К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?

[Theoristos]

kcp в сообщении #1461900 писал(а):

Это можно понимать как некоторый произвол, который даёт нам возможность каким-то образом не ограничивать пространство состояний исключительно частицей в яме и включить в него пустое состояние?

Тут специфический момент. Какой смысл мы вкладываем в "пустое состояние"?

Пусть некто для своих целей записал волновую функцию той частицы не в координатном, а в импульсном представлении.
Оператор наблюдаемый. Собственные состояния - плоские волны никак условиям ямы не соответствующие. Состояния пустыми мне назвать трудно - некое распределение по импульсам вполне есть и у частицы в такой яме. Разве что спектр дискретный.

g______d в сообщении #1461906 писал(а):

С этим я бы поспорил (потому что в пространстве состояний $L^2(a,b)$ тоже есть вектора с бесконечной энергией, которые не являются запрещёнными, поэтому на основании этого судить не очень хорошо). Но нет особого желания.

Угу. Можно разложить не по синусоидам, а по ограниченным в $L^2(a,b)$ вейвлетам (прямоугольникам). Вполне разлагается, с энергией проблемы из-за рваности, разве что с наблюдаемостью вопрос.

[kcp]

g______d в сообщении #1461919 писал(а):

kcp в сообщении #1461914 писал(а):

Цепочка конечным количеством узлов и с циклическими граничными условиями. Наверху у каждой картинки информация о количестве узлов и частиц в цепочке. К примеру [N=25, n=3] -- это 25 узлов и 3 частицы.

Я смогу это понять только если будет явно выписан гамильтониан и пространство, в котором он задан (я скорее всего его видел, но я не очень доверяю своей памяти в терминологии).

Откровенно говоря я не могу понять, что нужно сделать.

Гамильтониан невзаимодействующих бесспиновых фермионов в модели сильной связи я привёл.
$H = - \sum \limits_{j = i \pm 1} a^+_i a_j$

Система у меня представляет собой замкнутую цепочку из N узлов с n частицами на них.

Задачу я решаю в базисе чисел заполнения (обычно называется пространство Фока). И набор этих функций вместе с матрицей Гамильтона, собственными значениями и векторами для каждой из представленных выше задач я могу выгрузить, скажем, в текстовом файле.

Но даже если решение подтвердиться, то какого-то физического смысла в получаемых для многочастичного случая средних значениях оператора сдвига на постоянную решётки я всё равно увидеть не могу. и в этом самая главная моя проблема. Я что-то получил, но что я получил?

[g______d]

kcp в сообщении #1462038 писал(а):

Гамильтониан невзаимодействующих бесспиновых фермионов в модели сильной связи я привёл.
$H = - \sum \limits_{j = i \pm 1} a^+_i a_j$

Вы можете более явно привести? Текстовый файл не надо, но в виде "есть пространство с таким-то базисом, в нём матрица с такими-то элементами". Я, наверное, могу понять, что означает процитированная запись, но мне не очень хочется вспоминать.

Поскольку сдвиг сохраняет число частиц, можно сразу сузить на двухчастичное пространство (как я понимаю, это простейший нетривиальный случай).

[kcp]

g______d в сообщении #1462150 писал(а):

kcp в сообщении #1462038 писал(а):

Гамильтониан невзаимодействующих бесспиновых фермионов в модели сильной связи я привёл.
$H = - \sum \limits_{j = i \pm 1} a^+_i a_j$

Вы можете более явно привести? Текстовый файл не надо, но в виде "есть пространство с таким-то базисом, в нём матрица с такими-то элементами". Я, наверное, могу понять, что означает процитированная запись, но мне не очень хочется вспоминать.

В числах заполнения, для двух бесспиновых фермионов базис представляет из себя набор всех возможных комбинаций нулей и двух единиц вида:
$|0110>$ или $|1001>$ или ...
Где количество позиций с нулями и единицами означает количество узлов базиса (в данном случае N=4). А единица означает нахождение частицы в соответствующем узле.

Действие оператора уничтожения:
$a_j |..n_j..> = \left\{ \begin{array} - 0, \text{если } n_j = 0 \\ (-1)^{\sum_{k<j} n_k}, \text{если } n_j = 1 \end{array} \right.$

Действие оператора рождения:
$a_j^+ |..n_j..> = \left\{ \begin{array} - 0, \text{если } n_j = 1 \\ (-1)^{\sum_{k<j} n_k}, \text{если } n_j = 0 \end{array} \right.$

В строке матрицы гамильтониана для $|0011>$ будут все нули кроме "-1" для $|0101>$ и "1" для $|1010>$

[g______d]

kcp, понял.

Пусть в решётке $N$ узлов, и $T$ -- оператор циклического сдвига на один узел. Тогда собственные значения $T$ будут иметь вид $e^{2\pi i k/N}$, $k=0,1,2,\ldots,N-1$.

Оператор $T$ коммутирует с гамильтонианом. Поэтому можно найти базис собственных функций гамильтониана, которые одновременно будут собственными функциями оператора сдвига. Как следствие, для каждого из построенных базисных состояний оператор сдвига (и, следовательно, его среднее) будет равно $e^{2\pi i k/N}$.

Далее, как Вы упоминали, спектр $H$ вырожден. Поэтому собственный базис, если не предполагать условия из предыдущего абзаца, не единственен. Думаю, ответ зависит от того, как именно Вы выбирали базис вырожденного подпространства.

[kcp]

Спасибо, я разобрался с проблемой

g______d в сообщении #1462209 писал(а):

kcp, понял.

Пусть в решётке $N$ узлов, и $T$ -- оператор циклического сдвига на один узел. Тогда собственные значения $T$ будут иметь вид $e^{2\pi i k/N}$, $k=0,1,2,\ldots,N-1$.

Оператор $T$ коммутирует с гамильтонианом. Поэтому можно найти базис собственных функций гамильтониана, которые одновременно будут собственными функциями оператора сдвига. Как следствие, для каждого из построенных базисных состояний оператор сдвига (и, следовательно, его среднее) будет равно $e^{2\pi i k/N}$.

Да. И для одночастичного случая собственные энергии гамильтониана и оператора сдвига имеют "опрятный" весьма опрятный вид дисперсионного соотношения:
$E(k) = -2 \cos(2 \pi k / N)$
Оно выводиться тем-же самым способом и рассуждениями, которые вы привели. Для одночастичного случая вообще всё нормально вычисляется.

Тем более квазиимпульс прекрасно интерпретируется. Если мы применим оператор сдвига к волновой одночастичной функции, можно установить его связь с оператором импульса у координатном представлении.

g______d в сообщении #1462209 писал(а):

Далее, как Вы упоминали, спектр $H$ вырожден. Поэтому собственный базис, если не предполагать условия из предыдущего абзаца, не единственен. Думаю, ответ зависит от того, как именно Вы выбирали базис вырожденного подпространства.

Это тоже не проблема если у нас есть полный набор вырожденных ортогональных собственных векторов. Например, для для двукратно вырожденного состояния волновую функцию можно записать как:
$\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \Psi_1 + e^{i \theta} \Psi_2 \right)$
Для среднего значения какого-нибудь оператора:
$<T> = \left< \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \Psi_1 + e^{i \theta} \Psi_2 \right) | T | \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \Psi_1 + e^{i \theta} \Psi_2 \right) \right> = \frac{1}{2} \left< \Psi_1 |T| \Psi_1 \right> + \frac{1}{2} \left< \Psi_2 |T| \Psi_2 \right> = \frac{1}{2} \left( <T_1> + <T_2> \right) $

Т.е. просто осредняем по вырожденному состоянию и получаем прекрасное согласие с теорией, которая у нас есть для одночастичного случая.

Что касается моей проблемы, то я понял как её решать через аналогичные одночастичному случаю, но для многочастичного. Там в итоге складываются операторы импульса, ну и в этой задаче должны складываться квазиимпульсы.

В итоге сейчас процедура вычисления выглядит так:
1) Строим одночастичное соотношение дисперсии с применением осреднения по вырожденным состояниям
2) Вычисляем наборы вырожденных уровней для многочастичной задачи
3) Для каждой многочастичной волновой функции складываем квазиимпульсы одночастичных состояний
4) А вот потом проводим осреднение по вырождению оператора сдвига на каждом вырожденном уровне.

[Theoristos]

Кажется обсуждения пошло дальше в соседней теме.

[beroal]

Долго не заходил в тему, так как пытался разобраться сам и были другие дела. Вижу, обсуждение перешло на то, может ли оператор сдвига быть наблюдаемым, а дальше я не понял. Отвечу сам себе.

В дополнение к ожидаемому значению наблюдаемой, натуральная степень $n$ оператора наблюдаемой даёт $n$-й «момент» наблюдаемой (так он называется в статистике) $\langle\varphi |\hat{O}^n |\varphi\rangle$. Так можно вычислить дисперсию. Можно построить любой многочлен с коэффициентами в $\mathbb{C}$ от оператора наблюдаемой. Например, построить гамильтониан

$$\frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V}.$$

Полагаю, так можно «квантовать» многие выражения из классической механики. Не понятно, что делать, если это выражение не может быть задано многочленом. Например, потенциальная энергия $\hat{V}$ не может быть задана многочленом от $\hat{x}$, та же яма с бесконечными стенками.

[Muha_]

При моем ознакомлении к квантовой механикой (заранее извиняюсь, довольно поверхностном) у меня тоже возникал сходный вопрос, на который было бы интересно получить овтет - являются ли операторы наблюдаемых фундаментальным и совершенно необходимым звеном в теории?
Вектор состояния уже сам по себе содержит амплитуды, из которых можно посчитать вероятности исходов экспериментов. Соответственно, из вектора можно получить все что угодно для измеряемой в эксперименте величины. При этом, если вектор состояния записан в другом базисе, то нужно перевести его в базис, соответствующий измеряемой величине.
Т.е. как я понял, все что действительно нужно - векторы состояния и матрицы для преобразования между базисами. А операторы наблюдаемых - это просто удобный способ упаковки в один математический объект операции изменения базиса и множества собственных значений наблюдаемой.
Но здесь опять для меня не все ясно. Что если значения наблюдаемой величины типа 1,2,3,4.. мы обозначим алфавитом символов, скажем A,B,C,D? Теперь среднее значение величины больше не имеет смысла и операторами пользоваться в обычном виде не получится, но вероятности разных измерений считать ничто не мешает.
В то же время некоторые самые важные наблюдаемые величины, типа энергии, они явно имеют "количественную" (не могу подобрать лучшего слова) природу и номер с заменой чисел на абстрактные символы здесь уничтожит смысл описания. Т.е. получается операторы наблюдаемых в КМ - это нечто большее, чем просто прием по упаковке в одну матрицу собственных значений наблюдаемой и оператора преобразования базиса. Хотя, примера когда это "нечто большее" явным образом проявляется я не нашел.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1468713 писал(а):

Хотя, примера когда это "нечто большее" явным образом проявляется я не нашел.

Muha_ в сообщении #1468713 писал(а):

Соответственно, из вектора можно получить все что угодно для измеряемой в эксперименте величины.

Ответьте на вопрос: "а как именно из вектора состояния получаются наблюдаемые результаты для измеряемых в эксперименте величин?", и всё встанет на свои места.

[beroal]

madschumacher в сообщении #1468761 писал(а):

Ответьте на вопрос: "а как именно из вектора состояния получаются наблюдаемые результаты для измеряемых в эксперименте величин?", и всё встанет на свои места.

Уже написано: перевести в соответствующий базис. Получится распределение амплитуды вероятности.

Muha_ в сообщении #1468713 писал(а):

При этом, если вектор состояния записан в другом базисе, то нужно перевести его в базис, соответствующий измеряемой величине.

[madschumacher]

beroal в сообщении #1468764 писал(а):

Уже написано: перевести в соответствующий базис. Получится распределение амплитуды вероятности.

Угу, ну допустим. А как мы запишем переход в соответствующий базис из какого-то другого базиса?

И вообще, если уж на то пошло, то у нас ещё есть формализм матриц плотности, который позволяет описывать всякие вкусности, не доступные формализму Дирака. Вопрос на засыпку: матрица плотности -- это вектор состояния, или м.б. оператор?

Muha_ в сообщении #1468713 писал(а):

Но здесь опять для меня не все ясно. Что если значения наблюдаемой величины типа 1,2,3,4.. мы обозначим алфавитом символов, скажем A,B,C,D?

А на эту тему можно было бы прочитать "Как понимать квантовую механику", раздел 4.9.3. Вещественность наблюдаемых***.

beroal в сообщении #1467030 писал(а):

Например, потенциальная энергия $\hat{V}$ не может быть задана многочленом от $\hat{x}$, та же яма с бесконечными стенками.

Во всех физически реальных случаях потенциал будет представим в виде многочлена (т.е. будет аналитической функцией). Как уже обсуждалось в другой теме, модели, подобные частице в бесконечном ящике или гармоническому осциллятору -- это чисто математические модели, которыми можно заменить сложную картину реальности в некоторых особых случаях, чтобы получить простой ответ.

[beroal]

madschumacher в сообщении #1468797 писал(а):

Угу, ну допустим. А как мы запишем переход в соответствующий базис из какого-то другого базиса?

С помощью оператора-изоморфизма. Разве он как-то связан с оператором наблюдаемой?

[Muha_]

madschumacher в сообщении #1468797 писал(а):

А на эту тему можно было бы прочитать "Как понимать квантовую механику", раздел 4.9.3. Вещественность наблюдаемых***.

Да, благодарю, там этот вопрос рассмотрен подробно. Читал эту книгу, но возможно перечитаю еще раз.
В целом то что написано в этой главе очень хорошо отражает мои сомнения.
Цитаты из Иванова:
О наблюдаемых: "Для предсказания результата измерения нам на самом деле нужна только одна операция — операция вычисления вероятности того или иного исхода измерения в данном состоянии".
О необязательности наблюдаемых в квантовании: "Впрочем, если мы задали наблюдаемую величину не оператором, а набором проекторов и соответствующих им разрешенных значений из произвольного множества, то мы можем с помощью скобки Пуассона записать уравнение эволюции не для оператора наблюдаемой (который попросту отсутствует), а для проекторов (хороших эрмитовых операторов)."
В итоге: "Единственная наблюдаемая, вещественность (эрмитовость) которой для нас принципиально важна, — гамильтониан."
Т.е. опять все сводится к тому, большинство наблюдаемых - это абстракция, которую нам удобно вводить в теорию, но теория продолжает описывать вселенную исчерпывающе и без них (хотя и не так удобно). Большинство, но не все: с энергией не так все просто (а что это значит, видимо какой-то устоявшейся интерпретации нет). Возможно эта же история повторяется еще где-то в КТП.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1468835 писал(а):

Т.е. опять все сводится к тому, большинство наблюдаемых - это абстракция, которую нам удобно вводить в теорию, но теория продолжает описывать вселенную исчерпывающе и без них (хотя и не так удобно).

Большинство наблюдаемых в физике -- это насущная необходимость, т.к. (здравствуй, КО) в экспериментах наблюдаются именно наблюдаемые, а не абстрактные вектора состояний.

Muha_ в сообщении #1468835 писал(а):

Большинство, но не все: с энергией не так все просто (а что это значит, видимо какой-то устоявшейся интерпретации нет).

Не с энергией, а с гамильтонианом, и с ним всё очень просто: через него собственно и записывается эволюция системы (векторов состояний или матриц плотности), например, в виде уравнения Шрёдингера, уравнений Гейзенберга (кст., тут оказываются нужны, например, именно координаты и импульсы), или уравнения Фон Неймана.

На самом деле, в физическом смысле

Muha_ в сообщении #1468835 писал(а):

"Единственная наблюдаемая, вещественность (эрмитовость) которой для нас принципиально важна, — гамильтониан."

чересчур сильное утверждение, т.к. стандартный способ построения гамильтониана физической системы (классический лагранжиан $\rightarrow$ классический гамильтониан $\rightarrow$ квантовый гамильтониан через замену наблюдаемых на их операторы) требует именно что операторов физических величин.

beroal в сообщении #1468814 писал(а):

С помощью оператора-изоморфизма. Разве он как-то связан с оператором наблюдаемой?

На таком уровне рассуждений можете считать, что все (хорошие) операторы -- это или операторы наблюдаемых, или операторы эволюции, или тупо сами состояния системы. То, как, что и почему в конкретном случае -- это уже вопрос конкретного случая.

Собственно, применимо к Вашему начальному сообщению:

beroal в сообщении #1461356 писал(а):

В книгах пишут, что $\hat{O}|\phi\rangle$ не есть осмысленное состояние.

Да, это не (всегда) осмысленное состояние, но всё из $\hat{\mathcal{O}}$ и $|\phi\rangle$ мы можем вычислить какие результаты эксперимента возможны (по правилу Борна). Для этого нужно найти собственные вектора/значения $\hat{\mathcal{O}}$: $\hat{\mathcal{O}} |\mathcal{O}\rangle = \mathcal{O} | \mathcal{O} \rangle$ получая разрешённые значения наблюдаемой $\mathcal{O}$, а потом разложить это неосмысленное состояние по индивидуальным исходам $\hat{\mathcal{O}}|\phi\rangle = \sum \limits_{\mathcal{O}} \mathcal{O} \langle \mathcal{O}| \hat{\mathcal{O}} | \phi\rangle | \mathcal{O} \rangle$, и при измерении нам вывалится результат наблюдения $\mathcal{O}$ с вероятностью $|\langle \mathcal{O}| \hat{\mathcal{O}} | \phi\rangle|^2$. Собственно, это именно то, что необходимо для сопоставления теоретических вычислений и экспериментальных измерений.

Вот именно так "оператор-изоморфизма", как Вы выразились, и связан с наблюдаемыми.