Степень суммы

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598621 писал(а):

Мне очень жаль...
но в моем примере, после первой итерации слева появляется девять квадратов со стороной 15, а в правой части все еще 13 квадратов со стороной 13.

Не совсем понял: жаль, чего именно?
Относительно упомянутой Вами правой части: думаю, что помещать результат до его вычисления, неверно.
Мы его не можем знать заранее ни в каком случае (если конечно кто-то не посчитал до нас).
Да и такая конструкция выражения ВТФ, где фигурируют все три степени, уже в численном виде, до начала производства расчётов, не предусмотрена.

[wrest]

Alek в сообщении #1598610 писал(а):

Причина: поскольку $z>y>x$, то основание зет, наибольшее, что автоматически полагает как большее число квадратов, так и бо'льшие величины квадратов.

Выделенное жирным в цитате сверху - неверно!

[mihaild]

wrest, Лукомор
Если Вы поняли, о каком "количестве квадратов" идет речь, то может быть сможете написать нормальное определение?

Alek, давайте я попробую еще раз угадать.
Пусть нам дана строчка вида $b_1 \cdot a_1^2 + b_2 \cdot a_2^2 + \ldots + b_k \cdot a_k^2$, где $a_1, \ldots, a_k$, $b_1, \ldots, b_k$ - некоторые натуральные числа (не обязательно все различные). Числом квадратов в этой строчке называется число $b_1 + \ldots + b_k$. Так?

[Alek]

mihaild в сообщении #1598622 писал(а):

Цитата:

ВТФ говорит о натуральных числах. Чтобы перейти от них к "разложениям", нужно сказать, что это такое. Как правило это формализуется как раз через (иногда упорядоченные) (мульти)множества: разложением числа на слагаемые называется мультимножество, сумма элементов которого равна этому числу.

Тот факт, что ВТФ говорит о натуральных числах, никого не обязывает сверх необходимого разъяснять древние и официаьные правила разложения степени.
Касательно «как правило..», несёт по сути тот же избыточный анализ. Это неприемлемо, и чревато ошибками, из-за человеческого фактора.
Кроме того, принцип не умножения сущностей сверх необходимого, применительно к разложению, никоим образом не предполагает включение в общую картину лишних пристроек, в виде операций со множествами.

Как уже упоминалось, здесь нет ни одной операции, коя бы нуждалась в обеспечении добавочными, и местами весьма сомнительными экзерсисами памяти Кантора))

Цитата:

Это не более формально. Вам нужно сказать, что такое это "разложение".

Категорически с Вами не согласен. Разложение степени на квадраты – стандартная, школьная математическая операция, имеющая в своей основе, например:

-- алгоритм умножения степеней, с одинаковыми основаниями;
-- алгоритм сложения;
-- и другие базовые операции.

Отметим: все эти алгоритмы, включая разложение натуральной степени на квадраты – вполне себе конвенциональны, и по этой тривиальной причине, не требуют каких-то отдельных и особых верификаций научного сообщества, дополнительных разъяснений, утановления дополнительных запретов, разрешений, и не дай хоть кто – новых правил.

Исходя из вышеизложенного, настоятельно предлагаю Вам оставить эту примитивную операцию как есть. Благо, она ничего нового в математику не привносит, даже в рамках доказательства ВТФ. Да и вообще ни в каких случаях))

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598625 писал(а):

Относительно упомянутой Вами правой части: думаю, что помещать результат до его вычисления, неверно.
Мы его не можем знать заранее ни в каком случае (если конечно кто-то не посчитал до нас).

Тогда какое отношение то что Вы делаете имеет к т.Ферма?
Каким образом Ваше $x^3+y^3=\text{??}$
соотносится с $x^3+y^3=z^3$?

-- Чт июн 22, 2023 17:17:59 --

mihaild в сообщении #1598628 писал(а):

то может быть сможете написать нормальное определение?

Благодарю за комплимент, но эта задача мне не по силам.

[Alek]

mihaild в сообщении #1598628 писал(а):

Alek, давайте я попробую еще раз угадать.
Пусть нам дана строчка вида $b_1 \cdot a_1^2 + b_2 \cdot a_2^2 + \ldots + b_k \cdot a_k^2$, где $a_1, \ldots, a_k$, $b_1, \ldots, b_k$ - некоторые натуральные числа (не обязательно все различные). Числом квадратов в этой строчке называется число $b_1 + \ldots + b_k$. Так?

Нет конечно, не так совершенно))
Например: квадраты, получаемые при разложении степени слагаемого – абсолютно все одинаковые. Обязательно))
Кроме того, представленные вами ряды, переусложнены сверх необходимого.
Правила математики, легко и просто позволяют сделать разложение любой (!) натуральной степени до суммы квадратов, буквально в одно-два действия.
Поэтому – нет))

[mihaild]

Alek в сообщении #1598630 писал(а):

Категорически с Вами не согласен. Разложение степени на квадраты – стандартная, школьная математическая операция

Тогда процитируйте определение или дайте ссылку, где оно выписано.

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598631 писал(а):

Тогда какое отношение то что Вы делаете имеет к т.Ферма?
Каким образом Ваше $x^3+y^3=\text{??}$
соотносится с $x^3+y^3=z^3$?

Выражение из ВТФ, имеющее после знака равенства н е и з в е с т н о е значение, никаким образом не предполагает подстановку туда сколько-нибудь похожей степени – до вычисления результата.

wrest в сообщении #1598627 писал(а):

Выделенное жирным в цитате сверху - неверно!

Почему?))

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598610 писал(а):

Причина: поскольку $z>y>x$, то основание зет, наибольшее, что автоматически полагает как большее число квадратов, так и бо'льшие величины квадратов.

Хотя $z>y>x$, однако $z<x+y$, cледовательно $z^2<(x+y)^2$,
величина квадратов со стороной $x+y$, получающихся после первой итерации,
уже больше квадратов со стороной $z$, с каждой итерацией они будут расти в размерах, уменьшаясь в количестве.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598632 писал(а):

Например: квадраты, получаемые при разложении степени слагаемого – абсолютно все одинаковые

Это является частным случаем того, что я написал.

Alek в сообщении #1598632 писал(а):

Кроме того, представленные вами ряды, переусложнены сверх необходимого

Какие ряды?
Зато то, что я написал, кому угодно понятно. Поэтому давайте Вы либо принимаете предложенные мной определения, либо пишете свои хотя бы на том же уровне строгости.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598634 писал(а):

Выражение из ВТФ, имеющее после знака равенства н е и з в е с т н о е значение, никаким образом не предполагает подстановку туда сколько-нибудь похожей степени – до вычисления результата.

В ВТФ все три переменных - неизвестные, и они абсолютно равноправны.
Нет никакого "вплоть до вычисления результата",- это не про ВТФ.

[Alek]

mihaild в сообщении #1598633 писал(а):

Тогда процитируйте определение или дайте ссылку, где оно выписано.

Определение, цитирую:

Любое натуральное число в натуральной степени, может быть представлено в виде суммы натуральных квадратов.

-- 23.06.2023, 01:54 --

Лукомор в сообщении #1598638 писал(а):

В ВТФ все три переменных - неизвестные, и они абсолютно равноправны.
Нет никакого "вплоть до вычисления результата",- это не про ВТФ.

Так. Тогда остаётся пробема: каким образом, Вы узнаете результат до вычислений?

[mihaild]

Alek в сообщении #1598639 писал(а):

Любое натуральное число в натуральной степени, может быть представлено в виде суммы натуральных квадратов

Это не определение. Чисто синтаксически.

[Alek]

mihaild в сообщении #1598637 писал(а):

Какие ряды?
Зато то, что я написал, кому угодно понятно. Поэтому давайте Вы либо принимаете предложенные мной определения, либо пишете свои хотя бы на том же уровне строгости.

Ваши – не принимаю.

Строжайше-строго по определению, и по формуле:

$$x^n = x^2 + x^2 + ... + x^2$$

$x^{n-2}$ штук суммируемых квадратов. Сиречь – количество квадратов первого слагаемого.

$$y^n = y^2 + y^2 + y^2 + y^2 ... + y^2$$

$y^{n-2}$ штук суммируемых квадратов. Количество квадратов второго слагаемого.

-- 23.06.2023, 01:59 --

mihaild в сообщении #1598640 писал(а):

Это не определение. Чисто синтаксически.

Это определение. Исчерпывающее. Без неопределённостей, допущений и условностей любого рода.

-- 23.06.2023, 02:04 --

Лукомор в сообщении #1598636 писал(а):

Хотя $z>y>x$, однако $z<x+y$, cледовательно $z^2<(x+y)^2$,
величина квадратов со стороной $x+y$, получающихся после первой итерации,
уже больше квадратов со стороной $z$, с каждой итерацией они будут расти в размерах, уменьшаясь в количестве.

Речь именно и только про квадраты.
Поэтому: исходя из безусловно наибольшего значения основания, зет, это подразумевает только наибольшие квадраты с этим основанием.
Ни квадраты икс, ни квадраты игрек – по этой тривиальной причине – не могут быть больше квадратов зет.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598591 писал(а):

1. каждое слагаемое, в выражении из ВТФ, разлагается на сумму квадратов.

Это что-то значит, кроме "$x^3 = x \cdot x^2$, $y^3 = y\cdot y^2$, $z^3 = z \cdot z^2$" или нет?

Alek в сообщении #1598641 писал(а):

Это определение

Нет. Это тянуло бы на утверждение, если бы понятие "может быть представлено в виде суммы натуральных квадратов" было определено.
Определение - это когда определяется какое-то понятие. Определение должно быть таким, чтобы по объекту можно было сказать, удовлетворяет он этому определению, или нет.