Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1417050 писал(а):

Новая интересная статья на данную тему https://arxiv.org/abs/1908.08613
Данная статья, как раз посвящена использованию вероятностной модели гипотезы Харди-Литтлвуда к определению наибольшего расстояния между простыми числами.

Прочитал статью. Она достаточно большая. Авторы - WILLIAM BANKS, KEVIN FORD, AND TERENCE TAO.

В статье рассмотрены несколько вероятностных моделей простых чисел: модель Крамера, модель Гренвилле, модель Хади-Литтлвуда и новая вероятностная модель, предложенная авторами.

В работе доказаны теоремы 1.3 и 1.4 соответственно о гипотезах Харди-Литтлвуда и Римана, вытекающих из новой модели, а также теоремы 1.5 и 1.6 соответственно об оценке снизу максимального расстояния между соседними элементами, вытекающих из гипотезы Харди-Литтлвуда и усредненной гипотезы Харди-Литтлвуда.

Доказана терема 1.1 об асимптотике верхней и нижней границы максимального расстояния между соседними элементами новой модели.

Все теоремы доказаны с вероятностью равной 1, как это обычно делается в вероятностных моделях.

Теоремы 1.3 и 1.4 доказаны в главе 4 работы на основании доказанного там же утверждения об оценке математического ожидания и дисперсии для суммы случайных величин индикаторов события, что все элементы $k$ кортежа принадлежат новой модели.

Теоремы 1.5 и 1.6 доказаны в главе 8 работы на основании доказанной там же леммы 8.1 с использованием аналогичных индикаторов событий, что все элементы $k$ кортежа принадлежат модели Харди-Литтлвуда.

В главе 7 завершается доказательство теоремы 1.1 на основании доказанных там же вспомогательных теорем.

Все доказательства достаточно объемные, и сама новая модель, по признанию авторов, получилась более сложной, чем предыдущие.

В главе 1 после формулировки теоремы 1.1 на стр. 6 дается гипотеза 1.2, что аналогичную теореме 1.1 асимптотику имеет верхняя и нижняя границы максимального расстояния между соседними простыми числами. Однако, далее авторы делают признание. Приведу текст.

Conjecture 1.2 ( Asymptotic for largest gap in the primes). We have

$g((\epsilon-o(1)))\log^2(x) \leq G_p(x) \leq g((\epsilon+o(1)))\log^2(x)$

It seems likely that $g(a) \sim g(b)$ whenever $a \sim b$, although we cannot prove
this. Assuming this, the above conjecture can be expressed more compactly as

$G_p(x) \sim g(\epsilon \log^2 x)$.

Assuming.... that $g(u) \sim u$, we are then led to the prediction that:

$G_p(x) \sim \epsilon \log^2 x$, where $\epsilon=2e^{-\gamma},\gamma$ - постоянная Эйлера.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1425510 писал(а):

vicvolf в сообщении #1424678 писал(а):

Вот еще интересная ссылка на данную тему http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

В данной ссылке, подсчитанное по формуле (1) количество простых близнецов для $x=10^5-10^8$ совпадает с реальным количеством простых близнецов.

Это связано с тем, что начиная с $x=10^5$ ошибка в вычислениях по данной формуле не превосходит ошибку округления до целого числа.

Если посмотреть на таблицу между формулами 18 и 19 по данной ссылке, то видно что гипотеза вовсе не даёт точного числа кортежей. Вообще никаких.
Более того, она не различает кортежи одинаковой длины между собой, но они могут встречаться с на порядки разной частотой (для длинных кортежей, из пары десятков элементов). Уже это гарантирует что она никогда и не даст точного числа, лишь более-менее близкое.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1439379 писал(а):

Если посмотреть на таблицу между формулами 18 и 19 по данной ссылке, то видно что гипотеза вовсе не даёт точного числа кортежей. Вообще никаких.

Да, мы об этом уже говорили - абсолютная ошибка растет вместе с длиной интервала.

Цитата:

Более того, она не различает кортежи одинаковой длины между собой, но они могут встречаться с на порядки разной частотой (для длинных кортежей, из пары десятков элементов). Уже это гарантирует что она никогда и не даст точного числа, лишь более-менее близкое.

А вот с этим не согласен. Например, в этой же таблице кортежи одинаковой длины: $(p,p+6),(p,p+2,p+6),(p,p+4,p+6)$ на одном интервале встречаются разное число раз.

[Dmitriy40]

А я вижу одинаковое количество раз по гипотезе:

(p,p+2,p+6)   279   1446   8591   55491
(p,p+4,p+6)   279   1446   8591   55491

и разное реальное количество:

(p,p+2,p+6)   259   1393   8543   55600
(p,p+4,p+6)   248   1444   8677   55556

Кортеж $(p, p+6)$ — другой, там всего два элемента вместо трёх.
И под длиной кортежа понимается количество элементов в нём, а не его диаметр (разность наибольшего и наименьшего числа).

[vorvalm]

Число кортежей на интервале зависит не только от длины кортежа
(число элементов) и диаметра, но и от распределения разностей
между вычетами кортежа.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1439395 писал(а):

А я вижу одинаковое количество раз по гипотезе:

(p,p+2,p+6)   279   1446   8591   55491
(p,p+4,p+6)   279   1446   8591   55491

и разное реальное количество:

(p,p+2,p+6)   259   1393   8543   55600
(p,p+4,p+6)   248   1444   8677   55556

Вы правильно упомянули, что гипотеза о количестве простых кортежей Харди-Литтлвуда носит асимптотический характер.
Если посмотреть реальное количество двух данных кортежей на одном интервале, то при $10^7$ разница между значениями равна $134$, а при $10^8$ уменьшилась до $44$, думаю она и дальше будет уменьшаться, по крайней мере относительная. Это свидетельствует об одинаковой асимптотике количества у обоих кортежей, что улавливает гипотеза.

[Dmitriy40]

Следующие значения:

(p,p+2,p+6)   379508   2713347   20093124   152850135
(p,p+4,p+6)   379748   2712226   20081601   152839134
Разница         +240     -1121     -11523      -11001

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1439537 писал(а):

Следующие значения:

(p,p+2,p+6)   379508   2713347   20093124   152850135
(p,p+4,p+6)   379748   2712226   20081601   152839134
Разница         +240     -1121     -11523      -11001

Но относительная ошибка (кроме $10^{11}$) убывает.

[vorvalm]

***
ошибка

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1442619 писал(а):

***
ошибка

Какая?

[vorvalm]

Моя

[vorvalm]

Данной теме на днях исполняется 10 лет. За это время в обсуждении темы
приняло большое число участников форума, которые сделали ряд ценных
и полезных замечаний. Выражаю сердечную признательность Sonic86,
shwedka, Руст, Dmitriy40, vicvolf.
За эти 10 лет пришлось пересмотреть ряд основных положений темы.
Вынужден признать, что доказательная база функций Эйлера высших порядков.
мягко говоря, довольно слабая. Поэтому предлагаю новую редакцию.
Все обозначения сохраняются.
Определение
Функция Эйлера $\varphi_n(p)\;\;\; n $- го порядка определяет число групп вычетов (кортежей)
в ПСВ по модулю $ p$, состоящих из $n$ вычетов данной ПСВ.
$φ_n(p) = p – n $
Доказательство
Максимальное число взаимно простых вычетов по модулю $p$ равно функции Эйлера $\varphi(p)$.
Если число вычетов в группе $n < p$, то все они являются вычетами ПСВ по модулю $p$
и число таких групп равно числу размещений $n$ вычетов группы (кортежа) в определенном порядке
среди вычетов ПСВ по модулю $p$, т.е
$\varphi_n(p) = p - n $
При $n = \varphi(p)\;\;\; \varphi_n(p) = p - \varphi(p) = 1.$
Если число вычетов в группе $n > \varphi(p)$, то среди них будут сравнимые по модулю $p$,
но функция $\varphi_n(p)$ их не учитывает, т.к. условия определения функции не выполняются.
Очевидно, что размещение $n > \varphi(p)$ вычетов группы в определенном порядке
среди вычетов ПСВ по модулю $p$ возможно только единственным способом, причем
сравнимые вычеты будут находится за пределами ПСВ, т.е.
при $n > \varphi(p)\;\;\; \varphi_n(p) = 1 $
Это определение распространяется и на группы из двух вычетов при $n = 2,$ т.е.
вопрос о функции Эйлера второго порядка отпадает.

[Skipper]

Задаюсь давно интересным вопросом..

Назовём "кортежем типа $N$" -
промежуток на натуральном ряду чисел, где $N$ простых чисел лежат на
минимально возможной длине этого промежутка, начиная с $5$. (т.е. простые числа $2$ и $3$ - не рассматриваем, они особые, т.к. есть единственный случай двух подряд идущих простых чисел - это $2$ и $3$, и трёх простых лежащих на промежутке длиной $4$ или менее - это числа например, $3,5,7$. Дальше в натуральном ряду подобное не встречается).

Известно, что простыми числами-близнецами, называются числа, на промежутке длиной в $2$,

первый такой "кортеж типа $2$" (по условию задачи выше, т.е. рассматривая числа с 5 и более) - это промежуток, с простыми числами $[ 5, 7 ]$.

Простые числа-триплеты, это тройки простых чисел, на минимально коротком промежутке -
$p, p+2, p+6, $ , либо
$p, p+4, p+6, $ .
! Для нашей задачи НЕВАЖНО, какое именно распределение чисел внутри любого кортежа, главное, чтобы кортеж был минимально возможной длины. Т.е. например, для простых чисел-квадруплетов (о чём ниже) - один тип распределения, а для триплетов - их два. Вопрос будет состоять, где встречается первый кортеж типа N ?

первый такой "кортеж типа $3$" (по условию задачи выше, т.е. неважно, какое распределение внутри кортежа - $p, p+2, p+6, $ , либо $p, p+4, p+6, $ . ) -
это промежуток, с простыми числами $[ 5, 7, 11 ]$.

Далее идут, простые числа-квадруплеты, т.е. кортежи из 4-х, и это "сдвоенные простые близнецы",
типа $(101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829)$, т.е.
Четвёрки простых чисел вида $p, p+2, p+6, p+8 $,

первый такой "кортеж типа $4$" - это промежуток с простыми числами $[ 5, 7, 11, 13 ]$ ,

аналогично (пропустим) числа квинтуплеты.

Третье правило - данная длина кортежа должна встречаться множество раз.
Рассмотрим "кортеж типа $6$" , содержащий простые числа-секступлеты.
С какого числа начинается, первый такой кортеж, с $[ 5, 7, 11, 13, 17, 19 ]$ ?
Неверно, это противоречит именно этому условию. Такой кортеж имеет тип
$[p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14] $- это исключительный кортеж, и далее на натуральном ряду, подобное не встречается.
Большое же количество кортежей с секступлетами, т.е. с шестерками простых чисел, есть, при условии что кортежи такого типа -
$[p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16]$.
Вот таких может быть большое, а может быть и бесконечное количество кортежей. А потому первый такой кортеж - начинается уже с 7-ми,
т.е.
$[7, 11, 13, 17, 19, 23]$, следующий - $[97, 101, 103, 107, 109, 113]$, и т.д.

-------

И так далее, по аналогии, видим, что первые кортежи (по 3-м условиям задачи выше, т.е. 1) начиная с 5, и 2) не обращая внимания на вариант распределения простых чисел в кортеже, главное - чтобы был минимально возможной длины, и 3) данная длина кортежа должна встречаться множество раз) -

Кортеж типа $2$ - с простыми числами $[ 5, 7 ]$ .
Кортеж типа $3$ - с простыми числами $[ 5, 7, 11 ]$ .
Кортеж типа $4$ - с простыми числами $[ 5, 7, 11, 13 ]$ .
Кортеж типа $5$ - с простыми числами $[ 5, 7, 11, 13, 17 ]$ .
Кортеж типа $6$ - с простыми числами $[ 7, 11, 13, 17, 19, 23 ]$ .
...

И так далее, можно заметить, поскольку частота простых чисел в начале натурального ряда больше, то и первые кортежи встречаются,
недалеко от начала натурального ряда, т.е. с 5-ки, с 7-ки, потом ещё больше, но тоже с некоторого небольшого числа.
А вот что и интересно,

существует ли по трём подобным правилам,
Кортеж типа $N$ - который впервые будет встречаться где-то далеко в числовом ряду, т.е. например в районе миллиарда? Хотя там простые числа и реже в ряду, но вот там кортеж получился, а в области небольших чисел, его тем не менее, не было?

[grizzly]

Skipper в сообщении #1506701 писал(а):

существует ли по трём подобным правилам,
Кортеж типа $N$ - который впервые будет встречаться где-то далеко в числовом ряду, т.е. например в районе миллиарда? Хотя там простые числа и реже в ряду, но вот там кортеж получился, а в области небольших чисел, его тем не менее, не было?

Хороший вопрос, но нельзя же в самом деле называть миллиард большим числом, если речь идёт о распределении простых :)

Большинство специалистов считает, что да, существует. Есть надежда найти такой пример где-то между $10^{100}$ и $10^{1000}$. Я процитирую англо-вики, в которой рассматривается чуть более сильное утверждение, а Вы сможете самостоятельно найти больше информации по ключевым словам.

Цитата:

The statement of the second Hardy–Littlewood conjecture is equivalent to the statement that the number of primes from $x + 1$ to $x + y$ is always less than or equal to the number of primes from 1 to $y$. This was proved to be inconsistent with the first Hardy–Littlewood conjecture on prime $k$-tuples, and the first violation is expected to likely occur for very large values of $x$. For example, an admissible $k$-tuple (or prime constellation) of 447 primes can be found in an interval of $y = 3159$ integers, while $\pi (3159) = 446$. If the first Hardy–Littlewood conjecture holds, then the first such $k$-tuple is expected for $x$ greater than $1.5 \times 10^{174}$ but less than $2.2 \times 10^{1198}$.

[Skipper]

Спасибо.
Переведу -

Утверждение второй гипотезы Харди – Литтлвуда эквивалентно утверждению, что количество простых чисел от $x + 1$ до $x + y$
всегда меньше или равно количеству простых чисел от $1$ до $y$.
Было доказано, что это несовместимо с первой гипотезой Харди – Литтлвуда о простых $ k $ -наборах, и ожидается, что первое нарушение, вероятно, произойдет при очень больших значениях $ x $.

А --
Первая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида $[ p , p + a_2 . . . , p + a_k ] $
утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах

Вернёмся выше, если "ожидается, что первое нарушение, вероятно, произойдет" - значит математики не верят второй гипотезе Харди-Литлвуда? А какие на то основания? Мне кажется, вполне может быть что именно первая гипотеза Харди-Литлвуда и неверна, ведь до сих пор не доказано что даже, простых чисел-близнецов, бесконечное количество. А тут сразу гипотеза - ПРО ВСЕ ТИПЫ кортежей!

Ну ок, допустим, первая гипотеза Харди-Литлвуда верна, т.е. всех типов данных кортежей - бесконечное количество.
Тогда неверна, вторая гипотеза, т.е.

Например, допустимый $ k $ -набор (или кортеж простых чисел) из $447$ простых чисел может быть найден в интервале $ y = 3159 $ целых чисел, в то время как $ \pi (3159) = 446 $. Если первая гипотеза Харди – Литтлвуда верна, то первый такой $ k $ -набор ожидается при $ x $ больше $ 1,5 \times 10 ^ {174} $, но меньше $ 2,2 \times 10 ^ {1198} $.

Я честно говоря, очень удивлён..
Ну и чему верить, первой гипотезе Харди-Литлвуда, или второй гипотезе Харди-Литлвуда ?
Они обе не могут быть верны, так что либо верна одна из них,
(либо даже может быть, обе эти гипотезы неверны, т.е. и набор такой есть, при очень больших числах, которого нет в начале натурального ряда, и кортежей всех - небесконечное количество)

-- Пт фев 26, 2021 16:59:25 --

grizzly в сообщении #1506713 писал(а):

Большинство специалистов считает, что да, существует.

Я так понял, - считают так потому, что верят первой гипотезе Харди-Литлвуда?