Бесконечность простых чисел-близнецов

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1506782 писал(а):

а Ваш последний вопрос здесь чем-то существенно отличается от вашего же вопроса тут
? На первый взгляд одно и то же, прошло менее двух лет.

Вопрос тот же, но ответа на свой вопрос, я тогда не получил, вот и спросил, может за 2 года, какие нибудь новые данные на компьютерах посчитали, и нашли кортежи простых чисел, со свойствами, о которых я спрашивал. Но вижу теперь, похоже что нет, не нашли.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Skipper
А зачем надо было влезать в чужую тему, почему нельзя было спросить там, сразу указав что вопрос о новостях за два года?

[Sycamore]

vicvolf в сообщении #1507112 писал(а):

методами теории чисел до сих пор не доказана гипотеза о бесконечности простых близнецов, хотя вероятностными методами Харди и Литтлвуд дали точную оценку их количества.

"их количества" в смысле (асимптотического?) распределения простых близнецов среди натуральных и/или среди простых?

vicvolf в сообщении #1507112 писал(а):

Теория вероятностей успешно изучает не только объекты случайной природы, но и детерминированные достаточно сложные объекты

за исключением квантовых событий все остальные случайные события/объекты намертво детерминированы...)

[Lia]

Skipper в сообщении #1506701 писал(а):

Задаюсь давно интересным вопросом..

Skipper
Предупреждение за захват темы. Отделено в более подходящую.

[vicvolf]

Sycamore в сообщении #1507553 писал(а):

vicvolf в сообщении #1507112 писал(а):

методами теории чисел до сих пор не доказана гипотеза о бесконечности простых близнецов, хотя вероятностными методами Харди и Литтлвуд дали точную оценку их количества.

"их количества" в смысле (асимптотического?) распределения простых близнецов среди натуральных и/или среди простых?

Да, асимптотического распределения простых близнецов и простых кортежей в натуральном ряде. Выше я дал ссылку, где на основании улучшенной вероятностной модели простых чисел Крамера, дается метод получения асимптотических оценок для различных гипотез о простых числах с большой точностью. По-моему очень интересно!

[Skipper]

Dmitriy40, вынесли в другую тему.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1506759 писал(а):

Skipper
Добавлю, из того файлика что там по ссылке присутствует, видно что кортеж (tuplet) $x+d, d=0,2,8,12,14,18,20$ впервые находится лишь при $x=5639$, т.е. тоже не в начале числового ряда. Или такой $88793+d, d=0,6,8,14,18,20,24,26$.

Это понятно, но к моему вопросу не относилось, т.к. главное - длина $k$-туплета, (численность $k$ простых чисел, на промежутке длиной $d$, т.е. от $p$ до $p+d$ , где оба этих крайних числа - простые). Нам неважно, какой тип распределения, внутри этих туплетов длиной $d$.
Например, кортеж $k=7, s=20, B={0, 2, 8, 12, 14, 18, 20}$ , встречается, с числа $x=5639$, но он нас не интересует, т.к. в общем случае, "кортеж типа $7$" - всё таки встречается, в начале числового ряда, это подтип - k=7, $s=20, B={0, 2, 6, 8, 12, 18, 20}$ , простыми числами - $[11, 13, 17, 19, 23, 29, 31]$ .

Dmitriy40 в сообщении #1506759 писал(а):

в частности что длиной 24, 28 и многие длиннее не имеют тривиальных форм (не встречаются в начале числового ряда).

А вот это именно то, про что я и спросил. Спасибо. Значит, минимальный кортеж, из $24$ простых чисел, может иметь длину $100$.
Исходя из данных,

http://oeis.org/A008407/list

Minimal difference s(n) between beginning and end of n consecutive large primes (n-tuplet) permitted by divisibility considerations.
Переводя,
Минимальная разница между началом и концом $N$ последовательных больших простых чисел, разрешенная соображениями делимости.

Как я писал,

Skipper в сообщении #1506701 писал(а):

Для нашей задачи НЕВАЖНО, какое именно распределение чисел внутри любого кортежа, главное, чтобы кортеж был минимально возможной длины.

Определение 1. Назовём такие кортежи - Назовём "кортежем типа $N$" - промежуток на натуральном ряду чисел, где $N$ простых чисел лежат на минимально возможной длине промежутка $d$ , согласно правилам делимости выше по ссылке, (и неважно, с каким именно распределением чисел внутри любого кортежа, т.е. подтипом).

Дополнение (к определению 1 выше). Если в начале числового ряда встречается кортеж, из $N$ простых чисел, на отрезке, меньшем чем $d$, то такой случай не считается, и отбрасывается, потому, что такие кортежи встречаются только один раз (или очень малое число раз, из-за несоответствия правилам делимости, по которым выше даны минимальные длины). Например, $2$ простых числа на отрезке длиной $1$ , это $ [2,3]$. Или $3$ простых числа на отрезке длиной $4$ - это $[3,5,7]$ . Подобные котрежи не могут встречаться много раз, и это легко доказывается. И так далее. Именно по этой причине, удовлетворяющему выше определению ("кортежей типа $N$") , впервые встречаемые в числовом ряду, будут,

Кортеж типа $2$ - с простыми числами $[ 3, 5 ]$ . (а не начинающийся с $2$)
Кортеж типа $3$ - с простыми числами $[ 5, 7, 11 ]$ . (а не начинающийся с $3$)
Кортеж типа $4$ - с простыми числами $[ 5, 7, 11, 13 ]$ .
Кортеж типа $5$ - с простыми числами $[ 5, 7, 11, 13, 17 ]$ .
Кортеж типа $6$ - с простыми числами $ [ 7, 11, 13, 17, 19, 23 ]$ . (начинается с $7$, а не с $5$).

Определение 2. Какие кортежи не встречаются в начале числового ряда? Т.е. как это определяем? Отсюда ,
http://oeis.org/A008407
http://oeis.org/A008407/list
берём их минимальные длины, удовлетворяющие правилами делимости. Например, кортеж типа $24$, т.е. состоящий из $24$ простых чисел, может иметь по этим правилам минимальную длину $100$. Значит, на промежутке от $p$ до $(p+100)$ , может разместиться $24$ простых числа. Повторю, нам неважно, какое распределение чисел внутри кортежа (какой "подтип"), важно лишь то, что чисел всего $24$, а длина кортежа $100$.
далее,
Берём ряд простых чисел и считаем, с числа $2$ - получаем, $24$ простых числа, на отрезке $87$. Отрезок $87$ - разрешенный минимальный (правилами делимости выше, по ссылке) ? Нет, минимальный должен быть $100$. Поэтому такой кортеж нас не интересует, он не соответствует определению выше, и встречается только один раз.
далее,
Берём ряд простых чисел и считаем, с числа $3$ - получаем, $24$ простых числа, на отрезке $94$. Отрезок $94$ - разрешенный минимальный (правилами делимости выше, по ссылке) ? Нет, минимальный должен быть $100$. Поэтому такой кортеж нас не интересует, он не соответствует определению выше, и встречается только один раз.
аналогично,
не рассматривается кортеж начиная с числа $ 5, 7 , 11, 13$ или $17$ (их длина $96$ - тоже меньше, чем минимально разрешенная),
а вот, со следующего числа, условие удовтетворяется, кортех с числа $19$, т.е.
$[19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127] $
имеет $24$ нужных простых числа, но длина его сразу $108$ , что больше чем $100$ - минимально разрешенной.

Именно такие кортежи (так определяемые), считается, "кортежи типа $N$" (согласно определению 1) - и не встречающиеся в начале числового ряда (согласно определению 2).
Минимальный такой кортеж, из $24$ простых чисел, должен иметь длину $100$, но не встретился в начале числового ряда, там где плотность простых чисел наибольшая. Удивительно, если подобный найдут среди очень больших чисел, там, где плотность простых чисел намного меньше.

Гипотеза. (т.к. специального названия не имеет, назову своим именем).

Гипотеза Янковича. Если "кортеж типа $N$" (согласно определению 1 выше, и дополнению к нему), не встретился в начале числового ряда (согласно определению 2), то подобный кортеж, не встретится никогда на всём числовом ряду.

1) Стоит отметить, что эта гипотеза очень сильная (сильнее чем 2-я гипотеза Харди-Литлвуда. Т.е. 2-я гипотеза Харди-Литлвуда следует из гипотезы Янковича, но наоборот, ГЯ, может не следовать из 2-й гипотезы Харди-Литлвуда. Хотя я полагаю, что они могут быть и равносильными, но это надо доказать).
2) Поскольку моя гипотеза - более сильное утверждение, то опровергнуть его намного проще - достаточно найти "кортеж типа $24$" на минимально возможном отрезке $100$.
В то время как, для опровержения 2-й гипотезы Харди-Литлвуда, требуется находить намного более сложные кортежи, т.е.
"кортеж типа $447$" на отрезке $ y = 3159 $ .

Skipper в сообщении #1506721 писал(а):

допустимый $ k $ -набор (или кортеж простых чисел) из $447$ простых чисел может быть найден в интервале $ y = 3159 $ целых чисел, в то время как $ \pi (3159) = 446 $. Если первая гипотеза Харди – Литтлвуда верна, то первый такой $ k $ -набор ожидается при $ x $ больше $ 1,5 \times 10 ^ {174} $, но меньше $ 2,2 \times 10 ^ {1198} $.

3) Также, очевидно, что если моя гипотеза верна, то она сразу же опровергает 1-ю гипотезу Харди-Литлвуда, которая утверждает что всех "кортежей типа $N$" - бесконечное количество. Выходит, их может быть и конечное количество, уж если "кортеж типа $24$" - не существует вообще!
4) Моя гипотеза достаточно сильная, настолько что я сам сомневаюсь что она верна (дал бы так, интуитивно "50 на 50", на вопрос верна или нет).

Соображения в пользу истинности этой гипотезы - задавал я это вопрос, обсуждали 5 лет назад, а "воз и ныне там" ! Т.е. считают эти простые числа, на суперкомпьютерах, которые с годами - больше по производительности, и найти первый же такой "кортеж типа $N$" , который не встретился в начале числового ряда, а именно кортеж из $24$ простых чисел на отрезке $100$ - до сих пор не могут.
Может, компьютеры просчитали уже столько чисел, что таких кортежей должно быть найдено несколько десятков, исходя и теории частоты их распределения? (мы же можем посчитать какова частота распределения, простых чисел-близнецов (т.е. кортежей типа $2$), триплетов, квадруплетов, и т.д., так можем посчитать и какова частота распределения кортежей из $24$ чисел)..
Тогда если $99%$ % вероятность, что такой кортеж должен быть найден, но он до сих пор ни один не найден,
этот "отрицательный результат - тоже результат", может свидетельствовать в пользу моей гипотезы, и в пользу того, что первая гипотеза Харди-Литлвуда неверна. (а 2-я гипотеза Харди-Литлвуда тогда будет верна, т.к. следует из моей гипотезы).

PS Надеюсь, всё достаточно подробно, чтобы было понятно, расписал.

[Dmitriy40]

Skipper
Написали может и понятно (повторив всё в третий кажется раз), но сделали несколько сомнительных странных заявлений.

И для начала предлагаю задуматься над разницей между паттернами (кортежами я их называю когда известно начальное число)
0 2 6 8 12 20 26 30 36 38 42 48 50 56 62 66 68 72 78 80
и
0 2 8 12 14 18 30 32 38 42 44 50 54 60 68 72 74 78 80
одинаковой длины в 20 элементов и одинакового диаметра 80.

Несмотря на всю свою одинаковость, частота встречаемости у них разная! Для некоторых других паттернов одинаковой длины и диаметра я видел отличие в частоте встречаемости даже на порядок. Потому говорить о частоте встречаемости лишь на основе двух параметров паттерна/кортежа (его длины и диаметра) некорректно!
К тому же только один из них встречается в начале числового ряда. А это уже прямо противоречит вашей гипотезе, что если мол не встречается в начале, то и не встретится никогда — вот же, встретился!
Возражение что рассматриваете только всю совокупность паттернов одинаковой длины и диаметра снимается вопросом чем паттерны длин 24,28,29 и т.д. отличаются от любых меньших. Мне такого принципиального отличия не видно.
Собственно этим и исчерпывается аргументация против вашей гипотезы. Дальше я лишь поясню некоторые мысли почему ваши заявления слишком смелые или наивные.

Про плотность простых. Да, в начале она максимальна, но, и это важно, в начале реализуются не все возможные варианты паттернов! А значит дальше где-то могут быть локальные сгущения простых чисел, причём в том числе и именно в вариантах тех паттернов, что не реализовались в начале ряда. Это разумеется проверено и наблюдается, уже в первых тысячах чисел, даже далеко ходить не надо. Локальные сгущения никак не противоречат уменьшению средней плотности простых с увеличением чисел, речь ведь лишь про среднюю плотность! А локальные сгущения по факту наблюдаются несмотря на падение средней плотности.

Ну и заявления типа чего же до сих пор не нашли — слишком наивны. Взяли бы калькулятор и посчитали бы, с какой скоростью товарищи находят простые числа, где примерно ожидается нужный кортеж и сколько до туда им считать ... Мне известно что на январь 2021 досчитано как минимум до $10^{30}$ (там найдены новые вхождения паттернов выше длиной 20). Из этого же файла можно прикинуть и скорость, по тем же 20-tuplets, с 26 декабря 2020 по 21 января 2021 пройдено $3.45\cdot10^{28}$ или примерно $1.5\cdot10^{22}$ в секунду. Это хорошая скорость, моя программа в 1 поток ищет их же (точнее всего один заданный паттерн из всех возможных) со скоростью лишь $10^{16}$ в секунду.
Ну а суперкомпьютер никто не даст под эту задачу, слишком дорого стоит его время. Да и не факт что он будет быстрее, распределённые вычисления рулят уже два десятка лет.

Из того же файлика узнаем, что в 2016 был найден лишь третий нетривиальный кортеж, длиной 21, а более длинных кортежей пока (на февраль 2021) так и не найдено. А вы требуете найти длиной 24 ... Они очевидно ещё очень и очень далеко, считать ещё и считать ... Судя по динамике нахождения первых нетривиальных кортежей длин 19,20,21, они отличаются каждый примерно на порядок, значит возможно кортеж 22 будет из 30 цифр (по факту не найден и значит больше), кортеж 23 из 31 цифры, ну а желаемый кортеж 24 из 32 цифр, или считать до него ещё сотню лет при текущей скорости счёта! При том что сейчас счёт идёт примерно в сотню тысяч потоков (т.е. много тысяч компов считают 24/7/365)! При дальнейшем прогрессе технологий за десяток-два лет может и найдут.

Итого.
Нет никаких причин считать что некоторые паттерны никогда не встречаются в числовом ряду. И есть примеры обратного.

[Skipper]

Dmitriy40 большое спасибо, за ответ, ваше сообщение было лучшим и наиболее понятным, подробным, из всего что я прочитал и спрашивал в интернете, за несколько лет.

Dmitriy40 в сообщении #1507866 писал(а):

узнаем, что в 2016 был найден лишь третий нетривиальный кортеж, длиной 21, а более длинных кортежей пока (на февраль 2021) так и не найдено.

Этот -

Prime 21-tuplet (NEW WORLD RECORD and only the third ever non-trivial example!)
$248283957683772055928836513589 + d$,
$d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84 $
(30 digits, 1 Aug 2016, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
?
Да, получается , действительно мировой рекорд, получается, который с 2016 до 2021 года не могут улучшить.

Dmitriy40 в сообщении #1507866 писал(а):

Нет никаких причин считать что некоторые паттерны никогда не встречаются в числовом ряду.

Согласен, значит моя гипотеза скорее неверна, чем верна.
У вас, (как у специалиста по теории чисел), хочу спросить,

-----------------------------

1) как вы думаете, означает ли это (все исследования), что скорее всего, неверна и в общем , 2-я гипотеза Харди-Литтлвуда, т.е. существует кортеж длиной в $447$ простых чисел, на отрезке $3159$, притом что в самом начале числового ряда, (даже учитывая тривиальные варианты, включая простые числа $2, 3$ , и с максимальной плотностью простых чисел в начале числового ряда), на отрезке $3159$, получилось, только $446$ простых чисел? Т.е.

Skipper в сообщении #1507747 писал(а):

допустимый $ k $ -набор (или кортеж простых чисел) из $447$ простых чисел может быть найден в интервале $ y = 3159 $ целых чисел, в то время как $ \pi (3159) = 446 $. Если первая гипотеза Харди – Литтлвуда верна, то первый такой $ k $ -набор ожидается при $ x $ больше $ 1,5 \times 10 ^ {174} $, но меньше $ 2,2 \times 10 ^ {1198} $.

Skipper в сообщении #1506721 писал(а):

Утверждение второй гипотезы Харди – Литтлвуда эквивалентно утверждению, что количество простых чисел от $x + 1$ до $x + y$
всегда меньше или равно количеству простых чисел от $1$ до $y$.

Если эта вторая гипотеза Харди – Литтлвуда неверна, то (как я понял) кортежи с намного большим числом простых чем $447$, например, из $1000 $ простых чисел, будут встречаться, на числовом ряду, уже на отрезках, СУЩЕСТВЕННО более коротких, чем отрезок первых $1000 $ простых чисел, в начале числового ряда.. (это удивительно!)

2) верна ли 1-я гипотеза Харди-Литлвуда, о том, что существуют все допустимые кортежи (по правилам описанным выше), всех паттернов ,
а к тому же их любых (кортежей по каждому паттерну), существует ещё и бесконечное количество! ?

PS Последнее почему то, не могут доказать даже для обычных простых чисел близнецов, т.е. пар чисел, с разностью $2$.
Спасибо.

[Dmitriy40]

Skipper
Да, этот.
Странно что не найден 22-tuple, вроде он должен был быть из 30 цифр, т.е. до $10^{30}$, однако уже дошли до $1.2\cdot10^{30}$, а его нету ... Но так как это лишь малообоснованная надежда, то опровержением служить не может разумеется, найдут.

Skipper в сообщении #1507914 писал(а):

У вас, (как у специалиста по теории чисел),

Э нет, я совершенно не специалист, простой программист, даже без вышки. А то прямо вижу то облако тапок что уже летит в мою сторону от всамделишных специалистов ...

Skipper в сообщении #1507914 писал(а):

1) как вы думаете, означает ли это (все исследования), что скорее всего, неверна и в общем , 2-я гипотеза Харди-Литтлвуда, т.е. существует кортеж

Skipper в сообщении #1507914 писал(а):

2) верна ли 1-я гипотеза Харди-Литлвуда, о том, что существуют все допустимые кортежи (по правилам описанным выше), всех паттернов, а к тому же их любых (кортежей по каждому паттерну), существует ещё и бесконечное количество! ?

Какая из двух гипотез Харди-Литлвуда верна мне непонятно. На первый взгляд должны быть верны обе. Кстати 447-кортеж не единственный, видимо лишь наименьший, а так их таких полно, начиная с 450,451,453,455,456,457,458,459,460,481,482,483 (и ещё много) и для всех от 686 и далее.

Но если уж выбирать из двух гипотез, то верна скорее первая (и гипотеза Диксона тоже разумеется), раз уж доказано существование бесконечно много кортежей $(p,p+246)$ (и десятков других). Остался вопрос любые ли кортежи встречаются бесконечно или есть исключения/правила/подклассы. Ну и тогда вторая гипотеза будет неверна и значит начало числового ряда не максимально по плотности простых (а примеры таких кортежей уже были). Это как бы менее гибельно чем наоборот ...

А вопрос с близнецами слишком сложный, он только выглядит просто, там вообще удивительно что смогли доказать не для "почти-бесконечно-большого" числа из over-гугола цифр, а для жалких 70 миллионов, а затем и вовсе снизили до 246.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1507924 писал(а):

Какая из двух гипотез Харди-Литлвуда верна мне непонятно. На первый взгляд должны быть верны обе

Здесь недопонял. Верны обе же они быть не могут (?), насколько я понимаю.
Ведь если верна 2-я гипотеза, т.е.

Skipper в сообщении #1507914 писал(а):

Утверждение второй гипотезы Харди – Литтлвуда эквивалентно утверждению, что количество простых чисел от $x + 1$ до $x + y$
всегда меньше или равно количеству простых чисел от $1$ до $y$.

то из этого следует что допустимый кортеж длиной в $447 $ простых чисел, на минимально возможном отрезке $3159$, уже не будет найден, что противоречит 1-й гипотезе Харди-Литлвуда, о том что все кортежи, определенные правилами делимости (ссылку приводил выше), существуют и их бесконечное количество.
Т.е. просто - 2-я гипотеза противоречит 1-й.

Либо 1-я верна, 2-я неверна (что более вероятно, из рассуждений, что пока кортежи для всех паттернов находятся).
Либо 2-я верна, 1-я неверна (есть паттерны, кортежи из которых не встречаются на числовом ряду, например из 447 простых чисел),
Либо обе эти гипотезы неверны.

Dmitriy40 в сообщении #1507924 писал(а):

Кстати 447-кортеж не единственный, видимо лишь наименьший, а так их таких полно, начиная с $450,451,453,455,456,457,458,459,460,481,482,483$ (и ещё много) и для всех от $686$ и далее.

Если есть, дайте ссылку, пруф, где рассчитаны длины допустимых минимальных отрезков для всех k-туплетов? Если кто то до $686$ посчитал. Здесь,
http://oeis.org/A008407
http://oeis.org/A008407/list

я вижу, только для $k \leqslant 56$ .

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1507944 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1507924 писал(а):

Какая из двух гипотез Харди-Литлвуда верна мне непонятно. На первый взгляд должны быть верны обе

Здесь недопонял. Верны обе же они быть не могут (?), насколько я понимаю.

Не могут, это доказано. Потому там и стоял смайлик.
Ну и как уже сказал, есть указания что первая таки верна (раз уж вообще существуют кортежи, впервые появляющиеся не в начале числового ряда, плюс много разных кортежей доказано бесконечно встречаются). Значит вторая не верна. Это не страшно, ведь начало числового ряда единственно и вполне может не включать все возможные разрешённые вычетами комбинации паттернов, это не так уж удивительно. Но разумеется это мои домыслы.

Skipper в сообщении #1507944 писал(а):

Если есть, дайте ссылку, пруф, где рассчитаны длины допустимых минимальных отрезков для всех k-туплетов? Если кто то до $686$ посчитал. Здесь,
http://oeis.org/A008407
http://oeis.org/A008407/list
я вижу, только для $k \leqslant 56$ .

В этой же последовательности буквально следующая же ссылка "Thomas J. Engelsma, Permissible Patterns" ведёт на сайт http://www.opertech.com/primes/k-tuples.html, там перед табличкой есть ссылка "Linked Summary of k-tuple information up to width of 42741", ведущая на страницу Summary of K-tuple information с объяснением смысла колонок и ссылкой на текстовый файлик summary.txt, где и можно добыть информацию.

Другой путь, посмотреть моё сообщение со ссылкой на выложенный мною в облако большой файлик со всеми паттернами. Если найдёте откуда я его в 2015 скачал — поделитесь, поправлю ссылки. В принципе про него же и здесь речь, но почему-то не в виде одного архива.

[vorvalm]

Функции Эйлера высших порядков мультипликативные., т.е.

$ \varphi_n(p q) =\varphi_n(p)\varphi_n(q)$

Доказательство.

Принимаем простые числа $p > n, q > n$. Вычеты группы взаимно простые и несравнимые
по модулю $p\land q$ .
Так как $(p, q) = 1$, то полная система вычетов по модулю pq потенциально представляет собой
первые вычеты групп $n $ - го порядка. Но нас интересуют только те группы, в которых нет вычетов
кратных $p\land q.$
Так как вычеты групп по определению взаимно простые числа, то в одной группе не может быть
двух вычетов крaтных одному простому числу $p\lor q$, но могут быть два вычета кратныx, один $p$, другой $q$.
Кроме того есть вычеты равные $p q$, которые могут занимать любое место в группе и число которых равно $n$.

Число вычетов кратных $p$ в модуле $p q$ равно $q$ и наоборот. Отсюда общее число вычетов кратных $ p\land q $
во всех потенциальных группах $n$ - го порядка равно $(p + q) n$, при условии, что в одной группе
будет только один вычет, кратный $p\lor q$. Но в это число войдут и группы, в которых будут вычеты
одновременно кратные, один $p$, другой $q$ и вычеты, равные $pq$.
Число их надо вычесть из общего числа вычетов кратных $p\land q$.
Вычеты кратные $p\land q$ располагаются в одной группе произвольно в различных комбинациях
среди $n$ вычетов группы. Здесь мы имеем дело с перестановками этих вычетов в группе из
$n$ вычетов. Их число вместе с числами $pq$ равно

$n!/(n-2)! + n = n^2$

Отсюда, число групп $n$-го порядка в ПСВ по модулю $m = pq $ при принятых условиях равно

$\varphi_n(p q) = p q - ( p + q) n + n^2 = (p - n)(q - n) = \varphi_n(p) \varphi_n(q)$

[Skipper]

Dmitriy40

Цитата:

странно что не найден $22-tuple$, вроде он должен был быть из 30 цифр, т.е. до $10^{30}$, однако уже дошли до $1.2\cdot10^{30}$, а его нету ...

И что, до сих пор не найден?

Цитата:

Какая из двух гипотез Харди-Литлвуда верна мне непонятно

Что-то мне теперь думается, что неверны эти гипотезы, ни первая ни вторая. Вторую гипотезу опровергнут, скорее всего найдя кортеж из 447 простых чисел, причём поиски будут не перебором, а на основе новых данных, сужающих области поиска.

Ну а то, что первая гипотеза неверна, правдоподобные рассуждения следующие: если она верна, то должен встретиться скажем, кортеж из $N$ простых чисел, где $N$ - например число
$10^{10^{10^{10}}}$,
я такое число называю "комбиллион", оно по сути превышает почти все числа с которыми имеет дело математика, и уже такое число по сути, даже разум представить не может.
А такой кортеж, будет существенно меньше по длине чем первые (от $2$) эти же $N$ простых чисел.
На каком основании тогда кто-то полагает, что согласно 1-й гипотезе Харди-Литтлвуда - простые числа расположены столь неравномерно ?
Выходит, что в нужных "районах" одно простое число попадается намного более чем на комбиллион натуральных, а тут вдруг.. целый кортеж из комбиллиона простых чисел возник.. :)

Гипотеза-2 моя - "существуют натуральные числа $A$ и $B$, при превышении $A$ - кортежи из $A$ простых чисел, уже встречаются лишь конечное количество раз,
а при превышении $B$, кортежи из $B$ простых чисел, вообще не встречаются на числовом ряду".

PS В гипотезу о бесконечном количестве простых чисел-близнецов, я таки верю, а потому это число $A$ больше чем $2$,

[mihaild]

Skipper в сообщении #1584663 писал(а):

На каком основании тогда кто-то полагает, что согласно 1-й гипотезе Харди-Литтлвуда - простые числа расположены столь неравномерно ?

Она же вроде утверждает, что простые числа распределены случайно. Т.е. если выбрать подмножество натуральных чисел, причем число $n$ берем с вероятностью $\frac{1}{\ln n}$ и все числа берем независимо, то первая гипотеза будет выполнена почти наверное. Соответственно вся эта неравномерность - просто естественный разброс.