К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?

[kcp]

arseniiv в сообщении #1461702 писал(а):

Ну как-как, в ней сначала строго определяются вещи, а потом не нужно комментировать результат, если он получается не такой. В ней нельзя подействовать оператором сдвига на (не постоянно нулевую) функцию и получить тождественный ноль, потому что оператор сдвига так не работает. Вместо этого надо переопределить вещи уже более корректным образом и получить, в частности, что никакого оператора на состояниях, который давал бы оператор сдвига на соответствующих им волновых функциях, для данного случая не бывает.

А если так:
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$
$<\psi(x) | \hat T |\psi(x)> = <\psi(x) | \psi(x - L)> = 0$

[g______d]

kcp в сообщении #1461722 писал(а):

А если так:
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$

Что такое $\psi(x)$? Какому пространству она принадлежит?

[kcp]

g______d в сообщении #1461723 писал(а):

kcp в сообщении #1461722 писал(а):

А если так:
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$

Что такое $\psi(x)$? Какому пространству она принадлежит?

Волновая функция в координатном представлении, принадлежащая гильбертовому пространству. Так сойдёт?

[g______d]

kcp в сообщении #1461727 писал(а):

принадлежащая гильбертовому пространству

Какому именно гильбертову пространству? И с какими дополнительными условиями, учитывая постановку задачи?

[kcp]

g______d в сообщении #1461728 писал(а):

kcp в сообщении #1461727 писал(а):

принадлежащая гильбертовому пространству

Какому именно гильбертову пространству? И с какими дополнительными условиями, учитывая постановку задачи?

Вот этого я сказать не могу. И я не вижу в постановке задачи каких-либо дополнительных условий, требующих уточнения гильбертовых пространств.

Theoristos в сообщении #1461514 писал(а):

Пусть |\psi_i\rangle$ - некое состояние частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно глубокими стенками, а $\hat T - вполне себе унитарный оператор трансляции на 100 км. Что за состояние $\hat T|\psi_i\rangle$?

[g______d]

kcp в сообщении #1461730 писал(а):

Вот этого я сказать не могу.

В любом случае, когда Вы пишете координатное представление, Вы переходите от абстрактного гильбертова пространства ко вполне конкретному. Поэтому есть смысл знать, какое оно, иначе формула не имеет смысла.

kcp в сообщении #1461730 писал(а):

И я не вижу в постановке задачи каких-либо дополнительных условий, требующих уточнения гильбертовых пространств.

Бесконечные стенки.

На самом деле arseniiv всё сказал. Я могу сказать подробнее, просто подумал, что Вы хотите сами дойти до ответа.

[kcp]

g______d в сообщении #1461734 писал(а):

На самом деле arseniiv всё сказал. Я могу сказать подробнее, просто подумал, что Вы хотите сами дойти до ответа.

Будьте так добры, пожалуйста. А то я никаких противоречий у себя не вижу, поэтому вряд-ли смогу найти ответ.

[g______d]

kcp в сообщении #1461737 писал(а):

Будьте так добры, пожалуйста. А то я никаких противоречий у себя не вижу, поэтому вряд-ли смогу найти ответ.

Ок.

В задаче о потенциальной яме с бесконечными стенками пространство состояний в координатном представлении отождествляется с $L^2(a,b)$, где $a,b$ -- положения стенок. Другими словами, волновые функции обязаны быть равны нулю вне промежутка между стенками.

В этом пространстве формула

kcp в сообщении #1461722 писал(а):

$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$

не задаёт никакого оператора (ну то есть задаёт, но он не будет везде определён, или даже может быть нигде не определён, кроме нулевой функции).

Чтобы она задавала какой-то оператор, можно, например, после сдвига срезать часть функции, вылезшую за пределы интервала. Но такой оператор уже не будет унитарным.

[kcp]

g______d в сообщении #1461742 писал(а):

В задаче о потенциальной яме с бесконечными стенками пространство состояний в координатном представлении отождествляется с $L^2(a,b)$, где $a,b$ -- положения стенок. Другими словами, волновые функции обязаны быть равны нулю вне промежутка между стенками.

В этом пространстве формула

kcp в сообщении #1461722 писал(а):

$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$

не задаёт никакого оператора (ну то есть задаёт, но он не будет везде определён, или даже может быть нигде не определён, кроме нулевой функции).

Чтобы она задавала какой-то оператор, можно, например, после сдвига срезать часть функции, вылезшую за пределы интервала. Но такой оператор уже не будет унитарным.

Спасибо, теперь понятно.
Очевидно в моей голове бесконечные стенки потенциальной ямы оказались недостаточно бесконечны.

[kcp]

Откровенно говоря, моё непонимание оператора сдвига оказалось глубже чем я думал.

Взял гамильтониан для одномерной цепочки бесспиновых фермионов в простейшем виде:
$H = - \sum \limits_{j = i \pm 1} a^+_i a_j $.
Посчитал собственные вектора и собственные значения гамильтониана и вычислил среднее значение оператора сдвига на постоянную решётки (осредняя значения для вырожденных состояний).

1) Для одночастичного случая получается всё замечательно и как "по учебнику"


2) Тоже, как и в учебнике получилось из одночастичного случая вычислить энергии основного и возбуждённых состояний для двух и трёх частиц. Цифры совпали с численным расчётом.

3) Но попытка вычислить или методом пристального взгляда угадать средние значения оператора сдвига для двух и трёх частичного случая потерпели провал. Я не знаю как получить из первой картинки последующие



Если кто-то знает способ как понимать (получать) среднее значение оператора сдвига для многочастичного случая или просто укажет на ошибку в расчётах, я бы был весьма благодарен

[Theoristos]

g______d в сообщении #1461742 писал(а):

В задаче о потенциальной яме с бесконечными стенками пространство состояний в координатном представлении отождествляется с $L^2(a,b)$, где $a,b$ -- положения стенок. Другими словами, волновые функции обязаны быть равны нулю вне промежутка между стенками.

В этом пространстве формула

kcp в сообщении #1461722 писал(а):

$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$

не задаёт никакого оператора (ну то есть задаёт, но он не будет везде определён, или даже может быть нигде не определён, кроме нулевой функции).

Я б сделал чуть иной акцент.
Оператор есть, результат действия в классических квантах даже дает, на первый взгляд, вполне "валидную" волновую функцию. Но оная уже не является состоянием с конечной энергией и не может быть решением/начальным условием уравнения Шредингера. Если мы ограничивает пространство состояний таковыми - она следовательно из него вылетает.

g______d в сообщении #1461742 писал(а):

Чтобы она задавала какой-то оператор, можно, например, после сдвига срезать часть функции, вылезшую за пределы интервала. Но такой оператор уже не будет унитарным.

Ага.

[kcp]

Theoristos в сообщении #1461894 писал(а):

Оператор есть, результат действия в классических квантах даже дает, на первый взгляд, вполне "валидную" волновую функцию. Но оная уже не является состоянием с конечной энергией и не может быть решением/начальным условием уравнения Шредингера. Если мы ограничивает пространство состояний таковыми - она следовательно из него вылетает.

Это можно понимать как некоторый произвол, который даёт нам возможность каким-то образом не ограничивать пространство состояний исключительно частицей в яме и включить в него пустое состояние?

[g______d]

Theoristos в сообщении #1461894 писал(а):

Но оная уже не является состоянием с конечной энергией и не может быть решением/начальным условием уравнения Шредингера.

С этим я бы поспорил (потому что в пространстве состояний $L^2(a,b)$ тоже есть вектора с бесконечной энергией, которые не являются запрещёнными, поэтому на основании этого судить не очень хорошо). Но нет особого желания.

kcp в сообщении #1461848 писал(а):

Если кто-то знает способ как понимать (получать) среднее значение оператора сдвига для многочастичного случая

Я умею только когда явно выписано пространство и гамильтониан.

Если цепочка бесконечная, то оператор сдвига коммутирует с гамильтонианом, поэтому можно их одновременно дигонализовать и всё вычислить явно (в данном случае с помощью преобразования Фурье).

Если цепочка конечная, но краевые условия периодические (другими словами, цепочка замкнута в окружность или тор), то поможет дискретное преобразование Фурье.

Если цепочка конечная и граничные условия какие-то другие -- тогда хуже.

[kcp]

g______d в сообщении #1461906 писал(а):

Я умею только когда явно выписано пространство и гамильтониан.

Если цепочка бесконечная, то оператор сдвига коммутирует с гамильтонианом, поэтому можно их одновременно дигонализовать и всё вычислить явно (в данном случае с помощью преобразования Фурье).

Если цепочка конечная, но краевые условия периодические (другими словами, цепочка замкнута в окружность или тор), то поможет дискретное преобразование Фурье.

Если цепочка конечная и граничные условия какие-то другие -- тогда хуже.

Цепочка конечным количеством узлов и с циклическими граничными условиями. Наверху у каждой картинки информация о количестве узлов и частиц в цепочке. К примеру [N=25, n=3] -- это 25 узлов и 3 частицы.

Картинки я получил численно вычислив все собственные вектора и собственные значения гамильтониана для бесспиновых фермионов, который давал выше. После чего нашёл квантово-механическое среднее оператора сдвига на один узел для каждого собственного вектора. По вырожденным состояниям проведено осреднение полученного среднего значения. По оси Х отложен arccos среднего значения оператора сдвига, по оси Y энергия соответствующего состояния.

Для одночастичного расчёта я могу связать получившееся дисперсионное соотношение с квазиимпульсом частицы. Я интерпретирую эту кривую в обратном пространстве как набор уровней энергии. Использовать её для расчёта энергии основного и возбуждённых состояний многочастичной системы.

1) Даже если я правильно считаю многочастичный случай, то как интерпретировать то что я получил?

2) Способа вычислить аналог квазиимпульса для многочастичной системы из одночастичной по аналогии с уровнями энергии я не увидел. Не за что зацепиться в интерпретации результата. В нём я не могу увидеть какой-либо физический смысл.

[g______d]

kcp в сообщении #1461914 писал(а):

Цепочка конечным количеством узлов и с циклическими граничными условиями. Наверху у каждой картинки информация о количестве узлов и частиц в цепочке. К примеру [N=25, n=3] -- это 25 узлов и 3 частицы.

Я смогу это понять только если будет явно выписан гамильтониан и пространство, в котором он задан (я скорее всего его видел, но я не очень доверяю своей памяти в терминологии).