К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?

[beroal]

Пусть $\hat{O}$ — оператор какой-то квантовой наблюдаемой. В книгах пишут, что $\hat{O}|\phi\rangle$ не есть осмысленное состояние. То есть здесь его не надо применять. В каких случаях его надо применять к векторам, и к каким?

Единственное, что я нашёл, это $\langle\phi |\hat{O} |\phi\rangle$ — ожидаемое значение этой наблюдаемой в состоянии $\phi$. Чтобы сравнить его с экспериментальными результатами, надо измерить наблюдаемую для многих частиц, подготовленным одинаковым образом. Тогда мы получим не просто среднее значение наблюдаемой, но даже распределение вероятностей её значений, чего $\langle\phi |\hat{O} |\phi\rangle$ не предсказывает. То есть это выражение на практике не нужно.

Тогда зачем операторы наблюдаемых нужны? Извините, если вопрос глупый. Я нахожусь на начальной стадии изучения, где пространство состояний конечномерно. Уже на этом этапе начинают носиться с операторами наблюдаемых, но не мотивируют их. Всё можно посчитать без них.

[realeugene]

beroal в сообщении #1461356 писал(а):

То есть здесь его не надо применять.

Где "здесь"?

Дирак. "Принципы квантовой механики" - очень хороший учебник.

[arseniiv]

beroal в сообщении #1461356 писал(а):

Всё можно посчитать без них.

Как это всё? Оператор наблюдаемой задаёт значения этой наблюдаемой (и для каких состояний они точно определены), откуда вы их ещё возьмёте? То есть оператор наблюдаемой — это наиболее общий вид линейного оператора, который можно сопоставить любой [вещественнозначной] наблюдаемой величине, и притом взаимно однозначно. И если мы считаем что-то насчёт произвольной наблюдаемой, вполне удобно эти вычисления будет выразить через соответствующий оператор, и могут быть конечно ещё какие-нибудь конструкции, но оператор точно самый простой, известный и весьма натуральный.

[amon]

beroal в сообщении #1461356 писал(а):

В книгах пишут, что $\hat{O}|\phi\rangle$ не есть осмысленное состояние.

Что, прям так и пишут? Тогда такую книгу выкинуть и взять другую. Либо там что-то другое, дьявол ведь в деталях. Кто такой $\hat{O},$ кто такое $|\phi\rangle$ -- от этого зависит осмысленность получившегося. Что за книга-то?

[beroal]

amon в сообщении #1461372 писал(а):

beroal в сообщении #1461356 писал(а):

В книгах пишут, что $\hat{O}|\phi\rangle$ не есть осмысленное состояние.

Что, прям так и пишут? Тогда такую книгу выкинуть и взять другую. Либо там что-то другое, дьявол ведь в деталях. Кто такой $\hat{O},$ кто такое $|\phi\rangle$ -- от этого зависит осмысленность получившегося. Что за книга-то?

Возможно, я её неправильно понял.

Цитата:

Measurements correspond to Hermitian operators; operators change one state into another; after a measurement the state of a system is changed. Given these facts, it is tempting to believe that the output state resulting from a measurement can be obtained mathematically by applying the corresponding Hermitian operator to the input state. In other words, assume we want to make a measurement of observable $\hat{O}$, for a system prepared in the input state $|\psi_i\rangle$. You are likely to want to say that after the measurement the system is left in state $\hat{O} |\psi_i\rangle$. However, after a measurement the system is generally not left in state $\hat{O} |\psi_i\rangle$.

Beck, Mark. Quantum Mechanics. 1st ed. Oxford University Press, 2012. Print.

[Slav-27]

Там написано: вообще говоря, неверно, что в результате измерения наблюдаемой $\hat O$ система, изначально находившаяся в состоянии $|\psi_i\rangle$, окажется в состоянии $\hat O|\psi_i\rangle$. Об "осмысленности" там ничего не говорится. Состояние $\hat O|\psi_i\rangle$ -- просто одно из возможных состояний системы, настолько же осмысленное, насколько и $|\psi_i\rangle$, просто система в нём сейчас не находится.

[beroal]

realeugene в сообщении #1461366 писал(а):

beroal в сообщении #1461356

писал(а):
То есть здесь его не надо применять. Где "здесь"?

arseniiv в сообщении #1461371 писал(а):

beroal в сообщении #1461356

писал(а):
Всё можно посчитать без них. Как это всё? Оператор наблюдаемой задаёт значения этой наблюдаемой (и для каких состояний они точно определены), откуда вы их ещё возьмёте? То есть оператор наблюдаемой — это наиболее общий вид линейного оператора, который можно сопоставить любой [вещественнозначной] наблюдаемой величине, и притом взаимно однозначно.

Хорошо, не всё. Я пока что говорю о случаях, когда множество значений, которые можно наблюдать, конечно. Например, расщепление пути фотона на два пути при одноосном двойном лучепреломлении. Например, спин. В обоих случаях есть только 2 значения. Вроде бы нет смысла рассматривать эти значения как вещественные числа. Например, какой смысл их складывать или умножать?

-- Сб май 09, 2020 18:11:33 --

Slav-27 в сообщении #1461395 писал(а):

Там написано: вообще говоря, неверно, что в результате измерения наблюдаемой $\hat O$ система, изначально находившаяся в состоянии $|\psi_i\rangle$, окажется в состоянии $\hat O|\psi_i\rangle$. Об "осмысленности" там ничего не говорится. Состояние $\hat O|\psi_i\rangle$ -- просто одно из возможных состояний системы, настолько же осмысленное, насколько и $|\psi_i\rangle$, просто система в нём сейчас не находится.

Хоть какую-то пользу при расчёте системы это состояние несёт?

-- Сб май 09, 2020 18:17:53 --

Я невнятно написал. Выражение $\hat{O}|\phi\rangle$ несёт какую-то пользу, кроме той, что я написал, при расчёте системы?

-- Сб май 09, 2020 18:23:22 --

Ещё вопрос насчёт множеств наблюдаемых значений.

• При одноосном двойном лучепреломлении фотон может пойти только по одному из 2 путей, то есть мощность множества наблюдаемых значений — 2.
• При наблюдении положения в пространстве, если не ошибаюсь, мощность такая же, как у $\mathbb{R}^3$, то есть несчётная.
• А при наблюдении энергии атома водорода эта мощность счётная или нет?

[Guvertod]

Выражение для среднего - это основной физический смысл, да. Но вопрос о "пользе" довольно абстрактный. Вас интересуют примеры выкладок, альтернативные формулировки квантовой механики без операторов или что?

[amon]

beroal в сообщении #1461393 писал(а):

Возможно, я её неправильно понял.

Наверняка. Попробуйте взять другой учебник. Я бы рекомендовал нашего Киселева, но если нужен англоязычный, то можно попробовать Дирака. То, что для понимания квантовой механики надо просмотреть несколько учебников - дело обычное. Наука сия темна есть, и что бы что-то рассмотреть надо посмотреть на нее с разных точек зрения.

[arseniiv]

beroal в сообщении #1461397 писал(а):

Вроде бы нет смысла рассматривать эти значения как вещественные числа. Например, какой смысл их складывать или умножать?

В таких случаях да, может вместо оператора наблюдаемой быть полезнее набор ортого унитарных проекторов, суммирующихся в единицу и имеющих нулевые произведения между собой.

beroal в сообщении #1461397 писал(а):

А при наблюдении энергии атома водорода эта мощность счётная или нет?

Если рассматривать только собственно атом, неионизированный, то счётная. Если вообще систему из электрона в поле протона, там будет сверху нахлобучен непрерывный спектр, и несчётная.

[Theoristos]

Slav-27 в сообщении #1461395 писал(а):

Об "осмысленности" там ничего не говорится. Состояние $\hat O|\psi_i\rangle$ -- просто одно из возможных состояний системы, настолько же осмысленное, насколько и $|\psi_i\rangle$, просто система в нём сейчас не находится.

Пусть $\hat O - оператор домножения на $5$. Что за состояние $5|\psi_i\rangle$ и какому состоянию системы оно соответствует?

Пусть |\psi_i\rangle$ - некое состояние частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно глубокими стенками, а $\hat T - вполне себе унитарный оператор трансляции на 100 км. Что за состояние $\hat T|\psi_i\rangle$?

[kcp]

Theoristos в сообщении #1461514 писал(а):

Пусть |\psi_i\rangle$ - некое состояние частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно глубокими стенками, а $\hat T - вполне себе унитарный оператор трансляции на 100 км. Что за состояние $\hat T|\psi_i\rangle$?

Состояние нуль?
Если данная комбинация стоить в каком-либо выражении, то соответствующее слагаемое, по всей видимости, обнулится.

[arseniiv]

Theoristos в сообщении #1461514 писал(а):

Пусть $|\psi_i\rangle$ - некое состояние частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно глубокими стенками, а $\hat T$ - вполне себе унитарный оператор трансляции на 100 км. Что за состояние $\hat T|\psi_i\rangle$?

Насколько понимаю, «правильное» пространство состояний здесь будет включать только такие состояния, волновые функции для которых будут ненулевыми только в яме, и потому оператора $\hat T$ на данном пространстве просто нельзя будет определить.

kcp в сообщении #1461663 писал(а):

Если данная комбинация стоить в каком-либо выражении, то соответствующее слагаемое, по всей видимости, обнулится.

Математика так не работает.

[kcp]

arseniiv в сообщении #1461668 писал(а):

Насколько понимаю, «правильное» пространство состояний здесь будет включать только такие состояния, волновые функции для которых будут ненулевыми только в яме, и потому оператора $\hat T$ на данном пространстве просто нельзя будет определить.

При сдвиге функции на расстояние превышающее размеры ямы мы просто не обнаружим частицы. Но это не значит, что оператор нельзя применить.

arseniiv в сообщении #1461668 писал(а):

kcp в сообщении #1461663 писал(а):

Если данная комбинация стоить в каком-либо выражении, то соответствующее слагаемое, по всей видимости, обнулится.

Математика так не работает.

А как она работает?

[arseniiv]

Ну как-как, в ней сначала строго определяются вещи, а потом не нужно комментировать результат, если он получается не такой. В ней нельзя подействовать оператором сдвига на (не постоянно нулевую) функцию и получить тождественный ноль, потому что оператор сдвига так не работает. Вместо этого надо переопределить вещи уже более корректным образом и получить, в частности, что никакого оператора на состояниях, который давал бы оператор сдвига на соответствующих им волновых функциях, для данного случая не бывает.