Бесконечность простых чисел-близнецов

Dmitriy40 · 29.10.2025, 15:59

Skipper в сообщении #1707562 писал(а):

Удивительно что никакого прогресса дальше, за 7 лет, с 2018 года.
Может, гипотеза Харди-Литлвуда, о бесконечном количестве любых длин и типов кортежей, неверна?

Из-за этого - точно не может.

Skipper в сообщении #1707562 писал(а):

Выходит, это число тоже в каком-то смысле, пока уникально для человеческой цивилизации :)

Таких "уникальных" чисел - вагон и огромная телега. Как минимум по одному на каждый вариант паттерна (список $d$ ), коих бесконечное количество.
К тому же здесь речь лишь о максимально плотных кортежах, а бывают и другие. Например мы (я в том числе) занимались поиском симметричных, когда разности между соседними простыми одинаковы с начала и с конца. И такой кортеж был найден длиной 28. А недавно был найден и максимально плотный симметричный кортеж длиной 19, тоже первое продвижение в симметричных кортежах нечётной длины (и в максимально плотных таких) за долгие годы.

Так что несколько лет отсутствие продвижения - это ни о чём не говорит. Ну или говорит о недостаточности выделенных вычислительных ресурсов.

Skipper · 29.10.2025, 18:47

Dmitriy40 в сообщении #1707575 писал(а):

речь лишь о максимально плотных кортежах, а бывают и другие

Ну для меня, самые интересные, это:

1) самые плотные, (о чём выше писал про "кортежи". вот тут есть примеры многих последовательностей https://oeis.org/A257124),
и наоборот,

2) самые менее плотные.
Это когда ищем пару простых, которые наоборот, лежат на максимальном интервале (по ключевым словам prime gaps, находятся в интернете), или 3 простых на максимальных интервалах, 4 простых и так далее..
Эти интервалы всегда растут по мере отдаления по числовой прямой.

3) интересен еще один, третий тип. Последовательность простых чисел, по мере удаления по числовой оси, у которых в обе стороны (и в меньшую и в большую) нет простого числа ближе очередного "рекордного расстояния" которое было ближе, при подсчетах от самого начала числовой оси.
Не обязательно вся эта тройка простых будет рекордно длинной (это из пункта выше 2), но вполне такое возможно.
Так сказать, такие простые "числа-одиночки", у которых в обе стороны, далеко нет рядом лежащих простых чисел-соседей. (последовательности prime gaps из 2-го пункта, показывают такие рекорды, только "в одну сторону").
Понимаете, о чём я? Интересно, как такая последовательность кодируется, в oeis, или как её можно в интернете найти?
Я могу написать свою программу и вычислить, но это будут небольшие числа, а меня интересует,
как такая длина растёт асимптотически, потому хотел бы найти такую последовательность, начиная от начала числовой оси, и до очень больших чисел...

Dmitriy40 · 29.10.2025, 21:21

Skipper в сообщении #1707599 писал(а):

2) самые менее плотные.
Это когда ищем пару простых, которые наоборот, лежат на максимальном интервале (по ключевым словам prime gaps, находятся в интернете), или 3 простых на максимальных интервалах, 4 простых и так далее..

Слишком нечётко сформулировано.
Должен ли интервал между соседними простыми быть везде одинаковым (это очень сильное ограничение) или просто не меньше указанного?

Например есть последовательность простых, у которых оба соседа на одинаковом расстоянии: A058867.
Если же не меньше, то см. ниже.
Если же несколько простых на одинаковом расстоянии, то смотрите здесь.

Skipper в сообщении #1707599 писал(а):

3) интересен еще один, третий тип. Последовательность простых чисел, по мере удаления по числовой оси, у которых в обе стороны (и в меньшую и в большую) нет простого числа ближе очередного "рекордного расстояния" которое было ближе, при подсчетах от самого начала числовой оси.

Это делается просто: пишете программу находящую штук 3-5 первых элементов и потом ищете их в OEIS. И легко находите A023186.

Skipper · 30.10.2025, 00:14

Dmitriy40 в сообщении #1707625 писал(а):

Слишком нечётко сформулировано.
Должен ли интервал между соседними простыми быть везде одинаковым (это очень сильное ограничение) или просто не меньше указанного?

Это что то , типа списка prime gaps. Только prime gaps - для 2-х простых соседних чисел.
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

вот первые из них-

gn - pn
1 - 2
2 - 3
4 - 7
6 - 23
8 - 89
14 - 113
18 - 523
20 - 887

gn - длина очередного "рекордного прыжка", между простыми, какого не встречалось ранее на числовой оси.
Первый такой "прыжок"- длиной 1, между простыми числами 2, и 3,
Следующий- длиной 2, между простыми числами 3, и 5. В правой колонке- стартовое число,
после которого идёт очередное рекордно длинное расстояние между 2-мя простыми.
Если таковое или менее уже встречалось, то все промежуточные числа- игнорируются.

Например, впервые 2 простых на отрезке длиной в 14, встречаются начиная от числа 113.

Следующие аж до числа 523- не имеют разрывов больше чем 14, потому сюда в список не попадают.
Как только видим очередной следующий рекорд- заносим его в список.
Это прыжок длиной в 18, начиная от числа 523 .

Ну и так далее.
Это выше описаны, рекордные интервалы, для 2-х простых.
А также можно построить аналогично, с рекордами по возрастанию, для 3-х простых чисел,
для 4-х простых и так далее.

В таком случае, что там внутри интервалов как простые расположены- просто игнорируется.
Например, если рассматриваем отрезки содержащие 4 простых, то нам важны только расстояния
между 1-м и 4-м, то есть последним простым числом. (а где там 2-е и 3-е находится- неважно).

Построив такой список, мы можем быть уверены, что вот до данного исследуемого интервала,
который стал рекордным, от самого начала числовой оси, не было ни одного отрезка,
ещё более длинного, содержащего 4 простых числа.

Это я и имел в виду, под исследованием, наоборот, "наименее плотных" кортежей.

Dmitriy40 · 30.10.2025, 00:36

Skipper в сообщении #1707642 писал(а):

А также можно построить аналогично, с рекордами по возрастанию, для 3-х простых чисел,
для 4-х простых и так далее.

Это по прежнему непонятно.
Вы говорите о диаметре последовательности из 3,4,... простых чисел? Т.е. о разнице между наибольшим и наименьшим, без учёта как расположены простые между ними? Так это не gap, это обычно называют диаметром.
При поиске магических квадратов мы занимались и таким поиском, что-то находили. Например измерены диаметры всех последовательностей из простых чисел длиной до 100 до $5\cdot10^{13}$ . Сохранены лишь точки увеличения диаметра для каждой длины. Например вот изменение диаметра цепочки из 100 простых:

(Оффтоп)

Обозначение, диаметр, с какого простого начинается:
D(100)=539:2
D(100)=544:3
D(100)=552:5
D(100)=556:7
D(100)=558:11
D(100)=560:17
D(100)=568:19
D(100)=570:23
D(100)=572:41
D(100)=574:43
D(100)=578:53
D(100)=582:59
D(100)=586:73
D(100)=590:83
D(100)=598:103
D(100)=602:107
D(100)=610:109
D(100)=614:113
D(100)=620:167
D(100)=624:173
D(100)=630:179
D(100)=638:239
D(100)=640:241
D(100)=644:263
D(100)=648:271
D(100)=652:277
D(100)=656:281
D(100)=658:283
D(100)=660:317
D(100)=666:421
D(100)=684:467
D(100)=690:523
D(100)=708:653
D(100)=712:661
D(100)=722:677
D(100)=726:683
D(100)=732:691
D(100)=738:1093
D(100)=750:1097
D(100)=758:1103
D(100)=762:1231
D(100)=766:1303
D(100)=774:1307
D(100)=778:1489
D(100)=780:1723
D(100)=788:1733
D(100)=790:1741
D(100)=792:1747
D(100)=802:1789
D(100)=816:2347
D(100)=820:2383
D(100)=824:2393
D(100)=834:2417
D(100)=840:2459
D(100)=844:3637
D(100)=846:3701
D(100)=850:3733
D(100)=852:3739
D(100)=858:3779
D(100)=864:3919
D(100)=870:4019
D(100)=882:4021
D(100)=888:4493
D(100)=890:4523
D(100)=900:5861
D(100)=910:5869
D(100)=916:6367
D(100)=924:6373
D(100)=928:6379
D(100)=930:6481
D(100)=936:7577
D(100)=938:7583
D(100)=946:7591
D(100)=948:7649
D(100)=950:7727
D(100)=972:9859
D(100)=978:10273
D(100)=980:10337
D(100)=982:10369
D(100)=994:10663
D(100)=1010:10667
D(100)=1024:10753
D(100)=1030:13339
D(100)=1032:15791
D(100)=1034:15809
D(100)=1054:15817
D(100)=1056:15823
D(100)=1060:18061
D(100)=1062:18077
D(100)=1076:18131
D(100)=1078:18133
D(100)=1080:18253
D(100)=1116:18257
D(100)=1120:24109
D(100)=1124:24113
D(100)=1132:24169
D(100)=1134:34763
D(100)=1136:37571
D(100)=1138:37573
D(100)=1140:37663
D(100)=1144:42709
D(100)=1148:42719
D(100)=1162:42727
D(100)=1170:42743
D(100)=1182:42751
D(100)=1184:59417
D(100)=1188:59419
D(100)=1190:60107
D(100)=1204:60127
D(100)=1210:60169
D(100)=1216:63703
D(100)=1226:63743
D(100)=1236:63761
D(100)=1244:63809
D(100)=1248:63841
D(100)=1254:87697
D(100)=1268:87701
D(100)=1274:87719
D(100)=1276:87721
D(100)=1290:97007
D(100)=1298:102251
D(100)=1300:102253
D(100)=1302:102259
D(100)=1308:102559
D(100)=1326:102563
D(100)=1340:102611
D(100)=1344:155863
D(100)=1354:167449
D(100)=1380:167471
D(100)=1386:180001
D(100)=1390:180007
D(100)=1402:180097
D(100)=1404:180263
D(100)=1406:180287
D(100)=1422:180289
D(100)=1424:249257
D(100)=1428:272453
D(100)=1440:284927
D(100)=1468:286711
D(100)=1470:286813
D(100)=1476:338581
D(100)=1518:359231
D(100)=1526:359243
D(100)=1528:359323
D(100)=1540:359407
D(100)=1560:359599
D(100)=1562:359621
D(100)=1578:359633
D(100)=1612:484207
D(100)=1620:484373
D(100)=1626:484397
D(100)=1650:637783
D(100)=1652:637787
D(100)=1658:637829
D(100)=1660:637831
D(100)=1666:912451
D(100)=1668:912463
D(100)=1694:912467
D(100)=1720:912469
D(100)=1726:912487
D(100)=1728:912491
D(100)=1740:912497
D(100)=1746:912523
D(100)=1754:912539
D(100)=1762:912559
D(100)=1764:1636969
D(100)=1768:1637029
D(100)=1770:2373263
D(100)=1788:2373323
D(100)=1796:2373407
D(100)=1798:2373409
D(100)=1812:3063409
D(100)=1824:3063419
D(100)=1828:3063433
D(100)=1830:3063461
D(100)=1840:3063493
D(100)=1850:3063497
D(100)=1854:3063499
D(100)=1856:3099581
D(100)=1872:3099587
D(100)=1896:4957937
D(100)=1908:4958011
D(100)=1926:4958021
D(100)=1964:6033743
D(100)=1972:7174891
D(100)=1974:7174907
D(100)=1996:7174933
D(100)=2022:7174949
D(100)=2034:7174997
D(100)=2036:11430347
D(100)=2070:11430487
D(100)=2078:11430491
D(100)=2086:11929627
D(100)=2088:11929639
D(100)=2106:11929703
D(100)=2116:14959183
D(100)=2156:15367871
D(100)=2160:15368161
D(100)=2176:15368293
D(100)=2180:15368621
D(100)=2192:15368627
D(100)=2210:20940797
D(100)=2216:20940851
D(100)=2218:27755383
D(100)=2238:27755389
D(100)=2240:27755393
D(100)=2310:27755471
D(100)=2322:27755501
D(100)=2328:49442791
D(100)=2332:49442821
D(100)=2344:51459007
D(100)=2346:51459013
D(100)=2358:51459071
D(100)=2364:51459077
D(100)=2366:65879357
D(100)=2372:71754461
D(100)=2380:74164957
D(100)=2382:78601009
D(100)=2398:78601093
D(100)=2400:85038841
D(100)=2410:85038853
D(100)=2416:85455091
D(100)=2422:85455121
D(100)=2442:91561601
D(100)=2450:91561667
D(100)=2456:91561721
D(100)=2484:91561763
D(100)=2490:91561831
D(100)=2494:91561837
D(100)=2506:91561843
D(100)=2508:91561871
D(100)=2518:140989033
D(100)=2520:166060073
D(100)=2546:166060121
D(100)=2562:166060151
D(100)=2574:166060159
D(100)=2598:197875309
D(100)=2628:197875313
D(100)=2672:233799851
D(100)=2692:233799859
D(100)=2732:233799869
D(100)=2744:233799887
D(100)=2748:465474631
D(100)=2792:541138751
D(100)=2832:541138757
D(100)=2838:541138891
D(100)=2854:658547257
D(100)=2858:658547261
D(100)=2910:1002781757
D(100)=2934:1002781763
D(100)=2954:1002781823
D(100)=2962:1002782089
D(100)=2970:1002782117
D(100)=2976:1653103091
D(100)=3030:1837228781
D(100)=3034:1837228849
D(100)=3038:1837228859
D(100)=3040:2300563717
D(100)=3060:2801555153
D(100)=3070:2801555167
D(100)=3084:2801555369
D(100)=3094:2812289287
D(100)=3150:2812289329
D(100)=3154:3265850893
D(100)=3160:4077483343
D(100)=3180:4692628289
D(100)=3186:5139794287
D(100)=3198:5324780933
D(100)=3222:5324780947
D(100)=3228:6256336061
D(100)=3240:6352845973
D(100)=3250:6685007521
D(100)=3280:7404170017
D(100)=3298:7404170023
D(100)=3378:7404170041
D(100)=3390:9414049409
D(100)=3436:12734423557
D(100)=3450:16025473441
D(100)=3480:16025473469
D(100)=3486:16025473481
D(100)=3500:16025473547
D(100)=3536:16025473553
D(100)=3554:16025473703
D(100)=3596:16025473913
D(100)=3610:16025473927
D(100)=3630:31689954343
D(100)=3656:47223633851
D(100)=3664:47223633859
D(100)=3706:47223633883
D(100)=3710:47223633893
D(100)=3744:80434660259
D(100)=3752:82278206117
D(100)=3780:82278206141
D(100)=3816:82278206147
D(100)=3834:98092684609
D(100)=3848:114913083911
D(100)=3864:114913083913
D(100)=3872:120819325019
D(100)=3876:120819325021
D(100)=3884:139646473859
D(100)=3906:147693346961
D(100)=3930:147693346993
D(100)=3936:161966666903
D(100)=3984:164243936939
D(100)=3996:197679150533
D(100)=4006:197679150547
D(100)=4080:310683251969
D(100)=4082:310683251981
D(100)=4090:353750343319
D(100)=4118:436411039469
D(100)=4122:443792099189
D(100)=4126:443792099197
D(100)=4184:450412967177
D(100)=4198:450412967203
D(100)=4240:450867604813
D(100)=4242:450867604819
D(100)=4248:450867604883
D(100)=4310:450867604907
D(100)=4342:450867605017
D(100)=4376:909482105717
D(100)=4410:1006401165191
D(100)=4456:1006401165247
D(100)=4488:1006401165283
D(100)=4498:1006401165853
D(100)=4506:1959471110351
D(100)=4522:1959471110371
D(100)=4526:2627586246347
D(100)=4560:2627586247043
D(100)=4584:2978652224659
D(100)=4606:2978652224677
D(100)=4614:2978652224689
D(100)=4688:3108617979521
D(100)=4692:3108617979541
D(100)=4750:3108617979583
D(100)=4768:6215409274483
D(100)=4954:6215409274603
D(100)=4988:14731370202473
D(100)=4992:14731370202587
D(100)=4998:16287207737531
D(100)=5012:16287207737561
D(100)=5036:20217663607697
D(100)=5070:22839715877659
D(100)=5092:31170656750521
D(100)=5104:33485387765659
D(100)=5106:33485387765681
D(100)=5176:33994032582793
D(100)=5190:33994032582823
D(100)=5220:33994032583493
D(100)=5278:36683716323781
D(100)=5316:36683716323791
D(100)=5332:36683716323841
D(100)=5470:36683716323847

-- 30.10.2025, 00:40 --

Занимались например тут: «Диаметр последовательности простых чисел».

Skipper · 30.10.2025, 04:59

Dmitriy40 в сообщении #1707625 писал(а):

Это делается просто: пишете программу находящую штук 3-5 первых элементов и потом ищете их в OEIS. И легко находите A023186
.

Хорошо, так и сделал. См. ниже.

Цитата:

Это по прежнему непонятно.
Вы говорите о диаметре последовательности из 3,4,... простых чисел?

Вот, я написал программулину, проанализировал первые 1000000 (1 миллион простых чисел).

Что я имел в виду под этим, 2-м пунктом:

Цитата:

2) самые менее плотные.
Это когда ищем пару простых, которые наоборот, лежат на максимальном интервале (по ключевым словам prime gaps, находятся в интернете), или 3 простых на максимальных интервалах, 4 простых и так далее..
Эти интервалы всегда растут по мере отдаления по числовой прямой.

Программа выдала, для 2-х простых, с рекордными расстояниями между простыми-

PrimeGaps2.txt

another record distance: 1 ; 2 - 3
another record distance: 2 ; 3 - 5
another record distance: 4 ; 7 - 11
another record distance: 6 ; 23 - 29
another record distance: 8 ; 89 - 97
another record distance: 14 ; 113 - 127
another record distance: 18 ; 523 - 541
another record distance: 20 ; 887 - 907
another record distance: 22 ; 1129 - 1151
another record distance: 34 ; 1327 - 1361
another record distance: 36 ; 9551 - 9587
another record distance: 44 ; 15683 - 15727
another record distance: 52 ; 19609 - 19661
another record distance: 72 ; 31397 - 31469
another record distance: 86 ; 155921 - 156007
another record distance: 96 ; 360653 - 360749
another record distance: 112 ; 370261 - 370373
another record distance: 114 ; 492113 - 492227

Здесь идут все очередные рекорды по расстоянию между двумя простыми, аналогично,
как в https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

Для 3-х простых чисел-

PrimeGaps3.txt

another record distance: 3 ; 2 - 3 - 5
another record distance: 4 ; 3 - 5 - 7
another record distance: 6 ; 5 - 7 - 11
another record distance: 10 ; 19 - 23 - 29
another record distance: 12 ; 47 - 53 - 59
another record distance: 14 ; 83 - 89 - 97
another record distance: 18 ; 109 - 113 - 127
another record distance: 24 ; 199 - 211 - 223
another record distance: 28 ; 1123 - 1129 - 1151
another record distance: 40 ; 1321 - 1327 - 1361
another record distance: 42 ; 2161 - 2179 - 2203
another record distance: 44 ; 2477 - 2503 - 2521
another record distance: 48 ; 5591 - 5623 - 5639
another record distance: 50 ; 9551 - 9587 - 9601
another record distance: 56 ; 14087 - 14107 - 14143
another record distance: 58 ; 19603 - 19609 - 19661
another record distance: 72 ; 19609 - 19661 - 19681
another record distance: 76 ; 31393 - 31397 - 31469
another record distance: 80 ; 31397 - 31469 - 31477
another record distance: 82 ; 38461 - 38501 - 38543
another record distance: 100 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 114 ; 155893 - 155921 - 156007
another record distance: 116 ; 360653 - 360749 - 360769
another record distance: 126 ; 370247 - 370261 - 370373
another record distance: 138 ; 396733 - 396833 - 396871

Здесь идут все очередные рекорды по расстоянию между крайними простыми, аналогично,
так что отрезок из 3-х простых становится всё более длинным.
Например, последний- имеет длину 138, это разность между крайними 396871 и 396733 ,
и такого не встречалось для чисел меньших этим.
С начала натурального ряда, это "самая длинная тройка простых чисел".

Вот это я и имел в виду. Аналогично, можно с начала натурального ряда, искать самые
рекордно длинные кортежи из 4-х простых чисел, 5-ти и так далее.
(внутренние числа не интересуют, главное что крайние в кортеже разнесены на максимальное
"расстояние").

Что я имел в виду под этим, 3-м пунктом:

Цитата:

3) интересен еще один, третий тип. Последовательность простых чисел, по мере удаления по числовой оси, у которых в обе стороны (и в меньшую и в большую) нет простого числа ближе очередного "рекордного расстояния" которое было ближе, при подсчетах от самого начала числовой оси.
Не обязательно вся эта тройка простых будет рекордно длинной (это из пункта выше 2), но вполне такое возможно.
Так сказать, такие простые "числа-одиночки", у которых в обе стороны, далеко нет рядом лежащих простых чисел-соседей. (последовательности prime gaps из 2-го пункта, показывают такие рекорды, только "в одну сторону").

SpecialPrimeGaps3.txt

another record distance: 1 ; 2 - 3 - 5
another record distance: 2 ; 3 - 5 - 7
another record distance: 4 ; 19 - 23 - 29
another record distance: 6 ; 47 - 53 - 59
another record distance: 12 ; 199 - 211 - 223
another record distance: 14 ; 1831 - 1847 - 1861
another record distance: 18 ; 2161 - 2179 - 2203
another record distance: 20 ; 3947 - 3967 - 3989
another record distance: 24 ; 16007 - 16033 - 16057
another record distance: 30 ; 24251 - 24281 - 24317
another record distance: 40 ; 38461 - 38501 - 38543
another record distance: 42 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 44 ; 203669 - 203713 - 203761
another record distance: 48 ; 206651 - 206699 - 206749
another record distance: 54 ; 413299 - 413353 - 413411

Видим, что первая такая дистанция равна 2. Число 3 - имеет минимальную дистанцию к ближайшему
простому соседу равную 1.
Потому тут небольшая ошибочка в первом -
https://oeis.org/A023186
первое число 3 (мы же выписываем центральные), а все следующие верные.
(про это на сайте на этой странице так и написано "first term would be 3 instead of 2")
На сайте,
2, 5, 23, 53, 211, 1847, 2179, 3967, 16033, 24281, 38501, 58831, 203713, 206699, 413353, 1272749, 2198981, 5102953, 10938023, 12623189, 72546283, 142414669, 162821917, 163710121, 325737821, 1131241763, 1791752797, 3173306951, 4841337887, 6021542119, 6807940367, 7174208683, 8835528511, 11179888193, 15318488291, 26329105043, 31587561361, 45241670743

Последнее число 45241670743 , т.е. больше чем 45 млрд, имеет некий "рекорд", ранее
не встречавшийся с самого начала числового ряда, такой, что у него ближайший сосед, глядя
в обе стороны, и в бОльшую, и в меньшую, отстоит рекордно далеко.
Насколько, это число можно легко проверить.

У меня же проверка была только до 1 миллиона, и такое число,
не имеющее простых соседей- рекордно на далёком расстоянии, в 54, это число , центральное
в тройке простых, а именно, 413353 .

-- Чт окт 30, 2025 04:12:20 --

Цитата:

Не обязательно вся эта тройка простых будет рекордно длинной (это из пункта выше 2), но вполне такое возможно.

И оно, действительно случилось.
В моих файлах выше, PrimeGaps3.txt и SpecialPrimeGaps3.txt , видим, что в обоих присутствует одна и та
же тройка простых чисел-

another record distance: 100 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 42 ; 58789 - 58831 - 58889

Выходит, эта тройка реализовалась и так что рекордно длинный кортеж из трёх чисел
(между крайними разность 100), и центральное число 58831 , оказалось, не имеет ближайших
соседей в обе стороны так, что ни у каких чисел с начала натурального ряда, подобное не наблюдалось..

Yadryara · 30.10.2025, 10:17