурных бесконечностей, хотя не лишено других недостатков.

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1605803 писал(а):

Вот определение упорядоченности, там ни слова про арифметические операции

Это условие линейной упорядоченности. Для $Re^{i\varphi}$ оно выполняется только для $\varphi=0,\pi$. Вы же берете $\varphi$ произвольным. В произвольном случае $Re^{i\varphi}$ - вообще не поле, это я погорячился, так как не выполняется одно из условий изоморфизма полей $f(a)f(b)=f(ab)$.

Doctor Boom в сообщении #1605803 писал(а):

vicvolf в сообщении #1605771 писал(а):

Нет, из предположения наличия естественной упорядоченности для $Re^{i\varphi}$ следует, что и у $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$ будет такая же упорядоченность, т.е. если у прямой есть естественное положительное направление, то и у близкой прямой должно быть положительное направление примерно в той же стороне, а не развернутое на 180 градусов.

Если под "естественной" Вы имеете в виду линейную упорядоченность, то даже в случае, когда она имеется, например, при $\varphi=0$, то при $\varphi=\epsilon$, где $\epsilon$ - небольшое положительное число, линейной упорядоченности вообще не будет и ни о каком положительном направлении говорить не приходиться.

[svv]

tolstopuz
Вполне нравится.

tolstopuz в сообщении #1605810 писал(а):

Программисты знают, что их программистский $\mathbb{R}$ довольно странен

Да, мы понимаем, что наша реализация вещественной арифметики на конкретном софте и железе неполноценна, а вот у Бога есть эталонный компьютер с бесконечной памятью, где реализован настоящий тип $\operatorname{real}$, и вот там-то $\operatorname{real-equal}(3\cdot 0.(3),1)$ будет $\operatorname{true}$ без компромиссов. И, разумеется, вещественная арифметика на том компе удовлетворяет всем аксиомам поля. Кстати, реализация этого типа скрыта, и не факт, что вещественное число хранится в виде бесконечной последовательности двоичных разрядов. Я думаю, оно хранится там живьём.

[tolstopuz]

svv в сообщении #1605833 писал(а):

Я думаю, оно хранится там живьём.

У меня примерно такая же мысль, когда я вижу обсуждение "слов" вида $a+ib$. В каком алфавите заданы эти слова? Неужели $\mathbb{R}\cup\{+,i\}$?

[epros]

svv в сообщении #1605833 писал(а):

не факт, что вещественное число хранится в виде бесконечной последовательности двоичных разрядов. Я думаю, оно хранится там живьём.

А чем это отличается? Я себе могу представить хранение действительного числа только в виде конечной формулы сходящей последовательности рациональных чисел. Разумеется, так получатся только конструктивные числа. Но неконструктивные числа по моим понятиям - чистый продукт воображения, т.е. утверждение, что они могут где-то храниться - это тоже чистая фантазия.

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1605822 писал(а):

Это условие линейной упорядоченности. Для $Re^{i\varphi}$ оно выполняется только для $\varphi=0,\pi$. Вы же берете $\varphi$ произвольным

Оно выполняется для любого $\varphi$.

vicvolf в сообщении #1605822 писал(а):

В произвольном случае $Re^{i\varphi}$ - вообще не поле, это я погорячился, так как не выполняется одно из условий изоморфизма полей $f(a)f(b)=f(ab)$.

Причем тут вообще поле? Мы можем ввести линейную упорядоченность на элементах, на которых не определены никакие арифметические операции. Например предметы, машины в пробке

vicvolf в сообщении #1605822 писал(а):

Если под "естественной" Вы имеете в виду линейную упорядоченность, то даже в случае, когда она имеется, например, при $\varphi=0$, то при $\varphi=\epsilon$, где $\epsilon$ - небольшое положительное число, линейной упорядоченности вообще не будет и ни о каком положительном направлении говорить не приходиться

Нет, я под естественной называл определенный тип линейной упорядоченности (одно из двух направлений), который может быть выбран однозначно из неких естественных соображений (куда направлена стрела "положительности"). А просто линейную можно ввести ручками, выбрав произвольное положительное направление

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1605851 писал(а):

vicvolf в сообщении #1605822 писал(а):

Это условие линейной упорядоченности. Для $Re^{i\varphi}$ оно выполняется только для $\varphi=0,\pi$. Вы же берете $\varphi$ произвольным

Оно выполняется для любого $\varphi$.

Пусть $\varphi=\pi/4$. Возьмем $2 \in R$ и $3 \in R$. Получим на прямой два значения $\sqrt {2}(1+i)$ и $\frac {3}{2}\sqrt {2}(1+i)$. Какое больше?