2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41  След.
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 15:26 


31/12/10
1555
k=14 s=50 B={0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42 48 50}
k=14 s=50 B={0 2 8 14 18 20 24 30 32 38 42 44 48 50}

Проверил проходимость этих кортежей.
Первый представляет простые числа от 11 до 61.
Не проходит по модулю $p=7$
Существует в единственном экземпляре .
Второй не проходит даже по модулю $p=3$ и
не существует среди простых чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 17:03 


24/03/09
505
Минск
vorvalm в сообщении #1402047 писал(а):
k=14 s=50 B={0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42 48 50}
k=14 s=50 B={0 2 8 14 18 20 24 30 32 38 42 44 48 50}

Проверил проходимость этих кортежей.
Первый представляет простые числа от 11 до 61.
Не проходит по модулю $p=7$
Существует в единственном экземпляре .



Что то не совпаадает. А я в файлике вижу, что первый не в единственном экземпляре, и после
кортежа начинающегося с $11$ ,
следует - кортеж начинающийся, с $21817283854511261$ . (сам не проверял, смотрю что в файле нагенерировали раньше. )

-- Пт июн 28, 2019 16:08:15 --

Dmitriy40 в сообщении #1402023 писал(а):
Например для указанного мной выше паттерна длиной 24 и диаметром 100 среди последовательных 200 миллиардов чисел возможны лишь 640 вариантов кортежа, их и надо проверить на простоту входящих в кортеж чисел. И проверив всего лишь $640\cdot24=15360$ чисел на простоту мы исключаем весь интервал в 200 миллиардов. А моя программа использует и ещё бОльшие интервалы, например для этого паттерна интервал проверки составил $615\cdot10^{15}$, в котором проверяется менее 100 миллионов кортежей. Программа активно пользуется AVX2 (кусок написан на асме) и проверяет в среднем больше миллиарда кортежей в секунду (4 ядра на 3.5ГГц), что для этого паттерна даёт более $3\cdot10^{22}$ чисел в час.


Ого, ну так это замечательно! Мы на пороге сенсационного открытия - надо перебрать дальше, до $10^{30}$ и больше, и доказать, что кортеж случается на больших числах. ( $24 $ простых числа на отрезке $100$ ) !
Там где простые числа редко появляются.

А вот, с малыми числами, где простые очень плотно расположены, данного случая не существует - по всем возможным кортежам ("правильным", определение давал выше - т.е. которые могут появляться более одного раза) .
Это согласитесь, изумительный случай!

Ну а если нету.. такого кортежа и на больших числах тоже, хотя он, как вы говорите "проходимый", то может быть,
мы опровергнем первую гипотезу Харди-Литтлвуда ?

PS Да, и хотелось бы понять, как .. для паттерна длиной 24 и диаметром 100 среди последовательных 200 миллиардов чисел возможны лишь 640 вариантов кортежа -
так я с такими знаниями тоже написал бы быстрые программы проверок, и может быть, запустил бы их на своём компьютере
хоть на месяц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 19:10 
Заслуженный участник


20/08/14
11636
Россия, Москва
Skipper в сообщении #1402056 писал(а):
Да, и хотелось бы понять, как .. для паттерна длиной 24 и диаметром 100 среди последовательных 200 миллиардов чисел возможны лишь 640 вариантов кортежа
Ну давайте разберём на конкретном примере, возьмём паттерн 0,2,6,8,12, моя программа утверждает что первое число в кортеже должно быть $2\pmod 3$, $1\pmod 5$, $3\, \text{или}\, 4\pmod 7$, т.е. при делении на 3 остаток может быть лишь 2, при делении на 5 лишь 1, а при делении на 7 остатки могут быть 3 или 4. Все остальные варианты остатка первого числа кортежа недопустимы. Запишем проверяемый кортеж как $p_0,p_1=p_0+2,p_2=p_0+6,p_3=p_0+8,p_4=p_0+12$ и проверим утверждение о недопустимости:
а) если $p_0 \bmod 3 = 1$, то $p_1=p_0+2=1+2 \pmod 3=0 \pmod 3$ - т.е. тогда второе число делится на 3 (впрочем и четвёртое тоже);
б) если $p_0 \bmod 5 = 2$, то $p_3=p_0+8=2+8 \pmod 5=0 \pmod 5$ - т.е. четвёртое число делится на 5;
в) если $p_0 \bmod 5 = 3$, то $p_1=p_0+2=3+2 \pmod 5=0 \pmod 5$ - т.е. второе число делится на 5 (и четвёртое тоже);
г) если $p_0 \bmod 5 = 4$, то $p_2=p_0+6=4+6 \pmod 5=0 \pmod 5$ - т.е. третье число делится на 5;
д) если $p_0 \bmod 7 = 1$, то $p_2=p_0+6=1+6 \pmod 7=0 \pmod 7$ - т.е. третье число делится на 7;
е) если $p_0 \bmod 7 = 2$, то $p_4=p_0+12=2+12 \pmod 7=0 \pmod 7$ - т.е. пятое число делится на 7;
ж) если $p_0 \bmod 7 = 5$, то $p_1=p_0+2=5+2 \pmod 7=0 \pmod 7$ - т.е. второе число делится на 7;
з) если $p_0 \bmod 7 = 6$, то $p_3=p_0+8=6+8 \pmod 7=0 \pmod 7$ - т.е. четвёртое число делится на 7.
Плюс можно проверить что для указанных выше допустимых остатков ни одно из 5-ти чисел ни на 3, ни на 5, ни на 7 не делится.

Теперь подсчитаем сколько же чисел мы оставили из всего диапазона $2\cdot3\cdot5\cdot7=210$ чисел: половина остаётся по модулю 2, потом от неё треть по модулю 3, потом одна пятая по модулю 5, и в финале две седьмых по модулю 7, итого $210(1/2)(1/3)(1/5)(2/7)=2$ - из любых последовательных 210 чисел проверять надо лишь два варианта кортежей. Чтобы самому руками не париться с китайской теоремой об остатках, пойдём в Wolfram и заставим париться его, он выдаст наши два варианта (для второго исправить тройку на четвёрку в задании) для остатка для первого числа кортежа: $11 \,\text{и}\, 101\pmod{210}$.
Итак, в любом интервале из 210 последовательных чисел выбираем лишь два, остаток от деления которых на 210 будет 11 или 101 и начиная с него проверяем на простоту лишь 5 чисел с заданными паттерном разностями. Я обычно начинаю с первого и последнего, это часто сразу отвергает кортеж.

Воспользуемся программой PARI/GP для проверки:
Код:
{
p=Set([0,2,6,8,12]);
start=round(1); stop=start+round(1e5);
pp=vecsum(p); n=#p;
v=vector(n,x,0);
print(start,"..",stop,":",p);
forprime(i=start, stop,
   v=concat(v[2..n], [i]);
   if((vecsum(v)==pp+n*v[1]),
      if(v-vector(n,x,v[1])==p, print("n=",n,", ",v[1],": ",p););
   );
);
}
1..100001:[0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 5: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 11: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 101: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 1481: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 16061: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 19421: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 21011: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 22271: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 43781: [0, 2, 6, 8, 12]
n=5, 55331: [0, 2, 6, 8, 12]
Проверим остатки найденных чисел на 210: $1481=11\pmod{210}$, $16061=101\pmod{210}$, $19421=101\pmod{210}$, $21011=11\pmod{210}$, $22271=11\pmod{210}$, $43781=101\pmod{210}$, $55331=101\pmod{210}$. Плюс проверим почему отбросились например кортежи 221:0,2,6,8,12 (5 чисел начиная с $221=11\pmod{210}$) и 311:0,2,6,8,12: дык 221 делится на 11 и 13, т.е. уже оно не простое; 311, 313, 317 простые, но 319 не простое, делится на 11 и 29.
Как видим всё совпадает, за исключением самого первого решения начиная с числа 5 - это да, артефакт, в начале числового ряда встречаются уникальные кортежи, не подпадающие под формулу остатков, их надо проверять отдельно, но это возможно лишь до модуля (210), дальше всё чётко.

(Оффтоп)

Разумеется в программе используется большее количество простых, например для этого паттерна добавление проверок по модулю 11 увеличивает диапазон в 11 раз, а количество допустимых кортежей растёт лишь в 6 раз, т.е. добавление ещё одного простого числа ускоряет проверку почти вдвое. Для того паттерна выше диаметром 100 программа использует проверку на все первые простые по 47 включительно, что и даёт интервал 615 квадриллионов ($2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31\cdot37\cdot41\cdot43\cdot47\approx615\cdot10^{15}$), но разных остатков для первого числа в кортеже допустимо лишь чуть меньше 96 миллионов, ускорение проверки примерно в 6 миллионов раз (все 24 числа кортежа проверять на простоту не нужно, для отбрасывания кортежа обычно хватает одного-двух). Ещё два-три порядка ускорения даёт использование ассемблера и AVX2. Памяти при этом хапнула 1.5ГБ, причём вся она постоянно читается, что иногда и ограничивает скорость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 19:18 


31/12/10
1555
Skipper в сообщении #1402056 писал(а):
Что то не совпаадает. А я в файлике вижу, что первый не в единственном экземпляре, и после
кортежа начинающегося с $11$ ,

Извиняюсь. Повторно проверил и действительно первый кортеж проходит по всем модулям

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 19:49 


05/09/16
11956

(Dmitry40, китайская теорема об остатках в PARI/GP)

Dmitriy40 в сообщении #1402072 писал(а):
Чтобы самому руками не париться с китайской теоремой об остатках, пойдём в Wolfram и заставим париться его
,

Хозяйке на заметку:
? lift(chinese([Mod(1,2),Mod(2,3),Mod(1,5),Mod(3,7)]))
%1 = 101

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 20:35 
Заслуженный участник


20/08/14
11636
Россия, Москва

(Оффтоп)

wrest
Спасибо, я помню что в PARI/GP оно есть, но не помнил точного названия и формата вызова, запускать gp_refcard.pdf и искать было лень, а вольфрам есть близко в закладках браузера именно с готовой формулой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.09.2019, 11:55 


23/02/12
3302
Новая интересная статья на данную тему https://arxiv.org/abs/1908.08613

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение04.11.2019, 20:37 


24/03/09
505
Минск
при условии истинности обобщенной гипотезы Эллиота — Халберстама, существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6.

Но доказать это пока не может никто? А уж гипотеза о том что бесконесно много простых чисел-близнецов значит, ещё труднее, её на данный момент непонятно как доказывать и вообще в какую сторону думать..

Но вот что интересно. Есть ли какие то, так сказать, косвенные данные, которые свидетельствуют о том, что численность простых чисел-близнецов - бесконечна (или наоборот, конечна) ?
Ну к примеру, что нибудь такое "если численность простых чисел близнецов конечна, то неверна была бы ОГР", или тому подобное. Есть гипотезы, в которые большинство математиков верят и без доказательства, или точнее, допускают бОльшую вероятность одного из вариантов. А тут чему верить? Если более вероятно что численность простых-чисел близнецов все таки вероятнее, бесконечна, то на каком основании ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение05.11.2019, 11:46 


23/02/12
3302
Skipper в сообщении #1424006 писал(а):
[i]Но вот что интересно. Есть ли какие то, так сказать, косвенные данные, которые свидетельствуют о том, что численность простых чисел-близнецов - бесконечна (или наоборот, конечна) ?
Первая гипотеза Харди -Литтлвуда http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html подтверждается с большой точностью. Из нее в частности следует бесконечность простых близнецов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение05.11.2019, 18:26 


24/03/09
505
Минск
vicvolf в сообщении #1424091 писал(а):
Первая гипотеза Харди -Литтлвуда http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html подтверждается с большой точностью.


А как её "подтверждают" ? Если по русски, а то по английски очень напряжно что то читать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение06.11.2019, 11:01 


23/02/12
3302
Skipper в сообщении #1424196 писал(а):
А как её "подтверждают" ?
А Вы подсчитайте количество простых близнецов по формуле указанной в ссылке для $x=10^7-10^{12}$ и сопоставьте с реальным значением количества близнецов на данных интервалах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение06.11.2019, 13:29 
Заслуженный участник


20/08/14
11636
Россия, Москва
vicvolf в сообщении #1424301 писал(а):
А Вы подсчитайте количество простых близнецов по формуле указанной в ссылке для $x=10^7-10^{12}$
Я подсчитал:
$10^1: 2$
$10^2: 8$
$10^3: 35$
$10^4: 205$
$10^5: 1224$
$10^6: 8169$
$10^7: 58980$
$10^8: 440312$
$10^9: 3424506$
$10^{10}: 27412679$
$10^{11}: 224376048$
$10^{12}: 1870585220$
А дальше есть в A007508.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение08.11.2019, 13:13 


23/02/12
3302
Dmitriy40 в сообщении #1424322 писал(а):
Я подсчитал:
$10^1: 2$
$10^2: 8$
$10^3: 35$
$10^4: 205$
$10^5: 1224$
$10^6: 8169$
$10^7: 58980$
$10^8: 440312$
$10^9: 3424506$
$10^{10}: 27412679$
$10^{11}: 224376048$
$10^{12}: 1870585220$
А дальше есть в A007508.

Спасибо за большую точность вычислений. Это конечно с округлением до целых. Интересно сколько знаков после запятой вы брали при вычислениях в постоянной $C_2$ и интеграле?

Количество простых близнецов на интервале от $2$ до $x$ в первой гипотеза Харди-Литтлвуда определяется по формуле:

$\pi_2(x) =C_2 \int_2^x {\frac {dt} {\log^2(t)}}$, (1)

где $C_2$ - постоянная. При $x \to \infty$ интеграл (1) расходится и отсюда следует бесконечность простых близнецов.

Интересно, что для обоснования данной гипотезы авторами была использована вероятностная модель и получена такая высокая точность.

Вот еще интересная ссылка на данную тему http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение08.11.2019, 16:46 
Заслуженный участник


20/08/14
11636
Россия, Москва
vicvolf в сообщении #1424678 писал(а):
Спасибо за большую точность вычислений. Это конечно с округлением до целых. Интересно сколько знаков после запятой вы брали при вычислениях в постоянной $C_2$ и интеграле?
Вы не поняли или я плохо пояснил, это точные значения количества близнецов. Не по формулам, а прямым подсчётом. Соответственно никаких округлений нет. И сравнивать свои выкладки (интеграла или ещё какие) надо именно с этими цифрами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение12.11.2019, 14:46 


23/02/12
3302
vicvolf в сообщении #1424678 писал(а):
Количество простых близнецов на интервале от $2$ до $x$ в первой гипотеза Харди-Литтлвуда определяется по формуле:

$\pi_2(x) =C_2 \int_2^x {\frac {dt} {\log^2(t)}}$, (1)

где $C_2$ - постоянная. При $x \to \infty$ интеграл (1) расходится и отсюда следует бесконечность простых близнецов.

Интересно, что для обоснования данной гипотезы авторами была использована вероятностная модель и получена такая высокая точность.

Вот еще интересная ссылка на данную тему http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

В данной ссылке, подсчитанное по формуле (1) количество простых близнецов для $x=10^5-10^8$ совпадает с реальным количеством простых близнецов.

Это связано с тем, что начиная с $x=10^5$ ошибка в вычислениях по данной формуле не превосходит ошибку округления до целого числа.

vicvolf в сообщении #1417050 писал(а):
Новая интересная статья на данную тему https://arxiv.org/abs/1908.08613

Данная статья, как раз посвящена использованию вероятностной модели гипотезы Харди-Литтлвуда к определению наибольшего расстояния между простыми числами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 608 ]  На страницу Пред.  1 ... 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group