Степень суммы

[Alek]

mihaild в сообщении #1598643 писал(а):

Это что-то значит, кроме "$x^3 = x \cdot x^2$, $y^3 = y\cdot y^2$, $z^3 = z \cdot z^2$" или нет?

Разумеется значит. Доведите выражения до сумм квадратов. Формулы и определение, вы уже знаете.

mihaild в сообщении #1598643 писал(а):

Нет. Это тянуло бы на утверждение, если бы понятие "может быть представлено в виде суммы натуральных квадратов" было определено.
Определение - это когда определяется какое-то понятие. Определение должно быть таким, чтобы по объекту можно было сказать, удовлетворяет он этому определению, или нет.

Вы хотели бы, чтобы определение включало подробное словесное описание разложения? Формулы ведь есть...
Но если необходимо, для Вас, то сделаю))

Определение:

Любое натуральное число икс, с натуральным показателем эн, может быть разложено на сумму натуральных квадратов, с онованиями икс каждый.
При этом, согласно правилам операций со степенью, выражение икс в степени эн, надо представить в виде произведения – икс в степени два, умноженный на икс, в степени эн минус два.
Данное произведение, в соответствии с правилом разложения произведения до суммы слагаемых, раскладывается на слагаемые икс в степени два каждое, в их количестве, равном икс в степени два минус эн.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598646 писал(а):

Любое натуральное число икс, с натуральным показателем эн, может быть разложено на сумму натуральных квадратов, с онованиями икс каждый.

И это не определение.
Определение. Определение - это пара (название, описание), где описание позволяет про каждый объект сказать, подходит объект под это описание или нет.
Например, то, что написано строчкой выше, является определением.

Ладно, давайте попробую еще раз угадать.
Определение. Для натурального числа $x$, разложением $x^3$ на сумму квадратов, называется строчка $x^2 + \ldots + x^2$, в которой $x^2$ повторено $x$ раз (а плюсов, соответственно, $x - 1$).
Так?

[wrest]

Alek в сообщении #1598634 писал(а):

Почему?))

Потому что квадрат растет медленне куба.
Пусть $x=20;y=21;z=26$
Раскладывая на квадраты вашим способом сумму $20^3+21^3=20 \cdot 29^2+21^2$ ясно видим, что $29>26$

[Alek]

mihaild в сообщении #1598650 писал(а):

И это не определение.
Определение. Определение - это пара (название, описание), где описание позволяет про каждый объект сказать, подходит объект под это описание или нет.
Например, то, что написано строчкой выше, является определением.

Ладно, давайте попробую еще раз угадать.
Определение. Для натурального числа $x$, разложением $x^3$ на сумму квадратов, называется строчка $x^2 + \ldots + x^2$, в которой $x^2$ повторено $x$ раз (а плюсов, соответственно, $x - 1$).
Так?

Не так))
Во -первых, вы предлагаете зачем-то сокращённую версию, частично повторяющую ту, которую я процитировал.
Во-вторых, икс в кубе, там не нужен.
В третьих,считать количество плюсов, (Вы имели в виду операции сложения, операторы сложения), мягко говоря излишне.
Считать надо оперируемые объекты: символы, знаки... [Количество квадратов], а «плюсов», принято обозначать термином "сумма".

К тому же, включение символов и операций в определение – вещь нужная, но и в «моём» варианте – к определению были адекватные и лаконичные формулы.

конструкция «Для натурального числа $x$, разложением $x^3$ на сумму квадратов,..» тяжеловата, но это вкусовщина, ладно. Тут важно то, что и в «моём» определении, была и натуральность оснований, и натуральность показателей (вы забыли упомянуть последнее, заменив знаком куба (??).

Тезисы «строчка... в которой повторено... плюсов..» ещё тяжелее.
Скажем так: математически, это мягко говоря не строго, как они, так и всё определение в целом.

В этой связи, цитированное «моё» определение, вкупе с формулой, явно больше соответствует алгоритму разложения степени на сумму квадратов, без двусмысленностей и разночтений тезиов в нём.

Поэтому, Ваше определение мне не подходит.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598639 писал(а):

Тогда остаётся пробема: каким образом, Вы узнаете результат до вычислений?

ВТФ - это не про вычисления.
ВТФ - это про существование натуральных корней уравнений определенного вида.

-- Чт июн 22, 2023 19:25:19 --

Alek в сообщении #1598641 писал(а):

Ни квадраты икс, ни квадраты игрек – по этой тривиальной причине – не могут быть больше квадратов зет.

А квадраты $2x$ и $2y$ могут быть больше $z$.

[Alek]

wrest в сообщении #1598654 писал(а):

Потому что квадрат растет медленне куба.
Пусть $x=20;y=21;z=26$
Раскладывая на квадраты вашим способом сумму $20^3+21^3=20 \cdot 29^2+21^2$ ясно видим, что $29>26$

Причём тут куб?))
Слагаемые разложены на квадраты, соотношение $z>y>x$ неизменно, доказательство для всех степеней, а не только для кубов))

Интересно, вы откуда выкопали зет, равный 26?)) По сути статьи, надо так:

$x=20;y=21$

$20^3 + 21^3$

$20 \cdot\ 20^2 + 21 \cdot\ 21^2$

Числа, Вы взяли Пифагоровы. Значит первый вариант, суммы квадратов первого и второго слагаемых, получим:
двадцать квадратов со стороной 29 каждый, и один квадрат, со стороной 21.

Второй шаг: считаем квадраты: всего 21 штука – стольҡо же было в наибольшем слагаемом.
Вывод: результат, в виде натурального осңования в той же (3) степени невозможен, ибо число квадратов результата, априори всегда больше числа квадратов наибольшего слагаемого. Из-за заведомо большего основания))

Сверяем: число квадратов слева, стало 21 ровно.
А сҡока было в наибольшем слагаемом?.. Тоже, ровно 21))

Вывод: ожидаемый результат невозможен, равенства не существует.
И так – для любой степени))

-- 23.06.2023, 03:33 --

Лукомор в сообщении #1598664 писал(а):

ВТФ - это не про вычисления.
ВТФ - это про существование натуральных корней уравнений определенного вида.

То есть, теория и выражение ВТФ не подразумевает вычисления, с применением натуральных чисел больше двух?
Тут не соглашусь никогда))

Лукомор в сообщении #1598664 писал(а):

А квадраты $2x$ и $2y$ могут бвть больше $z$.

Ну конечно могут! Разве это отменяет соотношение $z>y>x$? Нет))

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598667 писал(а):

число квадратов результата, априори всегда больше числа квадратов наибольшего слагаемого

Это ни о чем.
Поскольку сторона каждого из 20 квадратов после суммирования равна 29,
а сторона квадрата результата хорошо если до 26 дотянет, а может быть и 22, и 23,
и 24, и 25... Вот и прикиньте, что Вам даст большое число квадратов результата,
которые квадраты меньше сравнимого числа квадратов получившихся в результате сложения
квадратов.

[wrest]

Alek в сообщении #1598667 писал(а):

Интересно, вы откуда выкопали зет, равный 26?))

Из неравенства

Alek в сообщении #1598667 писал(а):

соотношение $z>y>x$

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598667 писал(а):

Разве это отменяет соотношение $z>y>x$

Это соотношение не работает с того момента, как $x$ и $y$ слились в $(x^2+y^2)$
либо, в другом варианте суммирования $(2x)^2$ и $(2y)^2$
Теперь ориентируемся на соотношения:$x^2+y^2>z^2$,
Либо, для другрго варианта: $2y>2x>z$

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598677 писал(а):

Это ни о чем.
Поскольку сторона каждого из 20 квадратов после суммирования равна 29,
а сторона квадрата результата хорошо если до 26 дотянет, а может быть и 22, и 23,
и 24, и 25... Вот и прикиньте, что Вам даст большое число квадратов результата,
которые квадраты меньше сравнимого числа квадратов получившихся в результате сложения
квадратов.

Ну причём тут сторона наибольшего квадрата после суммирования? Чуть не запутали, почти повёлся))
Сторона квадрата из предполагаемого результата, всегда больше стороны квадрата из наибольшего слагаемого, ДО всех суммирований, в соответтвии с соотношением $z>y>x$.

-- 23.06.2023, 04:25 --

Лукомор в сообщении #1598681 писал(а):

Это соотношение не работает с того момента, как $x$ и $y$ слились в $(x^2+y^2)$
либо, в другом варианте суммирования $(2x)^2$ и $(2y)^2$
Теперь ориентируемся на соотношения:$x^2+y^2>z^2$,
Либо, для другрго варианта: $2y>2x>z$

Оно и должно работать до суммирований, всё верно))

-- 23.06.2023, 04:27 --

wrest в сообщении #1598678 писал(а):

Из неравенства

Но там же меньше))
И что из этого, какой вывод?

[wrest]

Alek в сообщении #1598684 писал(а):

И что из этого, какой вывод?

Вот этот:

wrest в сообщении #1598627 писал(а):

Alek в сообщении #1598610 писал(а):

Причина: поскольку $z>y>x$, то основание зет, наибольшее, что автоматически полагает как большее число квадратов, так и бо'льшие величины квадратов.

Выделенное жирным в цитате сверху - неверно!

[Alek]

wrest в сообщении #1598685 писал(а):

wrest в сообщении #1598627

писал(а):
Alek в сообщении #1598610

писал(а):
Причина: поскольку $z>y>x$, то основание зет, наибольшее, что автоматически полагает как большее число квадратов, так и бо'льшие величины квадратов.
Выделенное жирным в цитате сверху - неверно!

С чего бы «неверно»? Есть контраргумент?

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1598628 писал(а):

wrest, Лукомор
Если Вы поняли, о каком "количестве квадратов" идет речь, то может быть сможете написать нормальное определение?

Я кажется понял, какое рассуждение автор пытается представить. Итак, вот имеем уравнение $x^3+y^3=z^3$
Требуется доказать, что оно не имеет решений в натуральных числах. Доказательство от противного. Пусть есть такие натуральные числа, что указанное равенство выполняется! Тогда перепишем уравнение следующим образом. Сразу ясно, что $x\ne y$, поэтому пусть для определённости $x<y$! В таком случае
$x^3+y^3=z^3\Leftrightarrow (\sum\limits_{x}^{}x^2)+(\sum\limits_{y}^{}y^2)=(\sum\limits_{z}^{}z^2)$, но чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы количество квадратов в левой части равенства было равно количеству квадратов в правой части равенства, либо меньше их, так как $z>x,z>y$! Далее автор по сути показывает, что этого нельзя добиться никакими способами формирования квадратов в левой и правой частях равенства! То есть он показывает, что чтобы этого достичь, нужно перегруппировать слагаемые левой части следующим образом. Сначала берём и складываем $x^2+x^2=2x^2$, затем складываем $y^2+y^2=2y^2$, но что надо сделать, чтобы $2x^2,2y^2$ стали квадратами натуральных чисел? Нужно добавить к ним ещё по два квадрата, то есть будут квадраты такие $2x^2+2x^2=(2x)^2,2y^2+2y^2=(2y)^2$
Автор замечает, что от такого способа построения суммы квадратов их количество в левой части резко уменьшится,а именно в четыре раза, что очень ПЛОХО. Дальнейшие манипуляции не имеют смысла. Привожу цитату автора на этот счёт

Dedekind в сообщении #1598370 писал(а):

В итоге, общее количество новеньких, больших квадратов в первом слагаемом, полученных в ходе суммирования – станет ровно в четыре раза меньше, чем было.
И во втором слагаемом – такая же история.

Дальнейшее сложение квадратов между собой в любом порядке – утратило всякий смысл

Вот и получилось противоречие!

[wrest]

Alek в сообщении #1598686 писал(а):

С чего бы «неверно»? Есть контраргумент?

Есть:

wrest в сообщении #1598654 писал(а):

Пусть $x=20;y=21;z=26$
Раскладывая на квадраты вашим способом сумму $20^3+21^3=20 \cdot 29^2+21^2$ ясно видим, что $29>26$

[Лукомор]

mihaild в сообщении #1598628 писал(а):

wrest, Лукомор
Если Вы поняли, о каком "количестве квадратов" идет речь, то может быть сможете написать нормальное определение?

Мне кажется, или я понял.
ТС стартует от двух геометрических фигур, кубов, со сторонами $x$ и $y$ соответственно.
Он делит их на "квадраты", которые суть параллелепипеды единичной высоты.
Соответственно, число квадратов - это количество таких параллелепипедов единичной высоты,
численно равное высоте куба ($x$ и $y$ соответственно). Затем ТС либо, если $x$ и $y$
численно равны катетам пифагорового треугольника, составляет из пары "квадратов" - параллелепипедов единичной высоты новый "квадрат" - параллелепипед единичной высоты со стороной основания, равной гипотенузе пифагоровского треугольника с указанными выше катетами,
и считает это, почему-то, единственно возможным значением $z$, которое он "вычислил" для данных $x$ и $y$. И умиляется тем, что получившийся $z$ больше $y$, то-есть исходных"квадратов"
не хватает, чтобы выйти на высоту куба с ребром $z$.
В дугом варианте, где $x$ и $y$ не пифагоровские, просто удваивается сторона $x$,
и тогда куб $z$ складывается из четырех исходных "квадратов" в каждом единичном слое.
И "стройматериалы" для этого куба заканчиваются еще раньше. Все значения $z$ из диапазона
$x<z<2x$, естественно, не рассматриваются. Это все, что я понял на текущий час...